二项分布超几何分布高尔顿板模型（原卷版）-2024-2025学年人教A版高二数学下册重难点突破

专题3-4二项分布，超几何分布，高尔顿板模型

题型•解读

模块一重点题型梳理

【题型1】"重伯努利试验

【题型2】利用二项分布求分布列

【题型3】二项分布的均值与方差

【题型4］超几何分布

模块二综合提升

【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用

【题型6】高尔顿板模型

【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题

课后巩固

题型汇编知识梳理与常考题型

基础知识梳理

一、二项分布

1.n次独立重复试验

在相同条件下重复做的〃次试验称为〃次独立重复试验.

特点：

①各次之间相互独立；

②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生；

③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的.

2.二项分布

①定义：在〃次独立重复试验中，用/表示事件/发生的次数，设每次试验中事件/发生的概率是0,此

时称随机变量X服从二项分布，记作X〜夕），并称「为成功概率.

在〃次独立重复试验中，事件/恰好发生4次的概率为P（X=幻=C；pk（l-p）n-k（左=0,1,2,…，”）

②均值和方差：E（x）=np,D（x）=np（l-p）

二、超几何分布

「k「n-k

①定义：在含有/W件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X=k）=M:-M,

CN

k=0,1,2,m,其中m=min{/W,n},且M<N,n,M,NGN*,即如果随机变量X的分布列

具有下表形式

X01m

0〃一1

P

品品C；

则称随机变量X服从超几何分布.

②均值:E（X）=-^-

注：二项分布和超几何分布区别和联系

二项分布超几何分布

二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事

发生的概率是相同的件发生的概率是不相同的

不需要知道总体的容量需要知道总体的容量

当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布

模块一重点题型梳理

【题型1]〃重伯努利试验

n重伯努利试验概率求法步骤：①依据〃重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为〃重伯努利试验；②判

断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据〃重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式

（或独立事件概率乘法公式）计算.

典型例题

【例题1】袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出

现10次时停止，设停止时共取了4次球，则P（J=12）等于（）

A.CM・却”耻。•啸2喧4

【例题2】重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为义，则

6

〃=.

巩固练习

21

【巩固练习1】甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是乙赢的概率是I,

则甲以3:1获胜的概率是.

2

【巩固练习2】某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为“若每轮射击中命中

目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分

的概率为.

2

【巩固练习3】甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为I,比

赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）

A32B816D1

8127812

【巩固练习4】甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是g,各局比赛是相互独立的，采用

4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为

【题型2】利用二项分布求分布列

基础知识

1.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点:一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一;

二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次；

2.当X服从二项分布时,应弄清X〜8（九,p）中的试验次数〃与成功概率以

典型例题

【例题1】一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个

球，取出4个黑球即停止.

（1）若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率；

（2）若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为X,求X的分布列.

【例题2】（23-24高二下•重庆九龙坡•期中）近期重庆市育才中学校举行了“探，乐，计划”校园歌手大赛和“想

玩就，趣*UN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均

是j3进入达人秀—决赛的概率均是玄1，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响.

(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；

(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为X.求随机变量X的概率分布

【例题3】(23-24高二下•广东•期中)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司

发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测

试了1000个问题，测试结果如下表：

回答正确回答错误

问题中存在语法错误100300

问题中没有语法错误500100

结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解

决下列问题.

(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X,求X的

分布列.

巩固练习

【巩固练习1］已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的

12

概率为§，向右移动的概率为全

(1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在尤=0处的概率;

(2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列.

【巩固练习2】某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了

100名学生，调查得到如下表所示的统计数据.

时间“min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人数630351964

(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；

(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间/的中位数；

(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在［48,72］的人数为随

机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).

【巩固练习3］已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的

12

概率为向右移动的概率为全

（1）已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在尤=0处的概率;

（2）记质点3秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列.

【题型3】二项分布的均值与方差

基础知识』

若X服从二项分布X〜，则E（X）二叩,D（X）=np（l-p）

典型例题

【例题1】（23-24高二下•北京海淀•期末）小明投篮3次，每次投中的概率为0.8,且每次投篮互不影响，

若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X,则（）

A.E（X）=2.4B.E（X）=4.8C.O（X）=0.48D.D（X）=0.96

【例题2】（24-25高二上・江西南昌•期末）小明参加户外植树活动，种植了A,8两种树苗各5棵，A种树

苗的成活率为0.8,8种树苗的成活率为0.6,记A,8两种树苗最终成活的棵数分别为X-X2,贝|

现W+Xj=（）

注：设X,F为两个随机变量，则有E（X+y）=EX+W.

