等式与不等式的性质（复习讲义）-2026年高考数学一轮复习原卷版

第03讲等式与不等式的性质

目录

01考情解码•命题预警..........................................................2

02体系构建•思维可视...........................................................3

03核心突破•靶向攻坚...........................................................3

知能解码....................................................................3

知识点1两个实数大小的比较............................................3

知识点2不等式的性质..................................................4

题型破译....................................................................4

题型1作差法、作商法比较两数（式）的大小...............................4

题型2利用不等式的性质判断命题真假重

【方法技巧】利用不等式判断正误的方法

题型3利用不等式的性质证明不等式.......................................6

题型4利用不等式的基本性质求代数式的取值范围...........................7

【易错分析】利用同向相加求范围出错

题型5不等式的综合难

04真题溯源•考向感知..........................................................8

05课本典例•高考素材..........................................................8

01

考情解码-命题预警

考点要求考察形式2025年2024年2023年

(1)理解用作差法比较两个

团单选题

实数大小的理论依据

□多选题///

(2)理解不等式的性质，掌□填空题

□解答题

握不等式性质的简单应用.

考情分析：

近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、

证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提

供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的

关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。

复习目标：

1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系

3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围

02

体系构建-思维可视

等

式

与

不

等

式

的

性

质

03

Fi

核心突破•靶向攻坚

PU

知识点1两个实数大小的比较

作差法：

如果。》是正数，那么a>b;如果a-b等于零，那么a=b;如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对.

这个基本事实可以表示为:a>bo,a=b=a—b=0,a<boa—b<。.

作商法：

任意两个值为的代数式。、b,可以作商a+6后比较/与的关系，进一步比较。与。的

大小.

则有色>10〃>/?；a<b'—=\oa=b.

bbb

自主检测|已知4>1,a2>l,设尸='+',2=—+1,则P与。的大小关系为

知识点2不等式的性质

性质性质内容注意

对称性a>b<=>b<ao

传递性a>b,b>cna>cn

—a>b<^>a+c>b+co

a>b,c>Unac>bc

可乘性C的符号

a>b.______=>ac<be

同向可加性a>b.c>dn______n

同向同正可乘性a>b>O,c>d>O^ac>bdn

可乘方性a>b>0^>an>b〃(neN,n..2)同正

自主检测|（多选）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0,贝！Jac?〉。。？

B.若一2vav3,1<Z?<2,贝（jTva—Z?v2

C.若且c<0,则一z->—y

ab

D.若c>a>b,贝I------>—

c-ac-b

题型1作差法、作商法比较两数（式）的大小

|例1-1他=叵。=布-&R=屈-日则尸，Q,R的大小关系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

例1-2妆口果尤,yeR,比较1+,2丫与孙（x+y）?的大小并证明.

【变式1-1］设0=近，6=3-0，贝I。b（填入“〉”或.

【变式1-2】己知》克糖水中含有。克糖（6>。>0）,再添加加克糖（相>0,假设全部溶解），糖水变甜

了，将这一事实表示为一个不等式（）

aaa+ma

A.->------B.------->-------

bb+mbb+m

/aa+m-aa+m

C.-------<--------D.-<-------

b+mb+mbb+m

【变式•变载体】若。=浮力=号，则。与的大小关系是

1-3b.（用“>”连接）

题型2利用不等式的性质判断命题真假

例2-1|（多选）对于实数。、b、c,下列说法正确的是（）

A.若a<6<0,则一<，B.若ac2>be2,则。>方

ab

C.若。〉0〉人，贝口.若c>a>b>0,贝丝g

cc+b

例2-2|已知x,y是实数，则“工>1”是“x<y”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

方法技15利用不等式判断正误的方法

①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.

②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是

所取的值要有代表性.

【变式2-1】设a,beR,若则下列不等式中不正确的是（）

A.a2<b2B.—<—C.ab<b2D.a,+b>—\

ab

【变式2-2］（多选）设。力,ccR,则下列选项中正确的是（）

A.若a>b,贝!Ja-c〉b-cB.若a2>,贝

C.若ac1>be?,贝D.若则6?>尸

【变式2-3】下列说法中正确的是（）

人.“々>方”是“〃2”2，，的充分条件

B.是“42>"2，，的必要条件

c.“0>万”是“时>网”的充分条件

D.是"/>从”的必要条件

题型3利用不等式的性质证明不等式

ab

例3-1|若a>6>0,c<d<0,证明:--------------7>-------------T

(b-d)(Q-C).

例3-2已知,d<c<-2.

(1)求证：(。-1)伍—l)(c+2)(d+2)>。；

(2)求证：ac+bd>bc+ad.

c〃

【变式3-11已知b>a>0,c>d>0,求证——>——

c+ad+b

【变式决2】设心八°'求证常

【变式3-31(1)设0vxvl,。vy<1,求证：x(1-y)+y(\—x)<1,

(2)设0<%<1,0<y<1,0<z<l,求证：％(l—y)+y(l—z)+z(l—%)<l,

题型4利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

例4-1已知a,6eR,若2<々<3,-2<6<-1,贝!Ja-3/?的取值范围是；若-l<a+b<3,且

2<a-b<4,贝|2。+36的取值范围是.

|例4-2|已知3<。+6<4,1<。一6<2,贝112ab的取值范围是（

A.（4,18）B.（2,9）C.（5,15）

易错分析利用同向相加求范围出错

在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了

避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式

【变式4-1】如果30〈尤<42,16<y<24,则2x-y的取值范围是.

【变式4-2］已知一l<a+b<3,2<a-b<4,P=a+3b,则P的取值范围是.

【变式4-3】已知1cx<3,-2<y<-l.

⑴求2尤+3y,3x-2y的取值范围；

⑵求孙，上的取值范围.

X

题型5不等式的综合

例5-1（2025・云南昆明•一模）已知x>0,x2-2xy+z2=0,/<衣，则（）

A.y>z〉xB.龙〉y>zc.龙>zD.Z>%>,

例5-21已知a,6eR+,〃eN*,若m=（a+"（a"+6"）,n=2（an+i+bn+l）,则（）

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

丫25

【变式5-1］设龙,>为实数，满足2（孙2工3,3«—W4,则r二的最大值是.

yy

，新考法|【变式5-2］（2024•河北邯郸•模拟预测）已知正数无，》z满足3x+2y+2zZ4或尤+3y+3zN3,

记A/=max{x,y,z}（M为x,y,z中最大者），则/的最小值为.

【变式5-3］（1）已知x>y>z,且x+2y+z=o,请证明：—旧-2/4-6.

Z

mYl]

（2）已知机>0,n>0,且〃z+〃>3,请证明:与」至少有一个大于9

〃+3"7+33

04

真题溯源-考向感知

■i

1.（2017.北京.高考真题）能够说明“设a,6,c是任意实数，若a>b>cMa+b>c”是假命题的一组整数a,b,c

的值依次为.

2.（2019•全国H卷・高考真题）若a>b,则

A.ln（<7-/?）>0B.3a<3b

C.a3-/?5>0D.|a|>|/?|

3.（2022.新高考全国II卷.高考真题）（多选）若x,y满足/+'2一D=1，则（）

A.x+y<lB.尤+yN-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l