2026高考数学一轮复习：点、线、面的位置关系及线面平行（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲点、线、面的位置关系及线面平行

直线与平面没有公共点，

则称此H线;与平面a平行，记作/〃a

如果两个平行平面同时和第三个平面

性质定理

相交，那么他们的交线平行

1

题型一：证明"点共面"、"线共面"或"点共线"及“线共点”

【典例1-1】如图，在正四棱台A8cr>-A4G2中，M,N,P,。分别为棱AB,BC,BG，上的

点.已知AB=6,4瓦=3,B[Q=B[P=1,BM=BN=4,正四棱台ABC。-A4G2的高为6.

证明：直线M。，BBt,NP相交于同一点.

【解析】证明：在正四棱台ABCO-AAG2中，因为耳。=用尸=1,BM=BN=4,B.Q//BM,

BF〃BN,

所以四边形瓦QA",与PNB均为梯形，则直线MQ与B与必相交，NP与8及必相交.

延长MQ,BB],NP,设M。的延长线与BB[的延长线交于点E,NP的延长线与3瓦的延长线交于点R

在正四棱台ABCD-4BC2中，AB!!A}BX,BCUB、C、,

AMB

则—工毁=骂」

'EBMB4'FBNB4，

得EBi=FB「所以点E,尸重合，

即直线MQ,BBt,NP相交于同一点.

【方法技巧】

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

2

【变式1-1】在直三棱柱A3C-AB|G中，ABLBC,AACB=y,侧棱长为3,侧面积为9+3石.

6

（1）求三棱锥3-A3c的体积；

（2）若点。、E分别在三棱柱的棱CG，B4上，且8>8石，线段AE.ARDE的延长线与平面ABC交于

尸,G,H三点，证明：共线.

【解析】（1）由题意知2AB=AC,BC=^4B,

所以该三棱柱的侧面积为（2AB+J3AB+AB）xB耳=9+3有=（3+百）x3A3nA5=1,3C=6，

又ABJLBC,直三棱柱ABC-44G中83]_LA3,

S.BCnBB,=B,BC,8耳u平面BQ,

所以AB_L平面8G，

又AB//A]耳，所以4耳，平面8Q,

故三棱锥B-A^C的体积为VB_^C=吟*回=gA与xgBCx8与=g;

（2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以A，£G,E,Oe平面AJG,

又“eEREDu平面A^G,所以平面A^G,

而He平面ABC,平面ABCfl平面A尸G=FG,

所以HeFG,即尸,G,"共线.

题型二：异面直线的判定

【典例2-1】已知正方体AB。-A瓦G2,点P在直线A2上，。为线段3。的中点，则下列说法不正确

的是（）

A.存在点P,使得PQ^AC；B.存在点P,使得PQ//A2；

C.直线PQ始终与直线CG异面；D.直线PQ始终与直线异面.

【答案】C

【解析】在正方体中，可得AG，42，

又由，平面4耳GA,且4Gu平面A/CJR,所以AG，8四，

3

因为4，c84=B1,且用。,8月u平面,所以AG_L平面8OQ4,

由点P在直线A2上，。为线段8D的中点，

当点P和2重合时，可得尸Qu平面,所以尸。_LAC，所以A正确；

连接AQ,如图所示，

当点尸为线段A2的中点时，PQ为AAB。的中位线，即PQ//4B,所以B正确；

因为CQu平面ACC、，当点尸和点A重合时，PQu平面ACC4，

则直线尸。和CG在同一平面内，所以C错误；

由BC］U平面A3GR,尸Qc平面A8G〃=P，且尸危的，

所以直线PQ始终与直线BG不相交，且不平行，所以尸。与BG是异面直线，所以D正确.

故选：C.

【方法技巧】

判定空间两条直线是异面直线的方法如下：

(1)直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.

(2)间接法：平面两条不可能共面(平行，相交)从而得到两线异面.

