概率（三大考点）

专项25概率（三大考点）

【典例今析】

【考点1随机事件与概率】

【典例1】下列事件中，是必然事件的是（）

A.通常加热到100°C时，水沸腾

B.掷一次骰子，向上一面的点数是6

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.射击运动员射击次，命中靶心

【答案】A

【解答】解：A、通常加热到100°C时，水沸腾，是必然事件，符合题意；

8、掷一次骰子，向上一面的点数是6,是随机事件，不符合题意；

C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

D.射击运动员射击次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；

故选：A.

【变式1】下列事件是必然事件的是（）

A.2021年7月12日青川县的天气是晴天

B.从一副扑克中任意抽出一张是黑桃

C.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边

D.打开电视，正在播广告

【答案】C

【解答】解:42021年7月12日青川县的天气是晴天，是随机事件，不符合题意；

8、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；

C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；

D,打开电视，正在播广告，是随机事件，不符合题意；

故选：C.

【典例2】一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同,

从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（)

A.AB.Ac.2D.1

323

【答案】A

【解答】解：一共有3个球，其中白球有1个，

因此摸出一球是白球的概率为工，

3

故选：A.

【变式2】如图是一个可自由转动的转盘，转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在数

字“IV”所示区域内的概率是（）

3648

【答案】D

【解答】解：由题意知，指针落在数字“IV”所示区域内的概率是

360°-60°-120°-45°=3

360°京，

故选：D.

【典例3】由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都

是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（）

A.AB.Ac.」D.2

2487

【答案】B

【解答】解：观察这个图可知：空白区域占1,故其概率等于1.

44

故选:B.

【变式31】（2021春•沙坪坝区校级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，

其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的

概率是工，为黄球的概率是工，则红球的个数为（）

32

A.3B.4C.6D.9

【答案】A

【解答】解：根据题意知，白色球的个数为18*工=6（个），黄色球的个数为18X1=

32

9（个），

所以红色球的个数为18-6-9=3（个），

故选：A

【变式32］如图，在3X3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编

号1-5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图

形的概率是（）

A.1B.Ac.3D.2

555

【答案】B

【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，

其概率为2.

5

故选：

【考点2用列举法求概率】

【典例4】某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，

主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AAi、BBi、CC1,

只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打

个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队

员.

（1）若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将A41和连成一条的概率.

（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率.

A____________________A\

B三41

cCi

【解答】解：（1）甲嘉宾随意打了个结，有3种可能的结果,

所以他恰好将A41和BBi连成一条的概率=上；

3

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中三根细绳连成一条的结果数为3,

所以甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率=旦=上.

93

【变式41］如图，湖边建有A,B,C,。共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观

一遍，从入口处进，先经过凉亭A,接下来参观凉亭8或凉亭C（已经参观过的凉亭，

再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（）

"I

【答案】C

【解答】解：根据题意画图如下:

共有12种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭D的有6种,

则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为巨=工；

122

故选：C.

【变式42]在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著

名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是()

A.AB.Ac.2D.A

2334

【答案】B

【解答】解：华山、华阳古镇，太白山分别用A、8、C表示，根据题意画树状图为：

开始

ABC

/1\/T\Zl\

ABCABCABC

共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一景点的结果数为3,

所以两家去同一景点的概率=3=1.

93

故选：B.

【变式43]一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有

数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中

任意摸出1个球，记下数字.

(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是—；

(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率.

【解答】解：•••袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，

...第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是工.

3

故答案为：1.

3

(2)画树状图如下：

开始

123

/K不不

123123123

共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：(1,1),(1,

3),(3,1),(3,3),共4种,

,两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为邑.

9

【典例5】为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.书法；2.绘画；C.乐

器；D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进

行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).将数据进行整理，

并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有40人;扇形统计图中/a=108度;

(2)请把条形统计图补充完整；

(3)学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从4书法；B.绘画；C.乐器；D.舞

蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中

书法与乐器组合在一起的概率.

【解答】解：(1)本次调查的学生总人数为4・10%=40(人)，Na=360°X(1-10%

-20%-40%)=108°.

故答案为:40；108.

(2)选择C科目的人数为40X(1-10%-20%-40%)=12(人)，

补全条形统计图如下：

(3)画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中选中书法与乐器组合在一起的结果有2种，

•••选中书法与乐器组合在一起的概率为2」.

126

【变式5】某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查

的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，

学校的调查结果如图：

根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有人，“散文”类所对应的圆心角的度数为;

（2）请补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数；

（4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取

两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰

好都是男生的概率.

【解答】解：（1）本次被调查的学生有20・40%=50（人），

“散文”类所对应的圆心角的度数为也■X360。=72°.

50

故答案为：50；72°.

