2025年中考数学模拟卷八（全国）含答案解析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答

过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.下列各数中，最大的数是（）

A.-1B.2C.nD.V5

2.下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（）

3.DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推

理.截止2025年2月22日，人工智能助手DeepSeek的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000

个.用科学记数法表示73300000正确的是（）

A.733XUPB.7.33x10*c.7.33xlO7D.0.733x10"

4.已知点Pi（a,—3）和点匕（4乃）关于原点对称，贝I（a+6）2。25的值为（）

A.1B.-1C.一52025D.52025

5.如图，在匚ABCD中，点。是边上一点，连接4。并延长，交BC的延长线于点£.若C0=20D,

BC=6,则BE的长为（）

AD

A.9B.12C.15D.18

6.下列计算正确的是()

A.3V2+3V3=6V5B.(m—n)2=m2—n2C.(—x5)2=—%10D.ab2?b2—a

7.我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于〃分钱〃的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则

甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的g.若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程()

Jx-10=2(y+10)p(x-10)=y+10fx-10=2(y+10)p(x-10)=y+10

A-I|(x+5)=y-5B-[|(x+5)=y-5C-[x+5=|(y-5)D-[x+5=|(y-5)

8.二次函数y=k/+2质与反比例函数y=§在同一平面直角坐标系内的图象可能是()

9.如图，在正方形/BCD中，E为2C延长线上一点，连接DE,F为BC上一点、,且EF=DE,连接

DF.G为CO上一点，且DG=CF,连接/G并延长交于点M,连接。0,若贝吐。CM=

()

A.2aB.45°+ac.9(r-1«D.45*+|«

10.在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为3,若直线y=—苧x+b与OO始终有交点,

则b的取值范围是().

A.5<3B.b<-3

c.-2vJ<6<2v,3D.b<-2V3stb>2V3

二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.）

11.如图，数轴上的点M表示实数标、且标与鱼的积为有理数，则整数m的值为

M

701234

12.如图，在AABC中，AB=4,4C=5,BC=6.将△ABC折叠，使点8的对应点方落在边力C上，折痕

分别与A8,8c交于点。，E.若匕3CE与△”（：相似，贝UCE的长为

13.小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示.为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内

随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据：

重复试验次数3050100300800

点落在阴影部分次数193259183483

"点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小

0.670.640.590.610.60

数）

由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为一.（结果保留整数）

14.如图，在边长为2的正六边形4BCDEF中，点P在AF上，一束光线从点P出发，照射到镜面BC上的点Q

处，经反射后射到DE上的点G处，且PQIIA8,QGWCD,则PQ+QG=

15.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第〃个图案中

16.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=—1,且过点（-3,0）.下列说法:①abc<0；

（2）2a-b=0；③4a+26+c<0；④若（一5,yD，（|,y2）是抛物线上两点，则以>及.其中说法正确的是

三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72

分.）

17.（8分）（1）计算：画*3T+|-2|-a—a»6（n°；

x-1<3

（2）解不等式组:

YOy

18.（8分）（1）解方程：=~

（2）先化简，再求值：（1-2）.，上其中x=4.

\,x-17mg

19.（8分）艺术千秋，人生朝露，人类心中的美好，善良，纯洁，祈愿绽放出鲜艳的花朵，收藏在历史,

人类的书页中，数千年后只要从书中取出，也会回荡起芬芳的乐章.一家音乐公司正准备购入两首歌曲的

版权，以下是列入候选名单的四首歌：《爱在西元前》Onelastkts＞，

请你根据上述信息回答下列问题：

（1）公司选到《爱在西元前》的概率是一.

⑵公司选到《心皿而二》和《0»efc5f；：55：：的概率为多少？（用列表或画树状图的方法表示）

20.（8分）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外

部势力干涉和"台独"势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动.某次演习中，中国人民

解放军在/城市周围3、C、。三个区域演习，2在/正南方向，。在/正东方向，。在/东北方向，点2

在点C南偏西60.，点。在点C北偏西30•方向100海里处.（参考数据：

1.41,^3*1.73,V石<2.45)

⑴求4。的长.

