甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二年级下册6月月考数学试卷

高台一中2025春学期高二年级6月月考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合要求的.

1.下列导数运算正确的有（）

A.B.xexx+l）ex

C.（叫'=e2xD.（in2尤）=—

2.如图是函数/（%）的导函数r（x）的部分图象，则

“力的一个极大值点为（

再

A.B.x2

D.x4

3.从L2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”,事件3="取

到两个数均为偶数”，则P（3|A）

12

A.-BC.一D

8z5I

4.如图，在棱长为1的正方体—中，E,E,G分别7

为。2mB用的中点，则所与CG所成的角的余弦值为（）4

E除

G

R非DL-\

A.D.------C

F

i（r5A

叵D

C.ITf

5.随机变量x：N（3,毒）,尸（2<x<4）=加，尸（1<X<5）=〃，则尸（2<X<5）的值为（）

m+nn—mm1-n

A.B.-------c1一D.——

22.22

6.函数〃x）=（x+l）e2"的单调递增区间是（）

A-「展+00B.(-2,+oo)C.(-l,+oo)D.(0,+“)

7.设曲线/（%）=£+1（〃GN*）在点（1,1）处的切线与X轴的交点的横坐标为龙,，则

2023120241

A.-------B.-------C.-------D.-------

2024202420252025

8.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子

里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红

球个数为4个，则随着的增加，下列说法正确的是（）

A.召修）增加，£>4）增加B.召«）增加，。但）减小

C.EC）减小，增加D.EC）减小，减小

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分,

有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0分.

9.某企业根据市场调研得到研发投入无（亿元）与产

X1234567

品收益y（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确

y2357889

的是（）

V-rixy〃n

2

参考公式：b=号---------,a=y-bx,^(x;-x)(%一歹)=34,£(x;-%)=28,

£x；一nx2/=1,=1

i=i

A.丁=4,9=6

B.由散点图知变量x和y负相关

C.相关系数厂的绝对值|r|越接近0,表示x,y的线性相关程度越强

D.用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为y=1.5x+0.5

10.在棱长为2的正方体中，E,尸分别为棱4。，AA的中点，则下列

选项中正确的为（）

A.AA〃平面3防B.直线8E与A中所成角的余弦值为好

3

C.BQ八ACD.直线AB与平面5石F所成角的正弦值为速

3

Inx

11.已知函数/(X)=——，则下列说法中正确的是()

X

A.函数/(x)的最大值是工

e

B./(x)在(L+8)上单调递减

C.对任意两个正实数再,％2，且%>%2，若/(石)=/(4),贝！］斗+/226

D.若关于x的方程"(幻产+叫/"(幻+机=。有3个不等实数根，则根的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，平行六面体ABC。-AgGA的底面A5CD是边

长为1的正方形，且Z4AD=Z^AB=60°,A4=2,则

线段AC1的长为

13乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺

、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求,

建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快第X年12345

推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使

收入y38101415

得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所

zK：

由上表可得V关于x的近似回归方程为y=3x+a,则第6年该乡镇财政收入预计为

亿元.

14.设函数/(x)=x2-(a+2)x+alnx(aeR)，若/(尤)21恒成立，则。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17

分，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数〃x)=x-xlnx”，若曲线y=〃x)在点。，/⑴)处的切线方程为y=6x+2.

⑴求。和b的值；

⑵求的单调区间.

16.究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取

了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下

表：

数学总评优秀的人数数学总评非优秀的人数合计

每天都整理数学错题的人数90

不是每天都整理数学错题的人数40100

合计200

(1)完成上述样本数据的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生的数学成绩

总评优秀与每天都整理数学错题有关；

(2)从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人数学成绩总评优秀”，B

表示事件“选到的人每天都整理数学错题”.利用该调查数据，求P(A|B),P(A|目的

值.

(3)按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名

学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为

X，求x的分布列和期望.

2

2n(ad-be),

附：%=-------------------------,其中〃=a+Z?+c+d.