（2）喜欢“绘画”的学生人数为50-4-20-10=16（人）.

50

:.估计该校喜欢“绘画”的学生人数有800人.

（4）画树状图如下：

开始

/T\/T\/K/1\

男男男女男男女男男女男男

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果有6种,

...所选的两人恰好都是男生的概率为&=工.

122

【考点3用频率估计概率】

【典例6】小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如

图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）

4频率

40%

30%

20%----------------------------

10%----------------------------

020()400600次数

A.从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全

相同），摸到红球的概率

B.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率

C.从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率

D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率

【答案】A

【解答】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除

颜色外，完全相同），摸到红球的概率为工，故此选项符合题意；

3

8、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为工，故此选项不符合题意；

2

C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率整=工；故此选项不

524

符合题意；

。、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；

故选：A.

【变式61】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其

他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑

球可能有（）个.

A.10个B.n个C.12个D.13个

【答案】B

【解答】解：设黑球个数为：尤个，

•..摸到白色球的频率稳定在25%左右，

口袋中得到白色球的概率为25%,

；___—=0.25,

5+4+x

解得：x=ll,

故黑球的个数为11个.

故选：B.

【变式62］如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解

该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20c,后的长方形，将不规则图

案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上

的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘

制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（)

小球落在不规则图案内的概率

实蚊次数

图②

B.1cm2C.8cm2D.9cm2

【答案】B

【解答】解：假设不规则图案的面积为尤CW,

由已知得：长方形面积为20a次,

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：工

20

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值,

故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35,

综上：—=n35，

20

解得:尤=7,

不规则图案的面积大约为7cm2,

故选:B.

宠【龈稼制稼】

1.翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是（）

A.不可能事件B.随机事件C.必然事件D.无法确定

【答案】B

【解答】解：翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是随机事件,

故选：B.

2.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径,

则它获取食物的概率是（)

3236

【答案】c

【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是

63

故选：C.

3任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

3456

【答案】A

【解答】解：：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大

于4的有2种情况，

••・任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：1=1.

63

故选：A.

4.一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹

中混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如表所示.

M号衬衫数13457

包数207101112

一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是（）

A.-LB.-LC.-5-D..A-

20152027

【答案】c

【解答】解：一位零售商从60包中任意选取一包，包中混入M号衬衫数不超过3的概

率=20+7=9

6020

故选：C.

5.在掷硬币的试验中，正确的是（)

A.老师安排每位同学回家做试验，硬币自由选取

B.老师安排同学回家做试验，硬币统一发（完全一样的）.同学交来的结果，老师挑选

他满意的进行统计，他不满意的就不要

C.甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%,于是他断定在做第2001次时，正面不

会向上

D.乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，

然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度

【答案】D

【解答】解：4应选择相同的硬币，在类似的条件下试验，故错误，不符合题意；

8、所有的试验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；

C、在做第2001次时，正面由可能向上，也有可能向下，故错误，不符合题意；

D,符合模拟试验的条件，正确，符合题意.

故选：D.

6.甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜

色分别为红色、黄色、绿色.从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中

至少有一张是红色的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3236

【答案】A

【解答】解：画树状图如图：

开始

\

甲红黄

/N/N

乙红黄绿红黄绿

共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，

.••取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为2=2,

63

故选：A.

7.不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3,

从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作

为两位数。的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数。的个位数字，则两位

数a是3的倍数的概率为（）

A.AB.AC.AD.B

3929

【答案】A

【解答】解：画树状图得：

开始

123

/NZT\ZN

123123123

共有9种等可能的情况，其中能被3整除的有12,21,33共3种情况,

所以两位数a是3的倍数的概率为3=工,

93

故选：A.

8.从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）

A.AB.2c.AD.立

3366

【答案】B

【解答】解：根据题意画图如下：

共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种,

则甲被选中的概率为名=2.

63

故选:B.

9.（2021春•温江区校级期末）一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过

多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（）个.

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解答】解：设有红色球x个，

根据题意得：-^=0.4,

18+x

解得：x=12,

经检验，x=12是分式方程的解且符合题意.

故选:B.

10.一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个.通过多次摸球试

验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5.则可估计袋中白球的个数是（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】A

【解答】解：•••摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5,

摸到白球的频率为1-0.3-0.5=0.2,

设袋子中，白球有x个，

根据题意，得：工=0.2,

50

解得：x=10,

即布袋中白球可能有10个，

故选：A.

11.现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任

选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是—.

【答案】1

6

【解答】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，

列表如下：

1234

1---(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)---(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)---(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)---

所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种,

贝U尸两个都为中心对称图形=」一=

126

故答案为：1.

6

12从-2,0,2这三个数中，任取两个不同的数分别作为a,