【变式2-1］在底面半径为1的圆柱。。|中，过旋转轴。。作圆柱的轴截面ABC，其中母线A8=2,E是

弧BC的中点，尸是AB的中点，贝U()

A.AE=CF,AC与跖是共面直线

B.AE^CF,AC与跖是共面直线

C.AE=CF,AC与E尸是异面直线

D.AEwCF,AC与是异面直线

【答案】D

【解析】如图，在底面半径为1的圆柱。。1中，母线AB=2,BC=2,E是BC的中点，则3E=AE=0，

因为尸是A3的中点，又AB=2,则3尸=1,

AE=^AB2+BE2=^4+(72)"=A/6，CF=dBC，+BF?=属［=小，

4

..AEwCF,

在VA3c中，。是BC的中点，尸是A3的中点，:.OF//AC,

，AC与。产是共面直线，

若AC与EF是共面直线，则O,£A,C,E在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线

题型三：异面直线所成的角

【典例3-1】已知底面边长为2的正四棱柱ABCO-ABGR的体积为16,则直线AC与A8所成角的余弦

值为（）

B.1

A.过V103710

55lb-10

【答案】C

【解析】如图，连接AR,CR,则AB//。。，取AC的中点。，连接。2,则。"1AC,

所以ZACQ（或其补角）为直线AC与4出所成的角,

又正四棱柱的体积为16,则该棱柱的高为C&=恶=4,

又AC=2叵AD1=C»="2+2〉=26,

1AC

V2-Jio

所以cosZAC。=2——

CD,2小一io

即直线AC与AB所成角的余弦值为叵.

10

5

【典例3-2】已知两条异面直线a,6所成角为70。，若过空间内一定点的直线/和。，6所成角均为60。,

则这样的直线/有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】C

通过平移过点P作。〃2。，b//CE,由题意，ZBPE=70°,ZEPD=110°.

70°

而—3PE的角平分线与。和6的所成角为L=35。，

2

4PD的角平分线与。和b的所成角为*=55。，

2

因为60。＞35。,60。＞55。，所以直线/和a,b所成角均为60。的直线有4条，

其中直线/在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件，

当直线/在平面EPD的射影为ZEPD的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.

故选：C.

【典例3-3】已知矩形A3CD中，42=1,反?=0,£是边8。的中点.AE和3。交于点将AABE沿

AE折起，在翻折过程中当A3与MD垂直时，异面直线54和C。所成角的余弦值为（）

1152

C

A.6-B.4-D.3-

12

【答案】D

【解析】如图1,在矩形ABCO中，A2=1,2C=点,E是边的中点,

故BE当，“BEAB

故——=——

ABAD

又N8AD=/ABE=90。，故VABE:NDAB,所以NBAE=NADB,

则/BAE+/ABQ=/AZ>8+/AB£)=90°，故AE_LA1D.

图②

6

如图2,将AABE沿AE折起，点8的对应点为在翻折过程中，当A股与MD垂直时,

因为钻01^=4旬,神七平面旬阳，所以MD_L平面AB，E,

因为KE»u平面AECD,所以平面AB，E_L平面AECD,

因为_LAE,MNu平面AB'E,平面AB'E平面AECD=AE,

所以J_平面AECD,

连接B'B，因为凡B〃CD,

所以ZB'AB或其补角即为异面直线B'A和。所成角，

因为工4"3石=』4石2",所以BM=@,

223

故8加=#，则BB，=《BM。+B'M?=与,又AB'=AB=1,

故cosNB,AB=6+84-8如=1=2,即所求角的余弦值为三,

2ABAB'233

故选：D.

【方法技巧】

(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正

方体为模型.

(2)求异面直线所成的角的三个步骤

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

【变式3-1】如图所示，圆锥的底面直径AB=4,高OC=20,。为底面圆周上的一点，且NA8=120。,

则直线AD与BC所成角的大小为.

【解析】如图，延长。。交底面圆于点E,连接跖，CE,

7

c

由AB,£>£1均为圆的直径知AA〃班且=

所以NC3E即为异面直线相>与2C所成的角（或其补角）.

在△AOQ中，AD=1OAsin60°=273,

在RtABOC中，BC=y/OB2+OC2=2G，

所以CB=CE=BE=2布,所以△C8E为正三角形，

所以NCBE=60。，即直线AD与8C所成的角为60。.

故答案为：60°.

【变式3-2］如图，直线PD_L平面ABCD,ABCD为正方形，PD=AD,则直线PA与所成角的大小

【解析】令PD=AD=1,取尸2AD,AS中点分别为E,尸,加,

连结EF,EM,FM,贝!!E产11PA，尸M||8£）,

.•.NERW就是直线PA与33所成角或其补角.