（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点Z需要经过点。或点2,那么C到/的两

条路径C-D-4和C-B-4哪一条最短？

B

21（8分）如图，在AABC中，UBe_90'，AB=8,BC=6,。为AC边上的中点，E为2B上的动点，连

接DE,将0E绕点。按逆时针方向旋转90。，得到线段OF（点F在AABC内部），连接BF,EF.设BE=%,BEF

的面积为y.

⑴求y与X的函数表达式；

⑵求一3EF面积的最大值.

22.（10分）如图，在平行四边形2BCD中，点£是边AB上的点，且BE=22E,连接DE,点G在DE上,

连接4G,作乙GEF-UGE交BD于点尸，CD于点、H,EF=AG.

⑴求证：BF=DF-

(2)若UBC=9(r,M=41+41，求oo^KAG的值;

23.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，=H久+b(k??)与反比例函数=；(、V0)的图

象交于/、8两点，与x轴，y轴分别交于C、。两点，点8(8,—2),点C为线段的中点，连接04、0B.

⑴求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求匚4。万的面积；

⑶点M为线段上一动点(不与点/、。重合)，过点M作直线MN,使得MNI0B，交力B于点N.若△AMX

与△A06的面积比为1：4，则点M的坐标为

24.（12分）如图1,已知抛物线丫=32+6%+（;与；（：轴交于点4（一2,0）、8（3,0）,与y轴交于点。（0,4）,

连接4C、BC.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图2,点P是直线BC上方抛物线上一点，过点尸作PDh轴交BC于点。，过点p作PE-EC于点£，当

_PDE的周长最大时，求出△PDE的周长最大值及此时点P的坐标；

⑶在（2）的条件下，当上的周长最大时，将点8沿射线AC的方向平移伤个单位至点良，再将线段BB'

沿射线BC方向平移，点3、夕的对应点分别记为点M、N.在平移过程中，点P、M,N是否能构成以PN为

腰的等腰三角形，若能，直接写出点N的横坐标；若不能，请说明理由.

（图1）（图2）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答

过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.下列各数中，最大的数是（）

A.-1B.2C.nD.V5

【答案】C

【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算伤的取值范围，再比较大小即可.

【详解】解：•••2<而<3,

-1<2<V5<?,

・•.最大的数是口.

故选C.

2.下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（）

【答案】B

【分析】本题考查轴对称图形的概念.关键是掌握定义：若图形沿某条直线折叠后，直线两旁部分能完全

重合，则为轴对称图形.解题时需逐一观察图形，寻找是否存在这样的对称轴，从而判断是否为轴对称图

形.

【详解】解：第1个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形.

第2个图形中，找不到任何一条直线，使折叠后直线两旁部分重合，不是轴对称图形.

第3个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形.

第4个图形中，存在多条对称轴(如竖直、水平直线)，沿对称轴折叠后两边重合，是轴对称图形.

综上，轴对称图形有3个，

故选：B.

3.DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推

理.截止2025年2月22日，人工智能助手DeepSeek的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000

个.用科学记数法表示73300000正确的是()

A733x10sB.7.33x10*c.7.33x10?D.0.733x108

【答案】c

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为(IX10"的形式，其中al<10.

"为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，几的绝对值与小数点移动的位数相同,

当原数绝对值大于等于10时，九是非负数，当原数绝对值小于1时，九是负数，表示时关键是要正确确定a

的值以及K的值.

【详解】解：73300000=733K107-

故选：c.

4.已知点Pi(a,—3)和点。2(4乃)关于原点对称，贝iJ(a+b)2025的值为()

A.1B.-1C.—52025D.52025

【答案】B

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a,b的值，进而可得答案.

【详解】解：：点Pi(a,—3)和点「2(4力)关于原点对称，

：.a=-4-b=_(-3)=3,

：.(a+h)：025=(-4+3)：O：5=—1>

故选：B.

5.如图，在口ABCD中，点。是边C。上一点，连接4。并延长，交的延长线于点E.若CO=20D,

BC=6,贝的长为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题

关键.根据平行四边形的性质推出L』0D，EOC，得到券=^=|＞求出CE的长，即可求解.