“(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a=P(720.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

17.如图，四边形A3CD是正方形，平面平面ABC。，PA.LAB,EB//PAf

AB=PA.=4,EB=2.

(1)求证：3。//平面PEC；

(2)求二面角O-PC-E的大小.

(3)点Q在直线BD上，直线尸。与直线CE的夹角为a,二面

角D-PC—E为P,是否存在点Q,使得。+夕=7?■.如果存

在，请求出忸0；如果不存在，请说明理由.

a

18.已知函数/(无)=x2]nx,g(x)=a.ex，

(1)求/(x)的极值;

(2)求g(x)的单调区间；

(3)若X/xe(l,+8),/(x)>g(x),求。的取值范围.

19.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别

是万和P,且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各

投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜

并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.

2

⑴若p=§，

(i)假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；

(ii)求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.

(2)若;问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到3分？

参考答案

1B

2.如图是函数九)的导函数/(*)的部分图象，则/(“)的一个极大值点为()

A.X]B.X2C.X3D.X4

【答案】B

【解析】

【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可.

【详解】极大值点处导数为0,且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有

%符合.

故选：B.

3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”，事件3="取到两个

数均为偶数”，则尸（3|A）=

,2£

C.—D.

52

【答案】B

【解析】

【分析】先求得P（A）和P（AB）的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意P（A）=邑^^=1=£,/5（钻）=*=卡,故。（3|4）=

1

P(AB)=历=1

.故选B.

P网24

5

4.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A耳Ci。中，2”6分别为。2,3。,5片的中

点，则所与CG所成的角的余弦值为（

,V10RV5「岳Vw

10515

【答案】c

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.

【详解】以。作坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系,

则E(O,O,g，呜，g，0，C(0，L0)，GLL；

所以访JUT)函

设所与CG所成角的大小为

贝1"8=辰(彷，回=|EF-CG|yfl5

HR~TT

5A

6A【详解】函数y(x)=(x+l)e"的定义域为R,又广(X)=(2x+3)e",令尸(x)>0,解

得所以函数f(x)=(x+l)e2”的单调递增区间是故选：A

7.设曲线〃尤)=尤角(〃eN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为尤"，则

……马023等十()

.2022,1八2023八1

A.----B.----C.----D.----

2023202320242024

【答案】D

【知识点】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到％=3,累乘即可得到结果.

n+1

【详解】f\x)=(n+l)xn,:.f'(S)=n+\,

\/(x)在点(LI)处的切线方程为：y-l=(n+l)(x-l),

|n

令y=o得：x=-----+1=-

nn+ln+1

123420241

..玉・=—X—X—X—X---X-----------

Z•F.*4...........*2023234520252025

故选：D.

8c【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出〃个球，含有红球个数x服从超几何分布,

其中P(X=A)二注一，其中左cN,k<3&k<n,EX=?=g.故从甲盒中取球，相

c662

当于从含有g+1个红球的”+1个球中取一球，取到红球个数为故

n

+

=2^1,1.随机变量4服从两点分布，所以

―一广〃+1~22〃+2

n

£(?=?化==/=+随着〃的增大，EC)减小；

9—)n+l22〃+2

D©=[1-=切尸管=°=T-⑵：2)2，随着〃的增大，℃)增大•故选：C.

10在棱长为2的正方体中，E,尸分别为棱AR,AA的中点，则下列

选项中正确的为()

A.直线的与44所成角的余弦值为好B.A。//平面3EF

3

C.用0AAeD.直线48与平面3印所成角的正弦值为

20

【答案】BC

【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、线面角

的向量求法

【分析】A选项，建立，建立空间直角坐标系，得到屉=(-1,-2,2)，4瓦=(0,2,0),设直线

踮与A耳所成角为6,利用cos。"cos(屉，嵇■，得到答案；B选项，证明出E///A2,得

到线面平行；C选项，计算出的•恁=(),得到垂直关系；D选项，求出平面BEF的法向

量，利用线面角的夹角公式求出答案.