又因为在中，EF=-PA=-yjAD2+PD2=-A/T+T=—,

2222

FM=-BD=-yjAD2+AB2=-^/i+T=—

2222

8

11_6

EF+FM^-EM?

则cosZEFM=55-II

2EFxFM2x也x也2

22

ZEFM=120°

直线PA与BD所成角为60°.

故答案为：60°.

【变式3-3】在三棱锥P-ABC中，AC=g,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,/为AC的中点，则异面

直线BM马PA所成角的余弦值是

【答案】等

【解析】取尸C的中点。，连接MD,现），如图所示:

因为M为AC的中点，。为PC的中点,

则根据三角形的中位线定理可得DM//PA,且。M=gPA=1.

所以㈤WB为异面直线则与丛所成的角或其补角.

因为在VABC中，AC=y/3,BC=1,AB=2,

所以AB2=BC2+AC2,则AC_LBC.

XAM=MC=-AC=—,所以=,心+吹2=也.

222

又在△PBC中，BC=1,PB=PC=2,

?2_i_12_?21

所以由余弦定理可得：cos/DCB「1

2x2x14

又因为在△加。中，DC=BC=\,

9

i3

所以由余弦定理可得：BD2=l+l-2xlxlx-=-.

42

173

DM2+BM2—BD2_"z”_5/7

则在△曲。中，由余弦定理可得，ccsNDMB=

2xDMxBM2xlx-8

2

所以异面直线皿与四所成角的余弦值为蜉.

28

故答案为：蜉.

28

题型四：等角定理

【典例4-1】设NA与13的两边分别平行，若/A=60。，则N3=.

【答案】60。或120。

【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

所求角为60。或120。.

故答案为：60°或120°.

【典例4-2]如图，在正方体ABCD-A4GR中，E是棱CG的中点，记平面ARE与平面ABCD的交线

为人平面ARE与平面A8耳A的交线为4,若直线A3分别与44所成的角为以月，贝ljtana=,

tan(a+,)=.

【解析】在正方体ABCO-ASGR中，E是棱CG的中点，

延长与。C延长线交于点F，连接AF,则直线AF即为直线4，a=ZBAF,

由CE//DD],得CF=OC,又AB//CD,于是tana=tan/AF£)=!，

2

由平面CDDg//平面AB瓦A,平面AREc平面ABB^=12,平面AD.Ec平面CDD£=D.E,

则RE〃/2，又GDJIAB,因此£=tan〃=g,

10

11

-+-

tanor+tan/?4

所以tan(a+0=22

1-tancrtan(31II3

1——x—

22

14

故答案为：J

【方法技巧】

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【变式4-1］过正方体ABCD-A,BXCXDX的顶点4在空间作直线/,使/与平面BB^D和直线BCX所成的角都

等于45。，则这样的直线/共有一条.

【答案】2

【解析】在正方体中，AC与平面3BQD垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点4与AC、A?都

成45。的直线有几条.

考虑到AC,A?夹角为60。，所以同一平面的角平分线与AC,的夹角大小为30。,

因为45。＞30。，从而存在两条直线满足条件.而AC,AR的外角为120度，所以不存在外角平分线满足

条件.

综上，满足条件的直线共2条.

故答案为：2.

II

题型五：平行的判定

【典例5-1】设a,尸，7是三个不同平面，且an/=/，£n/=机，则“〃/加”是“a//仍的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若a〃P，a[\Y=l,p[}y=m,则由平面平行的性质定理：得/〃”；

但当/〃根，。口/=/，夕口/=加时，可能有a〃夕，也可能有见4相交，

如/,加是三棱柱的两条侧棱所在直线，/是/,相确定的平面，

另两个侧面所在平面分别为a,夕，此时符合条件，而a,4相交，

所以“///”是"a〃优的必要不充分条件.

