二面角（核心考点）-高二数学（沪教版必修三）原卷版

第08讲二面角（核心考点讲与练）

B考百考而

⑴定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条

射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

⑶二面角的范围：［0,

U方法技巧

找二面角的平面角的常用方法

（1）由定义做出二面角的平面角

（2）用三垂线定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

J能力拓展

题型一：二面角的概念及辨析

一、单选题

1.（2021•上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设a-是直二面角，直线a在平面a内，直线b在平

面/内，且。、6与/均不垂直，则（）

A.。与b可能垂直，但不可能平行

B.。与6可能垂直也可能平行

C.。与6不可能垂直，但可能平行

D.。与b不可能垂直，也不可能平行

2.（2021・上海・复旦附中高二期中）在矩形A3CD中，AB=20AD=3,E、尸分别为边AZK8C上的

点，且AE=^=2,现将AWE沿直线BE折成AABE,使得点4在平面上的射影在四边形CD防

内（不含边界），设二面角A-BE的大小为。，直线AB与平面8COE所成的角为。，直线人也与直线

BC所成角为夕，则（）

AB

A./3<a<0B./3<0<aC,a</3<dD.a<0<[3

3.（2021•上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面％力和三条直线也若1口乃=相,“uc且

a"bu6，设。和夕所成的一个二面角的大小为4，直线«和平面/3所成的角的大小为%，直线。涉所成

的角的大小为则（）

A.9x=01>03B.0}>0]=02

c.ex>ei,e1>e3D.3处久沁

二、填空题

4.（2021.上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面a,夕所成的锐二面角的大小为。.则称平面。，

夕成6角，已知平面a,□成70。角.则过空间一点V且与a,/都成55。角的平面/的个数为个

5.（2021.上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为夕则。的取值范围是

6.（2021・上海•高二专题练习）已知尸为锐二面角内一点，且P到两个半平面及棱的距离之比为1：后：2,

则此二面角的度数为.

题型二：求二面角

一、填空题

1.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角-6的平面角是锐角，空间一点尸到平面

a、P和棱/的距离分别为2及、4和40，则二面角的大小为.

2.（2021・上海浦东新•高二期中）在正方体ABC。-A瓦GR中，平面48C。与平面ABCD所成的锐二面角

的大小是.

二、解答题

3.（2021・上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥P-ABCD中，。为底面正方形的中心，侧棱丛

与底面A3C。所成的角的正切值为迈.

2

p

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是网的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）在（2）的条件下，问在棱AD上是否存在一点尸，使即，侧面P3C,若存在，试确定点尸的位置;

若不存在，说明理由.

题型三：由二面角大小求线段长度或距离

一、单选题

1.（2021•上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角々-/-6的大小是60。，在该二面角内有一点尸到a的距

离是3,到夕的距离是5,又动点A和8,Aea,,则△的周长的最小值是（）

A.3#）B.6mC.12D.14

2.（2020.上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设4（3,2）,巩-2,3）沿着y轴将直角

坐标平面折成120。的二面角后，AB长为（）

A.2vHB.4A/2C.2A/5D.«

二、填空题

3.（2021・上海・复旦附中高二期中）二面角a-/-〃是60。，其内一点尸到名〃的距离分别为1cm和2cm,

则点P到棱I的距离为.

4.（2021・上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角等于120。，48是棱/上两点,

AC、BD分别在半平面内〃内，AC±l,BDLI,且AB=AC=BD=g，则。的长等于.

5.（2021•上海市市西中学高二期中）正方形ABCD的边长是2,瓦尸分别是A3和CD的中点，将正方形沿

折成直面角（如图所示），M为矩形AEFD内的一点，如果=MB和平面BCF所成角

6.（2021.上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30。，

斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成60。角，沿这条直道向上行走100米后升高米.

三、解答题

7.（2021••高二期中）如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称，NA=60。，ZC=90°,CD=2.把

沿折起（如图2）,使二面角A-M-C的余弦值等于心.对于图2,完成以下各小题：

3

（1）求A、C两点间的距离;

（2）证明：AC,平面BCD；

(3)求直线AC与平面M。所成角的正弦值.

8.(2021・上海・华师大二附中高二开学考试)如图，在棱长为2的正方体中，E、尸分别是

AiDi和CG的中点.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求异面直线与AB之间的距离

(3)在棱上是否存在一点P,使得二面角抬CB的大小为30。?若存在，求出的长，若不存在，请

说明理由.

题型四：由二面角大小求异面直线所成的角

一、填空题

1.(2021•上海•闵行中学高二阶段练习)已知二面角-6的大小为140。，直线。,方分别在平面心分内且

都垂直于棱/,贝U。与匕所成角的大小为.

二、解答题

2.（2021・上海.华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO的底面圆半径。4=1,母线&4=3.

（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；

（2）如图，半平面SQ4与半平面SOP所成二面角P-SO-A大小为120。，设线段SO中点为A7,求异面直线

AM与PS所成角的余弦值.