【详解】A选项，以。为坐标原点，D4,OC,Z)2所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系，

故5(2,2,0),E。,0,2),4(2,0,2),4(2,2,2),

则丽=(1,0,2)一(2,2,0)=2,2),病=(2,2,2)—(2,0,2)=(0,2,0),

设直线BE与A片所成角为内

11.11.已知函数/(x)=,则下列说法中正确的是()

A.函数/(%)的最大值是!

e

B./(%)在(1,+8)上单调递减

C.对任意两个正实数%1，%2，且%>%2，若/(再)=/(%2)，则再+%2>2e

1

D.若关于X的方程［/(九)9?+何(犬)+加=0有3个不等实数根，则根的取值范围是(一一--,0)

e+e

【答案】ACD

【解析】

【分析】直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况判断AB；利用函数值相等，结合极值点偏移

构造函数判断C；结合函数图象，数形结合将根的范围转换成复合型二次函数的值域求解判断D.

I|_I-y,

【详解】对于AB,函数/(x)=---------的定义域为(0,+8),求导得了'(%)=———，

"XX

当0<x<e时，r(x)>0,当工〉e时，/'(%)<0,函数/(X)在(0,e)上单调递增，

在(e,+oo)上单调递减，f(x)=f(e)=---二—,A正确，B错误；

maxee

[nxInx

对于c,依题意，0<X2<e<x-/(%)=---=—>=/(%)>。，则1<%2<6<%，

•^2

不等式玉+/22eoX]>2e-x,,令F(x)=/(x)—/(2e一幻=也—”(2e—x)

x2e-x

(2e-x)Inx-xln(2e-x),

=---------------------,l<x<e,令G(x)=(2e-x)Inx-xln(2e一x),1v%ve,

x(2e—x)

t、、..2e-xf、x2e-xx-.□□

求导倚G(x)=—InxH-------ln(2e—x)H------=------1-------ln[—(zc—x)+e]n,

x2e-xx2e-x

而当l<x<e时，——-H>2.―—-——--=2=Ine2>ln[-(e-x)2+e2]，

x2e-xVx2e-x

于是G'(x)＞。，函数G(x)在(l,e)上单调递增，G(x)＜G(e)=0,即/(x)＜0,

因此/(为)=/(x2)＜/(2e-x2),又/(x)在(e,+oo)上单调递减，则石＞2e-%2，c正确;

对于D,令人»=乙若关于x的方程［/(x)f+时(％)+m=0有3个不等实数根，

2

则关于t的方程t+mt+7M=0有两个不相等的实数根tvt2,A=机2—4m＞0，

0<%<一

0<[<—e

m

解得机＞4或加＜0，且%+%2=一九。弓=，贝卜

1

了2＜。%2二一

e

0<A<-,

ie11—1

当《时，(一产+底一+加=。，解得加==——，与根=%>0矛盾;

1eee+e一

%2=一

e

0<A<—1111121

当《e时，m=桃<。，=m,整理得--—=-(—+-)+-,

心<0m%%r>~

则L的取值范围是(―00,—。2—e),因此以的取值范围是(一一,0),D正确.

me+e

12.

如图，平行六面体ABC。-A4G2的底面ABCD是边长为1的正方形，且

Z4AD=ZA{AB=60°,朋=2,则线段AQ的长为（）

A.76B.Vioc.TilD.2A/3

【答案】B

13.

解:

X的平均值=—(1+2+3+4+5)

5

=3

y的平均值=2(3+8+10+14+15)

5

=10

将x的平均值与y的平均值代入

y=3x+a中，得G=i，所以

V=3N+1，将x=6代入9=3N+1

中，解得5=3x6+1=19(亿元)。

(2T-«)(X-1)

解f(X)=-------------,Z>0,

由题意义工)》1,则

(D当a<0时，令/'(才)>0,得j->ls

令，(z)V0,得0<工<1,

所以/(工)在(0,1)上单调递减，在(l,+oo)上单

14.调递增，

所以/(Z)mm=J(D=一。一1，

所以一a-l>l,即a<-2；

(2)当a>0时，存在/(1)=一&一1<0,不满足

题意，可知a>0时，/(工))1不恒成立，

综上，a4一2.

