出水芙蓉型-初中数学模型与解题方法专项训练

25出水芙蓉型

一、单选题

1.（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗

类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多

长？其中一丈为十尺，设水深为X尺，则可列方程为（）

B.(X-1)2+52=X2C.(x+l)2+52=x2D.(X+1)2=X2+52

【答案】D

【详解】解：如图，由题意得：AC=x尺，BC=：BE=5尺,CD=1尺,AB=A。=（x+1）尺，AD1BC,

则在RtAABC中，由勾股定理得：AB2=AC-+BC2,即（x+l-=V+52,故选：D.

2.如图在平静的湖面上，有一支红莲A4,高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边,

花朵齐及水面（即=已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为（）

A.百米B.3米C.4米D.12米

【答案】C

【详解】解：在Rt丛BCD中,设BOh,BD=A改卅D（=3,

...由勾股定理得：BD2=BC2+CD2,即（力+1）2=8+32,

，解得：7F4.故选：C.

3.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为

Acm,则为的取值范围是()

A.0W/W12B.12W/;W13C.11W分W12D.12W入W24

【答案】C

【详解】当筷子与杯底垂直时力最大，为最大=24-12=12(cm).

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：此时，AB=7AC2+BC2=A/122+52=I3(cm),

故人=24-13=11(cm).

故人的取值范围是：llcmW/zWl2cm.故选：C.

4.将一根20cm的细木棍放入长，宽，高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子中，则细木棍露在外面

的最短长度为().

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【详解】解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短.

在RtZ\C£)E中，由勾股定理，得CE="+不=5(cm).

在RtABCE中，由勾股定理，

得BC=VCE2+BE2=V52+122=13(cm),

此时露在盒子外面的部分为^=20-13=7(cm).故选B.

5.如图是一个饮料罐，下底面半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则

一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是

)

A.12WaW13B.12WaW15C.5WaW12D.5WaW13

【答案】A

【详解】解：由题意可得：

a的最小长度为饮料罐的高，即为12,

当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为

•••下底面半径是5,

•力比15?+12?=13,

a的取值范围是12WaW13,

6.如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm,高为16cm,现有一根长为25cm的吸管任意放

入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2#5cm

【答案】B

【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则

吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：后而=20（cm）

所以吸管露出杯口外的长度最少为2520=5（cm）；故选：B.

/

16cm

12cm

7.如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿A3竖直插到水底，此时竹竿

离岸边点C处的距离CD=0.8米.竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端力拉向岸边点。

处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度30为（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

【答案】A

【详解】解：设必的长度为x必，则/田除（x+0.2）m,

在.RtACDB中,0.82+/=（x+0.2）2,解得尸1.5.故选：A.

8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直

吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.12《aW13B.12WaW15C.5WaW12D.5WaW13

【答案】A

【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理，得：7^71?=13.

即a的取值范围是12WaW13.故选：A.

9.如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cM的吸管插入盒的

底部，则吸管漏在盒外面的部分万（。m）的取值范围为（）

12

A.3</?<4B.3W〃W4C.2<h<4D.h=4

【答案】B

【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16T2=4(cm)；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线长=疗彳=5cm,高为12cm,

由勾股定理可得：杯里面管长=斤启=13011,则露在杯口外的长度最短为16-13=3(cm),

3W0W4；故选：B.

10.如图所示，将一根长为24切的筷子，置于底面直径为5c处高为12c〃的圆柱形水杯中，设筷子露在

外面的长为力谶，则力的取值范围是()

A.B.11W/W12C.辰12D.0<7?^12

【答案】B

【详解】解：当筷子与杯底垂直时分最大，力最大=24-12=12谶.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：

此时，AB=7AC2+BC2=V122+52=13c勿,

A=24-13=11c/n.

・••力的取值范围是11。%W力2M.故选：B.

二、填空题

11.如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm,高为12cm,今有一支15cm的吸管任意

斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为.