A.5B.6C.7D.8

【例题3】（23-24高二下•重庆•期中）已知离散型随机变量X服从二项分布X〜8（〃,。），且

E（X）=9,D（X）=t,则。的最大值为（）

巩固练习

O1

【巩固练习1】(多选)随机变量X〜3(5,P),且尸(X21)=^,则()

1531

A.p=-B.£(x)=-C.D(x)=-D.p(x=2)=-

【巩固练习2](2025•山东青岛•一模)为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该

地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40%,女生中有65%的人日均运动时间大于1小

时，男生中有90%的人日均运动时间大于1小时.

(1)在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间大于1小时，求此人为男生的概率；

(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取4人，求日均运动时间大于1小时的人数4的期望和方

差.

【巩固练习3](24-25高二下•吉林长春•阶段练习)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取

一件，有放回地抽取100次.X表抽到的二等品件数，则D(X)=；若将抽出的产品送往专门的检测

部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：y=iox+3OO,则。")=.

【题型4】超几何分布

基础知识

判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③

随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.

求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布，并确定数N,九,M的值；②根据超几何分

布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列

典型例题

【例题1】（24-25高二上•江西南昌•期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球

7个，从中随机取出3个球.

（1）求取出的3个球中有2个白球的概率；（2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.

【例题2】（23-24高二下•青海海东•期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,8两种套餐的集

团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽

取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为三.

14

（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；

（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X,求X的分布列.

【例题3】（23-24高二下•广东湛江•阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中

部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为不

性别中文数学英语体育

男ab11

女1111

现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.

⑴求。、〃的值；

（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；

（3）设y为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量y的分布列、均值及方差.

巩固练习

【巩固练习1】从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，

每取出1个白球得1分.按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为（）

A.-B.3C.—D.-

232

【巩固练习2]（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能

是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生

比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概

率为g.

(1)完成下列答题卡中的表格;

感兴趣不感兴趣合计

男生

女生

合计

(2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3

人进行采访，用随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

【巩固练习3](23-24高二下•广东梅州•阶段练习)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽

子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.

⑴求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；(3)设y表示取到的粽子的种类，求y的分布列.

模块二综合提升

【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用

解题技巧

超几何分布与二项分布的关系

(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有

截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概

率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至

关重要的.

（2）事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取”件（由于产品件数N无限多，无放

回与有放回无区别，故可看作“重伯努利试验），其中含有次品的件数服从二项分布.

典型例题

【例题1】（多选）（23-24高二上,全国•课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白

球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是（）

3

A.P（X=2）=1B.随机变量X服从二项分布

Q

C.随机变量X服从超几何分布D.E（X）=y

【例题2】（24-25高二下•吉林长春•阶段练习）某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等

品、三等品，共三个等级.现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等

品有10件.

（1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件,

记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列与数学期望；

（2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为

Y,求丫的数学期望与方差.

【例题3】（23-24高二下•重庆•期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品.奉节脐橙的栽

培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清

香，深受广大群众的喜爱.某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位:

g）将它们分类如下：质量在［300,400）的为二级果，质量在［400,500）的为一级果，质量在［500,600］的为特

级果，个数分别为30个，40个，30个.

（1）从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率；

（2）按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从

10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X,求X的分布列和数学期望；

⑶若这批脐橙的质量都在［300,600］内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的

个数丫的期望与方差.

巩固练习

【巩固练习1］从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态

度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为J,求随机变量J的分布列和数学期望；

(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打

算生二胎的人数为〃，求随机变量〃的分布列和数学期望.

【巩固练习2】(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品

在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20

件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

。(0<。<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点P0；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的P。作为"的值.已知每件产品的

检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X)；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.

【巩固练习3】(23-24高二下.广东珠海.阶段练习)为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐

意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.

(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依

次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随

机变量X的分布列与期望；

(2)设每件新产品为次品的概率都为M0<p<l),且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品

中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为〃p),问P取何值时，f(p)最大.

【题型6】高尔顿板模型

典型例题

【例题1】（23-24高二下•河南•期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉

在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一

个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉

子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到

底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X,则随

机变量X的期望与方差分别为（）

C.3,1D.3,-

2

【例题2】（24-25高三上•福建莆田•开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相

平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶

端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格

子从左到右分别编号为0,L2,3,4,5用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（）

B•尸（X=5）$

D.MX）］

【例题3】（23-24高二下•广东肇庆•阶段练习）已知展开式前三项的二项式系数和为22.