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

..AD=BC-6,AD帆,

•・二AOD/EOC，

；.A—D=O一O，

egOC

丫CO=20D，

:A.D=1v,

CS2

：.CE=2AD=12，

BE=BC+CE=18，

故选：D.

6.下列计算正确的是（）

22222

A.3V2+3V3=6V5B.（m—n）=m—nC.（—久5）2=_%IOD.ab?b—a

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，嘉的乘方，整式的除法，根据上述计算法则，逐一

计算即可，熟练计算是解题的关键.

【详解】解：A、3鱼,3班无法合并，故A不符合题意；

B、（m—n）2=m2+n2—2mn,故B不符合题意；

c、(_%5)2=炉0,故C不符合题意;

D、Q3:-产=g故D符合题意,

故选：D.

7.我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于"分钱"的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则

甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程()

fx-10=2(y+10)p(x-10)=y+10fx-10=2(y+10)p(x-10)=y+10

A，[|(x+5)=y-5B-[|(x+5)=y-5C-[x+5=|(y-5)D-[x+5=|(y-5)

【答案】A

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得

%-10=2(y+10)；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得*x+5)=y—5,据此列出相应的方程组即可.

【详解】解：设甲原有支钱，乙原有y钱,

俨-10=2(y+10)

依题意得(|(x+5)=y-5

故选：A.

8.二次函数丫=k/+2fcr与反比例函数y=g在同一平面直角坐标系内的图象可能是()

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题

的关键.

根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解.

【详解】解：二次函数丫=叱+2H，对称轴直线为x=-笥=一1,

当k>0时，二次函数图象开口向上，则反比例函数y=5的图象经过第一、三象限；

当k<0时，二次函数图象开口向下，则反比例函数y=?的图象经过第二、四象限；

只有B选项符合题意,

故选：B.

9.如图，在正方形中，E为BC延长线上一点，连接。E,F为BC上一点,KEF=DE,连接

DF.G为CD上一点，且。G=C尸，连接ZG并延长交。E于点连接CM,若乙D4M=a,则乙DCM

()

A.2aB.45°+ctC.90°-1aD.45。+；0

【答案】B

【分析】证明△WDG三—5AS），则ziMM=z£DF=a，得到z£DE=90°-a—a=90°-2a，

3。=180°—皿“一〃硕=。，证明DM=DC,进一步得到

d）Of=|（18（r-^CDff）=；（18（r-9（r+2a）=45,+«.

【详解】解：•••四边形4BCD是正方形，

-AD=CD.LADG=LDCF,DG=CF^

­-_ADG三一。C"SAS，

-LDAM=KDF=a，

-LDFC=90s-a）

•：EF-DE,

••3FC=z£DF=90・-a，

:UDE=900—a—a=90*—2a>

"AD|BC，

曲C=UDF=90'-a，

cADH-LADF+花DF=

LAND=1BT--ZJIDM=a，

.-.AD=DM,

-AD=DC,

・・.DM=DC,

SCM=：C18（r-"DF）=11MC-90*+2o）=45°+9，

故选：B

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和

性质，证明一ADG三一DCF是解题的关键.

10.在平面直角坐标系中，O。的圆心为坐标原点，半径为3,若直线y=—苧x+b与始终有交点，

则b的取值范围是（）.

A.bs3B.bsT

c.-2vJ<6<2V3D.bs-2百珈N2书

【答案】c

【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时6的值.

求出直线丫=—苧x+6与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线丫=—苧x+b与圆相切时，函数经

过二、三、四象限6的值，则6的值在相交时与相切时两个6之间.

【详解】解：当直线y=—苧％+b与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：

在丫=一日％+。中，令x=0,则丫=8,即与y轴的交点为B（0,b）,

令y=0,则x=即与x轴的交点为］5,0：',

：.AB—yJOA2+OB2=2b,

连接圆心o与切点c,则DCj.AB，。。=3,

Los=-0A-OB=-AB-OC>

•••：x3x2b=：xb♦V5b

：.b=2V3

同理当直线y=—弓x+b与圆相切时且函数经过二、三、四象限，ft=-2V3,

综上所述：当直线y=—乎x+b与圆相交时，6的取值范围是-八万<1一八下；

故选：C.