故选：B

【典例5-2]已知平面a,£,7满足al△月I7,al7,下列结论正确的是（）

A.若直线/，/，贝心〃夕或""

B.若直线/〃e,则/与s和/相交

C.若/uar,则/_!_£,且/

D.若直线/过空间某个定点，则与a,成等角的直线/有且仅有4条

【答案】D

[解析】在正方体ABCD-中，平面ABCD,平面ADD^,平面CDD£两两垂直，

令平面ABCD为平面a,平面ADD^为平面§,平面CDDg为平面/,

对于A,直线£>R，a,DD\U/3,DD、uy,当/为直线。0时，/u£,/u/,A错误；

对于B,\BJIa,当/为直线44时，Illy,B错误；

对于C,AB^a,当/为直线A3时，Illy,C错误；

对于D,在正方体A8CD-A瓦GR中，直线AG，AC82,4。相交于点O,

它们与平面ABCD,平面ADAA，平面C£>AG所成的角都相等，

而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，

过空间给定点作直线平行于直线AG，AC,82,2Q之一，所得直线与与a,0,/所成角相等，

因此直线/过空间某个定点，与火民/成等角的直线/有且仅有4条，D正确.

故选：D

12

【方法技巧】

排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除.

【变式5-1］（多选题）已知a,£是两个不同平面，m,〃是两条不同直线，则下列命题为假命题的是

（）.

A.如果〃,n!IP,那么a_L夕

B.如果〃n!la,那么〃?_La

C.如果a〃夕，mua,那么m//p

D.如果〃2〃〃，a〃夕，那么机与a所成的角和〃与P所成的角的大小不相等

【答案】AD

【解析】对于A,可运用长方体，举反例说明其错误，如图,

不妨设A4,为直线加，CD为直线小平面ABCD为a,平面ABC77为

显然这些直线和平面满足题目条件，但al6不成立，故A为假命题；

对于B,设过直线〃的某一个平面与平面a相交于直线/,贝!］〃/〃，

由。知m,从而;〃"L",故B为真命题；

对于C,如果a〃夕，mua,则m//£,故C为真命题；

对于D,如果〃2〃“，a/l/3,那么机与a所成的角和"与尸所成的角相等，故D为假命题.

故选：AD.

【变式5-2］已知a,0,y为三个不同的平面，a,b,/为三条不同的直线.

若ans=/,an尸ain尸仇///%则下列说法正确的是（）

A.。与/相交B.6与/相交C.a\\bD.。与£相交

【答案】C

13

【解析】对于AB,"/%/u平面a,a^\y=a,则〃/a,

同理可得〃/》，则AB错误；

对于C,由AB知道a〃"则C正确；

对于D,由A知道〃/a,ON平面/u平面£,则a///?,故D错误.

故选：C.

题型六：线面平行构造之三角形中位线法

【典例6-1］如图，已知四棱锥PABC。的底面ABCZ）是平行四边形，M,N分别是棱尸8,PC的中点，Q

是棱％上一点，且AQ=3QP.

求证:N。//平面MCD;

【解析】取用的中点S,连接SM,SD,SC,因为加为PB的中点，

所以SA7//A3,又AB//CD,所以SA///CD,故S,M,C,。四点共面，

由题意知。，N分别为PS,PC的中点，故NQIISC,

又N。,平面MCD,SCu平面因此NQ//平面MCD；

【典例6-2】如图，四棱锥尸-ABCD的底面是正方形，平面ABCD,点E是的中点，F是线段

PB上靠近尸的三等分点，PD=AD=2.

（2）求点F到平面BDE的距离.

【解析】（1）证明：如图，

14

连接AC交BD于点O,连接EO,

一•・四边形AB。是正方形，二。为AC中点，

是以中点，EO//PC,

EOu平面BDE,PCn平面BDE,:.PC//平面BDE.

(2)•.•PD_L平面A5C£>,ABu平面ABC。，:.AB±PD.

又四边形ABCD是正方形，工AO.

又PDcAD=D,PDAOu平面尸AD,.:AB工平面EW.

又OEu平面PAD,:.ABIDE.

•••点E是出的中点，PD=AD=2,:.DELPA.

5LABC\PA=A,AB,PAu平面RIB,.•.£>£1!_平面2B.

又BEu平面PAB,:.DELBE.

又易知DE=0,：.BE=y/BD2-DE2=R.

:.SABDE=；x叵x瓜=6

LAB。=mxQx2x2)x2=§.