CHD

【答案】2cm

【详解】解：,.，CD=5cm,AD=12cm,ZADC=90°,

AC=A/52+122=13cm>

露出杯口外的长度最少为=1513=2cm.

故答案为：2cm.

12.将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的

部分长度x的范围是.

【答案】2cmWxW3cm

【详解】如图所示：

二•将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为

xcm

・・・x最长是筷子的长度减去杯子的高度，X最短是筷子的长度减去杯子斜边长度

...由勾股定理得，杯子斜边长度=疹而=13cm

A15-13<x<15-12

24x43

故答案为：2cmMxW3cm.

13.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，

斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰

好能出去，则竿长是尺.

【答案】10

【详解】解：设竹竿x尺，则图中法工

:,BOBEC后x4（x>4）,CFCFD&（x>2）,

在直角三角形用力中，/BC店90°,

由勾股定理得：BG+Clf=Blf,

所以（加）2+（豆）2=y,

整理，得/12x+20=0,

因式分解，得（xlO）（豆）=0,

解得疗10,XL2,

*：x>4,

・••尸10.

答：竹竿为10尺.

故答案为：10.

14.如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边,

它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是.

【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，

根据勾股定理得：/+（y）・（x+1）z,

解得：x=12,

芦苇的长度=x+l=12+l=13（尺），

故答案为：13尺.

15.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇A3生长在它的中央，高出水面的部分BC

为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部8恰好碰到岸边的8,，则这根芦苇

的长度是尺.

B

【答案】13

【详解】解：设芦苇长小/W=x尺，则水深/信(xl)尺，

因为底面是边长为10尺的正方形，所以皮信5尺

在RtAAB'C中,52+(xl)M

解之得下13,

即芦苇长13尺.

故答案为：13.

16.将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm,高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的

最短长度为cm.

【答案】4

【详解】解：杯子内筷子的最大长度是：7122+162=20071

则筷子露在杯子外面的最短长度是：2420=4(cm),

故答案为：4.

17.现将一支长20M的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个长和宽分别为8c如6腐的长方体水槽中，要

使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm.

【答案】106

【详解】解：如图，由题意可得，EF=6,FH=8,EL=20,

EH=V82+62=10,(cm),

故水槽中的水深至少为：LH=[EC-EH?=,2()2-IO?=而5=104(cm),

故答案为：10石.

18.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，

问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的

中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部。恰好

碰到岸边的C处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺.

【答案】12

【详解】解：依题意画出图形,

设芦苇长AC=AC=x尺，

则水深43=（尤-1）尺，

•/C'E=10尺，

C'B=5尺,

在MAACB中，根据勾股定理得，

52+（%-1）2=X2,

25+x2—2x+l=x2

解得x=13,即芦苇长13尺，

.••水深为12尺，

故答案为：12.

19.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jid）生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？"（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：

如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果

把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是尺.

【详解】设这个水池深x尺，

由题意得，X2+52=（X+1）2,解得：x=12

答：这个水池深12尺.

故答案为：12.

三、解答题

20.读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”.

【答案】4.5尺

【详解】设水深"尺，PB=PC=（x+3）尺，

根据勾股定理得：P#+AG=PC,/+6。=（x+3）2.解得：x=4.5,

答:水深4.5尺.

21.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭

赴岸，适与岸齐，问水深几何？"（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=（米），这段话翻译城现代

汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水

面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少

米？请你用所学知识解答这个问题.

A

O

【答案】4米

【详解】解：设水池里水的深度是x尺，

由题意得，/+52=（x+1）2,解得：尸12,

.,.12xg=4米

答：水池里水的深度是4米.

22.（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水

清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能

算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.

【答案】水深3.75尺.

【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5,

根据勾股定理得：（x+0.5）2=（+4；解得：x=3.75.

答：湖水深3.75尺.

23.如图，一个直径为12M（即6c=12c加的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点£处竖直放一根筷子，

筷子露出杯子外2c0（即囚G=2c〃），当筷子