二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.）

11.如图，数轴上的点M表示实数标、且标与鱼的积为有理数，则整数6的值为.

M

-101234

【答案】8

【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的

乘法运算，先求出4<巾<9,再根据标与鱼的积为有理数求解即可.

【详解】解：：点M在数轴上的位置在2与3之间，

2V、帚<3，

r.4<m<9>

,,,诉i与我的积为有理数，且2立?我=8,

：.m=8，

故答案为：8

12.如图，在△ABC中，AB=4,47=5,BC=6.将△ABC折叠，使点2的对应点方落在边力C上，折痕

分别与AS,BC交于点。，E.若与相似，贝UCE的长为

B

【答案】］畤

【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质.设CE=x,贝UBE=6—x,由折叠的性质得

B'E=BE=6-X,分3CABCB'E和」CAB■一CE8’两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算

即可求解.

【详解】解：设CE=x,贝IJBE=6—久，由折叠的性质得BE=BE=6—x,

分两种情况讨论，

当△加8MCB2时，f=§＞艮咛屋,

解得x=y，

、【/rt_LB'ECErj6—XX

当二03，_CEB'时，器=苕，即n丁=王

解得“与，

综上，CE的长为/或竽.

故答案为：/或3

13.小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示.为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内

随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据：

重复试验次数3050100300800

点落在阴影部分次数193259183483

"点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小

0.670.640.590.610.60

数）

由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为一.（结果保留整数）

【答案】6

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键.根据总面积乘以“点落

在阴影部分"的频率的稳定值即可得到答案.

【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为10x0.6=6，

故答案为：6.

14.如图，在边长为2的正六边形A8CDEF中，点P在4F上，一束光线从点P出发，照射到镜面8c上的点Q

处，经反射后射到DE上的点G处，S.PQ||AB,QGnCD,则PQ+QG=.

【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是

解题的关键.根据题意延长F4.C3于点M,延长ED、8c交于点N,证明一MPQ、_.YQG是等边三角形，

将PQ+QG转化为MQ+QN,即可得到答案.

【详解】解：延长F＜、CB于点M,延长ED、配交于点N,

:正六边形2BCDEF,

工"方==Z8CD=ZOW=12丁，

:.=3BA=zZ)C5=zCDX=6b，

则公乂4万和乙CD川是等边三角形，

..MA=AB=MB=2.DC=CN=DN=2,且MWIFE，

VPQII.45,QGIICD,

=ZlUff="Q==ZPQM=60*，

dXX=皿丫=z£»X=ZJQGX=即，

故二MPQ、△kQ。也是等边三角形，

..PQ=MQQG=QM

.MQMN=MB+BC-CW，

AB-BC-CD—2,

•.PQ+QG=MQ+QN=2+2+2=6.

故答案为：6.

15.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第〃个图案中

【分析】本题考查图形的变化，解一元一次方程，根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律,

然后根据第"个图案中有2026张白色纸片，即可求得n的值.

【详解】解：由图可得，

第1个图案中白色纸片的个数为：1+1x3=4，

第2个图案中白色纸片的个数为：1+2x3=7，

第3个图案中白色纸片的个数为：1+3x3=10，

...,

第n个图案中白色纸片的个数为：：/，•.3=*L

令3n+l=2026,

解得九=675,

故答案为：675.