又S.ADE=S“PDE，歹是线段PB上靠近尸的三等分点，

•1/_1V_2_1i__2

••^B-ADE=]^P-ABD=§，VF—PDE=耳*§^P-ABD=§，

__4

==

…VF-BDEVp_ABD~^B-ADE-^F-PDE§•

设点厂到平面BDE的距离为4,贝石xd=:，解得d=逑.

399

二点F到平面BZ定的距离为华.

【方法技巧】

利用三角形中位线找线线平行.

15

【变式6-1】如图所示，PDCE为矩形，ABC。为梯形，平面PDCE_L平面ABCD,ZBAD=ZADC=90°,

AB=AD=；CD=1,pD=^2.

若点时为9的中点，证明:AC//平面MDE；

【解析】连接PC,交DE千N,连接

•.•尸DCE为矩形；.N为尸C的中点

在AR4c中，M,N分别为朋，PC的中点

.-.MN//AC,

因为"Nu平面ACC平面MDE,

所以AC〃平面MOE.

题型七：线面平行构造之平行四边形法

【典例7-1］如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是矩形，M,N分别是尸£)和8c的中点，平面

AD=2.

(1)证明：MN//平面上4B；

(2)求三棱锥M-ABC的体积.

【解析】(1)如图，取PA的中点E,连接EB,EM,

16

因为ME是的中位线，所以上ffiV/AD,且ME=gAZ),

又因为BN//AD且BN=LA。，所以ME/ABN且ME=BN,

2

所以四边形MEBN是平行四边形，所以MN//BE,

又因为"Na平面PAB,8Eu平面B4B,所以MN//平面B4B；

(2)取4B的中的中点尸，连接P尸，

因为E4=PB=AB,所以P_F_LAB,且尸P=JL

又因为平面B4B_L平面ABC。，平面尸ABc平面ABCD=AB,

PFu平面F4B,所以尸产，平面ABCD,

因为s„=LAB-BC=2,PF=6，

A2

所以与TBC=：S“BC.尸尸=竽，

又因为"是尸。的中点，所以%-Bc=；M-=g-

【方法技巧】

利用平行四边形找线线平行.

【变式7-1］如图，在正三棱柱ABC-ABC】中，22,歹分别是517,B£,A片的中点，BC=4BE，

△ABC的边长为2.

求证：：EF〃平面AORA；

【解析】证明：取42的中点G,连接尸G,DG,

17

根据题意可得尸G//42,且产G=g用2，DE=^BD,

由三棱柱得性质知3。〃片2,所以尸G//3D,则四边形DG所是平行四边形,

所以EF//DG,

因为£FU面ADRA，OGu面ADRA，

所以所〃面ADRA.

题型八：利用面面平行证明线面平行

【典例8-1】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD-4qGR中，瓦户分别为AD,AB的

中点，AB=2AlBi=4,侧面88cle与底面ABCD所成角为45。.

。C

AFB

求证：^^//平面人近7；

【解析】连接3。、BQI，由E,尸分别为AD,AB的中点，则EFVABD,

又砂0平面BBQQ,BDu平面BBQiD,故EF〃平面MQQ,

正四棱台ABCZ)-A8C2中，Asi//AB-B.Asi=^AB=BF,

则四边形4延4为平行四边形，故AFUBB\,

又4尸O平面BBQQ,881U平面BBQQ,故4歹〃平面^耳。。，

又A/cE/=尸，且4尸U平面4成"EFu平面A石产，

故平面AEb//平面5801。，又52(=平面故5。］//平面厂;

18

【典例8-2］如图，ADIIBC,点E、/在平面ABC。的同侧，CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,平面ACFE_L平面ABC。，EA=EC=y/3.

求证：〃平面

【解析】因为CF/M£,CFu平面ADE,

所以b〃平面ADE,同理BC7/平面ADE,

又BC,。尸＜=平面33,BCCCF=C,

所以平面BC尸〃平面ADE,Mu平面ADE,

所以8尸〃平面ADE；

【方法技巧】

本法原理：已知平面£〃平面则平面户里的任意直线均与平面a平行

【变式8-1］如图，在直角梯形A5CD中，AD//BC,AB±BC,AB=BC=2AD,把梯形ABCZ）绕A3旋

转至ABCR,E,尸分别为AB,CG中点.