（1）求〃的值并求展开式中的常数项；

（2）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉

之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小

木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为0,1,2,…，”用

X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列以及均值与方差.

【巩固练习1】（24-25高三上•湖北•期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如

图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每

一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上,

老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的"高尔顿钉板"，它使小球在从

钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有

大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最

终落到4号位置的概率是（）

2432

D.丽

【巩固练习2】（23-24高二下•福建三明•期中）在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着

若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入

口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，

小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是g,第二个缝隙落下的概率是！；从第2行第一个缝隙

落下的概率是:，第二个缝隙落下的概率;，第三个缝隙落下的概率是:，小球从第〃行第加个缝隙落下

424

的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（）

第

0行

行

第1

第

0行

行

第2

第

1行

行

第3

第

2行

行

第

第

43行

行

第

第

54行

行

第

第

65行

第

6行

第"-1行c］扁…C：；C,...点\

第"行c；比...G...c;"1

图1图2

【巩固练习3】（23-24高二下•广东中山•阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互

相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从

顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格

子从左到右分别编号为1、2、3、4、5,用X表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（）

12345

A.尸（X=2）=：B.—k）＜P（X=3）（A：=1,2,3,4,5）

C.E（X）=2D.L＞（X）=l

【巩固练习4】（高二下・江苏常州•期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模

型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道,

前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,

且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小

球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以《的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木

块碰撞，最后掉入编号为1、2、L、7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4

次向左滚下.

图1

(1)如图1,进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入3号球槽、4号球槽的概率大小;

(2)小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少至5层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，

有;的概率向左，1•的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、L、5的球槽内.

小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费2元就可以玩一次游戏，小球掉入”号

球槽得到的奖金为4元，其中4=|8-2".你觉得小明能盈利吗？请说明理由.

【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题

二项分布的概率为鼻p)i»=0,l,2,…”，这个是数列的最值问题.

Pk_C；pLQ-P)"T_("—：+l)p_k(l—p)++l)p-0_］+(n+l)p-k

T=c3PJq—pL-履1_Y)=k(1_p)=k(i-p)

分析：当左<(〃+i)，时，pk>pk_},《随左值的增加而增加；

当人>(“+i)p时，pk<pki,巳随左值的增加而减少.

如果5+l)p为正整数，当左=(〃+1)夕时，Pk=P1,此时这两项概率均为最大值.

如果(〃+1)夕为非整数，而左取(〃+1)2的整数部分，则及是唯一的最大值.

典型例题

【例题1】(23-24高二下•四川攀枝花•期末)某人在〃次射击中击中目标的次数为X,且X〜3(”,0.8),记

Pk=P(X=%,k=Q12…,n,若外是唯一的最大值，则E(X)的值为()

A.5.6B.6.4C.7.2D.8

【例题2】(多选)(23-24高二下•湖南长沙•期中)已知随机变量X服从二项分布以4,0),pe(0,l),下列

判断正确的是()

A.若E(X)=1,贝g(X)=3B.尸(X=0)=(p-l)4

qa

C.若。(X)=3,则E(x)=lD.P(x=2)的最大值为g

【例题3】随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐

桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以"小餐桌"带动"大文明"，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学

食堂每天都会提供4B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一

21,

天选择A套餐的概率为1,选择B套餐的概率为§.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概

率为选择B套餐的概率为：；前一天选择8套餐的学生第二天选择A套餐的概率为:，选择B套餐的

概率也是1,如此往复.记同学甲第〃天选择B套餐的概率为P„.

(1)求同学甲第二天选择3套餐的概率；(2)证明：数列［匕-|］为等比数列；

⑶从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择4类套餐的人数X,用尸(X=%)表示这100名

学生中恰有七名学生选择4类套餐的概率，求尸(X=%)取最大值时对应的上的值.

巩固练习

【巩固练习。（24-25高二上•河南南阳•期末）某人在〃次射击中击中目标的次数为X,且X〜

已知万陋）=6.4,。（*）=1.28,则当尸（X=r）取最大值时，r=.

【巩固练习2]（23-24高二下•重庆,期末）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、

苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须

要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（）个学生选择前往北京

或上海研学的概率最大.

A.6B.7C.8D.9

【巩固练习3】（23-24高二下•西藏拉萨•期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检

察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护

花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每

轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题

结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为：，第二组每道题答对的概率均为:，两组题至少答对3

题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉

萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级

中学代表队获得三等奖.

（1）记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为X,请写出X的分布列，并求E（X）；

（2）若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.

课后巩固

1.甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和加个白球的布袋中随