B巩固提升

一、单选题

7T

1.（2021・上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为:，侧棱与底面所成角的余弦值为（）

4

A.@B.空C.BD.逅

5533

2.（2021.上海奉贤区致远高级中学高二期中）己知四棱锥ST8CD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是

线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为a，SE与平面A8C£>所成的角为仇，二面角STB-C

的平面角为仇，则（）

A.31<62<63B.93<62<61

C.01<33<02D.02<03<9I

3.（2021•上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正

方体棱长的一半，在该正方体侧面CD2G上有一个小孔E,E点到。的距离为3,若该正方体水槽绕8

倾斜始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDDG与桌面所成角的正切值为（）

A.BB.1C.—D.2

525

4.（2021・上海•高二专题练习）等腰直角AABC斜边C8上一点P满足CPW^CB,将ACAP沿AP翻折至

△CAP,使二面角C'-AP-B为60。，记直线C'A、CB、C,PCP与平面AP3所成角分别为a、B、/,

则（）

A.a</3<yB.a<y<（3C.P<a<yD.y<a<（3

二、填空题

5.（2020•上海市金山中学高二期末）在北纬45°的线圈上有4,8两地，它们的经度差为90°,若地球半径

为R,则A8两地的球面距离为.

6.（2021.上海师范大学第二附属中学高二期末）己知一个正四棱锥的底面边长为2,侧面与底面所成角的

大小为则该四棱锥的侧面积为.

7.（2021•上海市洋泾中学高二阶段练习）已知二面角一夕的大小为凡A为平面a上的一点，且

AACD的面积为2,过A点的直线AB交平面夕于8点，AB，CD,且与夕成60。角，当。变化时，ABCD

的面积最大为.

8.（2021.上海市控江中学高二期中）己知，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E,歹分别为边8C,AD±

的定点，且/BAE=45。，ZDCF=30°,分别将AABE,ACDF沿着AE,CF向矩形所在平面的同一侧翻

折至AASE与ACD'户处，且满足分别将锐二面角笈-AE-O与锐二面角D-FC-8记为4与

22

%,则cos2+cos32的最小值为.

9.（2021.上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱柱ABC-A耳G的各棱长都是4,点E是棱BC的中

点，动点F在侧棱CG上,且不与点C重合,设二面角C-A尸-E的大小为6,则tan9的最小值为.

1:

B

三、解答题

10.（2021•上海市甘泉外国语中学高二期中）在四面体ABC。中，AB=BD==CD=1,A8_L平面8cZ）,

CD±BD,点M为上动点，连结8M,CM,如图.

K

C

⑴求证：BM±CD；

（2）若AM=2MD,求二面角M-BC-D的余弦值；

（3）是否存在一个球，使得四面体ABC。的顶点都在此球的球面上？若存在,确定球心的位置并证明；若不

存在，请说明理由.

11.（2021•上海市大同中学高二阶段练习）如图，已知E、尸分别是正方形A3CD边3C、C£＞的中点，EF

与AC交于点。，PA,NC都垂直于平面ABCD,且K4=AB=4,NC=2,M是线段R4上一动点.

R

(1)求证：EF_L平面PAC；

(2)若PC〃平面ME尸，试求尸M:MA的值;

(3)当M是B4中点时，求二面角M-EF-N的余弦值.

12.(2021•上海师范大学第二附属中学高二期中)如图，已知点尸在圆柱。。|的底面圆。上，ZAOP=120°,

圆。的直径AB=4,圆柱的高。Q=3.

(1)求点A到平面4尸。的距离;

(2)求二面角4-尸2-。的余弦值大小.

13.(2021・上海市七宝中学高二阶段练习)在120。的二面角0-/-£的面a,夕内分别有A,8两点，且A,

B到棱/距离AC,8。分别是2,4,AB=10,如图所示，求：

(1)直线A2与棱/所成角的余弦值：

(2)直线AB与平面夕所成角的正弦值：

(3)二面角A-BC-D的平面角的正切值.

14.(2021.上海.华东师大附属枫泾中学高二期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，24,底面A3CD,底面

ABCD为直角梯形，AB//CD,ABLAD,且CD=2AB.

(1)若=直线PB与C。所成的角为45。，求二面角P-CD-3的大小；

(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面丽，平面ABCD,并说明理由.

15.(2021.上海交大附中高二期中)如图，正四棱柱A2CZ)-AqGR的底面是边长为行的正方形，侧棱

长为1.

(1)求直线AC与直线A2所成角的余弦值；

(2)求二面角AC-A平面角大小的余弦值；

(3)在直线4c上是否存在一个动点尸，使得尸在平面RAC的投影恰好为A^AC的重心，若存在，求线

段PC的长度，若不存在，说明理由.

16.(2021•上海市第三女子中学高二期末)如图，在多面体ABC-A4G中，的,24,CQ均垂直于平面

ABC,=4,CC、=3,BB]=AB=AC=BC=2.

(1)求点A到平面44G的距离；

(2)求平面ABC与平面4