证明：跖〃平面CQA；

【解析】证明：设2G中点为G,连接FG,EG,

19

・"G为△CCQ中位线，FG//CD,,

又CRu平面CR4,FGu平面CRA,

.•••FG〃平面CQ4,

VEG为梯形ABCR中位线，EG//AD,,

又AD,u平面CQA,EG(Z平面CQA,

二EG〃平面CD】A,

■.EG^FG=G,软?<=平面瓦6,£^^平面瓦6,

•••平面EFGH平面CRA,

•.•£Fu平面EFG,

J.EF〃平面CQA.

题型九：利用线面平行的性质证明线线平行

【典例如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为2cm和3cm,AA，3片为圆台的两条不同的母线.

。广。分别为圆台的上、下底面圆的圆心，且△OAB为等边三角形.求证：A5iHAB.

B

【解析】证明：；圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

母线M与母线BB,的延长线必交于一点，，A4,3,用四点共面.

；圆面。1〃圆面。，且平面AB4An圆面。1=4笈，平面AB81An圆面o=AB.

20

【方法技巧】

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

【变式9-2］如图，在四棱台4BCD—A耳GR中，0n，平面ABC。，AD//BC,AD=DC=2,BC=l,

ZBCD=60",AR=DtD=1.

记平面AAD。与平面aBCG的交线为/,证明：〃IBC；

【解析】

因为AD//BC,A£>u平面AA。。，平面\ADDX,

所以BCH平面\ADDy.

又BCu平面B.BCQ,平面AADQ口平面gBCC】=/,所以IUBC.

题型十：面面平行的证明

【典例10-1］如图，在多面体ABCDE尸中，四边形ABCD是正方形，DE_L平面ABCD,平面ABCD,

DE=2BF=2AB.

(1)求证：平面ARF〃平面CDE；

⑵若AB=2,求多面体ABCDE下的体积.

【解析】(1)因为DE_L平面ABC。，M_L平面ABCD,

所以DE//BF,

21

因为DEu平面CDE,8尸a平面CDE,

所以3尸〃平面CDE,

因为四边形ABC。是正方形，所以AB//CD,

因为CDu平面CDE,ABa平面CDE,

所以AB〃平面CDE,

又ABu平面ABRBbu平面且ABpB户=8,

所以平面ABF//平面CDE.

(2)如图，连接AC,8Q,记AcnBD=a.

因为四边形AB。是正方形，

所以AC,8£>,=C"=^AC,

2

因为£>£■_!_平面ABC。,ACi平面ABC。，

所以DE1AC,

因为DEu平面BDEF,BDu平面BDEF,且DEcBD=D,

所以4。_1平面庞>EF,

因为止=289=2AB,且AB=2,所以2尸=2,DE=4,

因为四边形ABC。是正方形，所以AC=3Z)=2拉，

贝ljAH=CW=0，

故多面体ABCDEF的体积V=VABDEF^CBDEF

JxR迪力+3吆1/后=8.

【方法技巧】

常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时

垂直于这两个平面.证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行.

【变式10-1］如图，直棱柱A3a)-45GQ中，底面ABCD为梯形，AB//DC,且AB=2£>C,E,尸分别

是棱A3,AD的中点.

22

证明：平面RE尸//平面G8D;

【解析】在△回）中，E,尸分别为AB,AD的中点，贝ijE广〃区）,

而£F0平面C\BD,BDu平面CtBD,因此£F〃平面CtBD,

又DC//AB,DC=；AB=EB,而。〃•℃,2G=〃。，

于是EB//RG且EB=RG，四边形BGRE为平行四边形，则RE//G8,

又D、E<Z平面C{BD,CXBu平面，因此D.E//平面QBD.

而EF,。也为平面DXEF中两相交直线，所以平面A£尸//平面CXBD.