16.如图是二次函数y=ax2++c图象的一部分淇对称轴为％=一1,且过点（一3,0）.下列说法:①abc<0；

②2a—b=0；③4a+26+c<0；④若（一5,月）,（|）2）是抛物线上两点，则以>丫2.其中说法正确的是

【答案】①②④

【分析】根据抛物线的开口方向可判断。的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断。的正负，根据抛物线的

对称轴并结合。可判断6的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；先根据抛物线的对

称轴判断当x=2时y的正负，进一步即可判断③；根据抛物线的对称性可得点（一5,yi）关于对称轴的对称点

是（3,%），再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案•

【详解】解：•.•二次函数的图象开口向上，.•・a〉。，

•••二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，，c<0,

•••二次函数图象的对称轴是直线久=—1,.•.—5=-1,

2a

：.b=2a>0,

■,■abc<0,故①正确；

由①知：b—2a,.■.2a—b=2a-2a=0,故②正确；

,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=-1,且过点（一3,0）,

.•・抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（1,0）,

二当x=2时y>0,把x=2代入y=a/+人工+以得y=4a+2b+c>0,故③错误；

:二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=—1,

二点（-5,%）关于对称轴的对称点是（3,%），

由题意知当%>—1时，y随x的增大而增大，•.•1<3,.•.%>丫2，故④正确.

综上，说法正确的是：①②④.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72

分.）

17.（8分）（1）计算：^15X3-1+1-2|-（1-CM60*）*；

（2）解不等式组：1.

【答案】（1）V2+1；（2）-5WX<4

【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键。

（1）先化简二次根式、绝对值，计算负整数指数累、零指数哥，再计算乘法，最后计算加减即可；

（2）先求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"的原

则确定不等式组的解集即可。

【详解】解:（1）原式="[

=V2+2-1

-V2+1；

解不等式①得：%<4,

解不等式②得：工之一5，

不等式组的解集为-5sx<4

18.（8分）（1）解方程：—T—1=——T；

（2）先化简，再求值：（1一二其中久=4.

卜jr-17『TN

【答案】⑴»=—*（2）六，4

【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值：

（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可;

（2）先通分，计算括号内，再进行约分化简，再代值计算即可.

【详解】解：（1）去分母，得3万一（3*+3）=2%,

去括号，得3%—3%-3=2%,

移项、合并同类项，得-2%=3,

3

得X

系数化为1,2-

经检验，X=—|是原方程的解.

（2）原式=I-=二.

\x-ljr-1/Gr-lHx«lCr-lHx-3

当％=4时，原式=2=4.

19.（8分）艺术千秋，人生朝露，人类心中的美好，善良，纯洁，祈愿绽放出鲜艳的花朵，收藏在历史，

人类的书页中，数千年后只要从书中取出，也会回荡起芬芳的乐章.一家音乐公司正准备购入两首歌曲的

版权，以下是列入候选名单的四首歌：《5AKU曜AXCaottngStars》《爱在西元前》OwlastktBy,

请你根据上述信息回答下列问题：

⑴公司选到《爱在西元前》的概率是

⑵公司选到SAKURA》和《Onelastk.ss的概率为多少？（用列表或画树状图的方法表示）

【答案】⑴:

（2）1

【分析】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结

果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求

情况数.

（1）列表或画树状图，，共有12种等可能的结果，公司选到《爱在西元前》的结果有6种，再由概率公式

求解即可；

（2）列表或画树状图，共有12种等可能的结果，其中公司选至腋和《。二”。5汽：55；》的结果有2

种，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）解：四首歌：《SAKURA＞、＜CounnnpStars＞《爱在西元前》、＜Onelastkiss＞,分别用

S、C＞爱、。表不，依题意列表得:

SC爱0

S—CS爱SOS

CSC—爱C0C

爱S爱C爱——。爱

0soco爱。——

由表格可知：购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到《爱在西元前》有6种,

△公司选到《爱在西元前》的概率是卷=p

故答案为：p

(2)由表格可知：购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到公司选到和

「Onekakts*有2种,

、71

二公司选到《SAKURA》和｛Onelastkiss^的概率是P=行=£.

INt>

20.(8分)中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外

部势力干涉和"台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动.某次演习中，中国人民

解放军在/城市周围8、C、。三个区域演习，8在/正南方向，C在4正东方向，。在/东北方向，点8

在点c南偏西60*,点。在点c北偏西30•方向100海里处.(参考数据：

»1.41,<3»1.73,v6,2.45)

(1)求力D的长.