故实数a的取值范围是(-8,-2].

【分析】(1)求出函数的导函数，由广(1)求出6,再由/⑴求出。；

(2)令/(x)=0可得。=x-xlnx,令g(x)=x-xlnx,利用导数说明函数的单调性，求出

函数的最大值，依题意，="与y=g(x)无交点，即可求出参数a的取值范围.

【详解】(1)因为〃x)=x-xlnx-a,所以/⑴=1一%

又广(力=1一(lnx+l)=-lnx,则广(1)=0,

又曲线N=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程为歹=及+2,

所以〈」解得一

[1-67=2[a=-\

(2)令/(x)=0,即a=x-xlnx,

令g(x)=x-xlnx,则g1x)=_lnx,

所以当Ovxvl时g'(x)>0,当%>1时g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减,

16.解：（1）完善2x2列联表，如下:

数学成绩总评优秀的人数数学成绩总评非优秀的人数合计

每天都整理数学错题的人数9010100

不是每天都整理数学错题的人数6040100

合计15050200

2200（40X90-60X10）2〜…°。

由题可知力-=——----------------—=24>10.828,

50x150x100x100

所以有99.9%的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关.

（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀.

右所有可能的取值为0,1,2,

32

知尸6=0）=C*=《1，=D=C2cl3P《=2）=C*'C$3

所以。的分布列为

g012

133

P

10510

ioaA

故E©=0x—+lx—+2x—=—.

105105

17.【详解】（1）如图，以A为原点，AD，AB，而为无轴、y轴、z轴正方向，建立空

间直角坐标系，

依题意，得人0,0,0）,5（0,4,0）,C（4,4,0）,£＞（4,0,0）,P（0,0,4）,£（0,4,2）,

取尸C的中点跖连接则M（2,2,2）,EM=（2-2,0）,丽=（4,Y,0）,

所以加=2瓦7，则又£70u平面PEC,平面PEC,

所以BD//平面PEC.

(2)取PD中点尸，则尸(2,0,2),XAD^AB=PA,则AF_LPD,

由48_1%,钻_14£>且上4门4£)=4都在面上4£>内，贝UAB_L面上4£),

由CEM/AB,则。£>_1面24£),A尸u面尸AD,故CD_LAF,

由尸DcCDnO,PD、CDu平面PCD,所以AF_L平面PCD,

故衣=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量.

设平面PCE的法向量五=(x,y,z),且定=(4,4,-4),PE=(O,4,-2),

fiPC=O即L[4x-+24y：-=4。z=0,令-I,得/、

所以

n-PE=0

-2-0-4A/3

所以cosAF,n

2A/2XV6-2

5兀

由图，二面角D-PC-E为钝二面角，所以二面角D-PC-E的大小为高.

6

18.【答案】(1)极小值为-上，无极大值.

2e

(2)答案见解析

(3)(-8,0].

【详解】(1)/(x)=2xlnx+尤=x(21nx+l).

令r(x)>0,解得x>3，令/'(x)<0,解得0<彳<屋；，

1、

所以/(x)在e?,+8上单调递增，在0,e2上单调递减.

\7I)

_j_A;nfe-2A

/(x)在x=e^处取得极小值，极小值为了,~22-：，无极大值.

77

(2)g(x)的定义域为(y>,0)U(0，+8).

a

，/、«2,ex

g(x)=丁

若。=0,则g(x)为常函数，无单调区间.

若awO,则g'(x)<0,g(x)的单调递减区间为(YO,0),(0,+8),无单调递增区间.

aaa

(3)