题型H■一：面面平行的性质

【典例11-1】在正四面体ABCD中，尸为棱AO的中点，过点A的平面。与平面PBC平行，平面“A平面

ABD=m,平面平面HCD=",则加，”所成角的余弦值为（）

A.昱B,-C,-D.且

3333

【答案】B

【解析】因为平面2//平面尸8C,<n平面AB£>=7〃，平面PBCPl面ABr>=BP,

所以〃M/5P,

因为平面£//平面PBC,0n平面ACD=〃，平面PBCfl面ACDnPC,

所以"//PC,

所以加，”所成角即为8Ape所成角，

而8ape所成角为N8PC,设正四面体ABCD的棱长为2,

所以AB=AC=AZ）=8D=8C=2,所以BP=CP=打=后，

3+3-41

所以cos/BPC==不

2x，3xj33

23

A

故选：B.

【典例11-2】已知正方体平面ABC与平面32GC的交线为/,贝U（）

A.1//A.DB.1//B.Dc.IHCXDD.URC

【答案】C

【解析】正方体ABCD-ABQR中，平面A^B.B//平面DD^C,

平面ABCn平面DRCC=/,平面A8Cn平面44t4B=A4，所以〃/A与，

正方体中，A£>=4G且A£>〃与G，四边形AOC4为平行四边形，

则有A4〃G。，所以〃/CQ,C选项正确；

都与CQ相交，贝I"与4口4。,。0都不平行，ABD选项都错误.

故选：C.

【方法技巧】

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行=线面平行”）

【变式11-1］如图，梯形ABC。中A5〃CD,四边形是梯形ABCD在平面a内的投影

（AA'//BB'/ICC//DD'）,则对四边形AECTY的判断正确的是（）

A.可能是平行四边形不可能是梯形B.可能是任意四边形

C.可能是平行四边形也可能是梯形D.只可能是梯形

【答案】D

24

【解析】由题意，因为44'//B〃//cc"/nzy,所以4r与3g确定平面

CC与W确定平面CCDD,

A4'＜Z平面CC7XD,/汨上平面。。'。。，AA'〃平面CC'。'。，

又在梯形ABCD中，钿//。。,48二平面。67＞。，

CDu平面CCD'D,'.AB//平面CC7XD.

又A4'cAB=4,44'u平面A422,ABu平面AYgB,

•••平面AABB//平面COD'D.

易知平面AAZ'Bca=AZ'，

平面CC'D'Dca=CD',:.AB'//CD'.

在平面MC£＞中，A3与。。长度不相等，8C,AD必然会相交于一点，

则平面BBCC与平面AA力力相交，B'C',4力'必然会相交于一点，

则四边形AB'C。只可能是梯形，

故选：D

题型十二：平行关系的综合应用

【典例12-1］如图，在三棱锥P-ABC中，RU底面ABC,AC1BC,H为尸C的中点，M为A”的中点,

PA=AC=2,BC=1.

P

(1)求证：AH±BC；

(2)求点C到平面A8”的距离；

PN

(3)在线段上是否存在点N,使MN//平面ABC?若存在，求出访的值，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为PA_L底面ABC,BCu平面ABC,所以2_LBC.

又因为ACJ_3C,4?门雄=A,AC,P4u平面PAC,

所以BC_L平面PAC,

又因为平面尸AC,所以

(2)设点C到平面AB”的距离为d.

25

因为上4,底面A8C,PA=2,H为尸C的中点，

所以点H到平面ABH的距离为gPA=1.

又因为在VABC中，AC±BC,AC=2,BC=\.

=XXX

VjHAB=VH-CAB=§X5""XS&ABC~1^2xl=—.

又因为PA_L底面ABC,4Cu平面ABC,所以PA_LAC,

又因为R4=2,AC=2,H为尸C的中点，

所以尸C=2应，AH=gpC=①

又因为由（1）知BCJ■平面PAC,PCu平面PAC,所以BCLPC,

则BH=y/BC2+CH2

所以AB?=m2+8/72,则

则AABH的面积为=逅，

22

所以K?HAB=Ld-,解得d=.

C-HAB3233

IPN\3

（3）线段尸8上当点N满足万前=j,使MN//平面ABC.

证明：取S的中点K,连接MK,NK.

因为加为AN的中点，

所以由MK为△五AC的中位线，可得MK//AC.

又因为MKa平面ABC,ACu平面ABC,所以MK〃平面ABC；

由卷=3,啰=3,可得筹=黑，则…C

又因为NK<X平面ABC,BCu平面ABC,所以NK//平面ABC.

又因为MZTcNK=K,MK,NKu平面ABC,

26

所以平面M