(2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点/需要经过点。或点8,那么C到N的两条路径C—D—A和

C—B—4哪一■条最短？

【答案】⑴50遍海里

(2)C_£>-4最短

【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)认真研读题干，得“DC=30：，CD=100海里，U)AE=45s,然后在RtAADE中，

ED=CD•co$4DC=50Vs(海里)，贝BE=ED=50/，即可作答・

(2)分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答.

【详解】(1)解：如图，过。点作力C的垂线交4c于E点，

D

根据题意有：LEDC=30s-CD=100海里，」D/E=45,，

在RtaADE中，EDuBaaMCnlOOxcaSTnSlMS（海里）；

在等腰直角CAOE中，AE^ED=50V3,

■.AD=yjAE2+ED2=50V6（海里）；

（2）解：由（1）知，CD=100海里，AD=50迷海里，AE=50K海里，CE=50海里，

.•.走C—D—4路线时，4D-CD=100+50x^*222.S（海里）；

.•.走C—B—4路线时，AC=AE+EC=50+50^/3（海里）,

WlJ4f=4C-t^3r=（50+50V3）Xy=!=^s^（海里），

BC=2AB=3。0+;。6（海里）；

AB+BC=125手%.!S!学随=⑼+50—*236J（海里）

则4。+CD<AB+BC

即选择C—D—4最短.

21（8分）如图，在△ABC中，UBe_90'，AB=8,BC=6,。为AC边上的中点，E为4B上的动点，连

接DE,将OE绕点。按逆时针方向旋转90,，得到线段OF（点尸在△ABC内部），连接BF,EF.设BE=x,A8EF

的面积为y.

(1)求y与比的函数表达式；

(2)求一SEF面积的最大值.

【答案】(i)y=-|x2+|x

49

⑵至

【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关

键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题.

(1)过点。作于点过点尸作FZV_UO，交MD的延长线于点N,过点B作FP,于点尸，

得四边形MNFP为矩形，得MN=PF,证明ADEM三△FDW(AAS)得ME=DN,设BE=X,则ME=4—久,

DN=4-x,MN=7-x,PF=7-x,再由「=：3E.PF可得答案；

(2)利用配方法得y=—次+舐=—乂乂―(丫+善，根据二次函数的性质即可得最值.

【详解】([)解：如图，过点。作DM1HB于点加，过点尸作交MD的延长线于点N,过点厂

作FPJ.4B于点P，

A

-LAMD=APMN=90*>5=9T，LMPF=90s-

二.四边形MNFP为矩形，

.-.MN=PF,

-LABC=90s-

■•■D.VIIBC.

△AVDFABC，

•••D为"边上的中点,

.\AD=DC,

MD_AM_AD_1

''~BC~~AB~~AC~29

.-.AM=MB=IAB=4,MD=^BC=3,

设BE=x,则ME=4—%,

•.,连接DE,将DE绕点。按逆时针方向旋转90L得到线段。尸，

■■DE=DF,_EDF=90%

•5DE+dDN=90：，

LMDE-d)EM=90'，

REM-dDN，

在△。三M和AFDN中，

IDME=LN

ZPE.V=zTDX，

DE=DF

••・A0E&三△FDMAAS〕，

.-.ME=DN,

••.DN=4—%,

.t.MN=MD+DN=3+4—x=7—x,

.,.PF=7—x,

，A®EF的面积i--BE•PF=二、7-r一一二

（2）解：y=-jx2+|x=-

v-|<0,

・・・当x=g时，A8EF的面积y有最大值，最大值青

22.（10分）如图，在平行四边形力BCD中，点E是边4B上的点，且BE=24E,连接。E,点G在DE上,

连接4G,作乙GEF』UGE交BD于点兄CD于点、H,EF=AG.

(1)求证：BF=DF；

⑵若U3C=90：B。=A3♦,把，求cos乙E4G的值；

【答案】⑴见解析

(2号

【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理的应用等知识，

(1)先证四边形AEFG是平行四边形，从而证明-DFG，一DBE，进而证明结论；

(2)设/£*==2a,贝!J8。=4。，求出40=近(1,DE=2y[2a,EF=AG=V2a,作BP工EH于点尸,

结合等腰三角形性质求出结论.

【详解】(1)证明：•・zGEF="GE，

班11/

:・EF=£G，

，四边形4EFG是平行四边形，

MEQFG，AE=FG,

必DFGMDBE,

DF_FG

：'~DB~~BE9

-BE=2AE,

.'.BE=2FG,

；.BD=2FD,

；.BF=DF.

(2)解：设4E=a,BE=2a,

则ZB=4E+BE=3a,

•；BD=AB+AE,

；.BD=3a+a=4a,

由（1）得BF=DF,EFIIAG>

■■BF=1BD=2a=BE,^BEF=-FdG，

•.•四边形ABC。是平行四边形，_ABC-90:.HCIAD>

辽BAD=刈，

在Rt，54D中，由勾股定理得：

AD=y/BD2—AB2=V16a2—9a2=V7a,

-,-DE=y/a2+7a2=2立a,

।zxzptDG1

由（1）得7D7E7=JZ，

•••点G为Rt二D4E斜边DE的中点，AG=EG=1DE=五a,

•••四边形AEFG是平行四边形，

・，.EF=AG=y/2a,

如图，作BPJ.EH于点夕，

.-.BE=BF=2a,EP=^EF=9a,

；.cos??力G=cos??siEP=翌=五^=返.

BE2a4

23.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=/qx+b(k??)与反比例函数二J;心二Oj的图

象交于/、2两点，与x轴，y轴分别交于C、。两点，点B(8,—2),点C为线段BD的中点，连接04、0B.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△.JOB的面积；

⑶点M为线段04上一动点(不与点/、。重合)，过点M作直线MN,使得MNI08,交力B于点N.若一AYA'

与Zi/lOH的面积比为1:4，则点〃的坐标为

【答案】(i)y=-竽，y=-1%+2

⑵12

(3)(-2,2)

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是

解题的关键.

(1)将点8坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段BD的中点求出点。坐标，利用待定系数法求出一

次函数解析式即可.

(2)分别求出2,4。。和二BCC的面积即可解决问题.

(3)根据题意得出点M为04的中点，据此可解决问题.

【详解】(1)解：(1)将点8坐标代入丫=与得，七=一16,

・••反比例函数的解析式为y=—抵

・・•点C为线段BD的中点，且点C在x轴上，点。在y轴上，

叱⑶=0,则y。=2,

二点。的坐标为(0,2),

将点D和点B坐标代入一次函数解析式得，

,8七+b=—2

Ib=2

二一次函数的表达式为y=-|x+2；

（2）解：由一：x+2=—当得，

­,•%1=—4,肛=8,

.•.点A的坐标为（-4,4）>

将y=0代入y=—1%+2得，x=4,

.•.点。的坐标为（4,0）,

.-.OC=4,

•5.8=:*4x4=8，S"=：x4x2=4,

=8+4=12.

-AMN^AOBr

••-6与心上0B的面积比为1：4，

.-.AM-.AO=1:2,

.•・点〃为&。的中点，

二点朋■的坐标为（—2,2）,

故答案为：（-2,2）

24.（12分）如图1,已知抛物线丫=a/+6%+。与》轴交于点4（一2,0）、5（3,0）,与y轴交于点。（0,4）,

连接AC、BC.

y

Al0\Mx

(图1)

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P是直线BC上方抛物线上一点，过点尸作PD卜轴交BC于点D,过点P作PE,BC于点E，当

二PDE的周长最大时，求出匕PDE的周长最大值及此时点P的坐标；

⑶在(2)的条件下，当APDE的周长最大时，将点3沿射线2C的方向平移通个单位至点夕，再将线段BB，

沿射线BC方向平移，点8、夕的对应点分别记为点M、N.在平移过程中，点P、M、N是否能构成以PN为

腰的等腰三角形，若能，直接写出点N的横坐标；若不能，请说明理由.

【答案】⑴y=—|好+?%+4

(2)2.7,(|.d

⑶能，