点、直线与圆的位置关系（考点解读）-2023年中考数学一轮复习

专题26点、直线与圆的位置关系（考点解读）

中考命题解读

直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中.考查的重点是切

线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考

查.圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来

判定，通常出现在选择题、填空题中.

考标要求>

1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系.

2.知道三角形的内心和外心.

3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.

考点精讲

考点1点与圆的位置关系

设。0的半径是r,点P到圆心0的距离为d,则有：

d<ru>点P在。0内；

d=r=点P在。。上;

d〉ro点P在。0外。

考点2过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

考点3直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离=>d>r=>无交点;

2、直线与圆相切=>d^r=>有一个交点;

3、直线与圆相交=>d<r=>有两个交点;

考点4切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：：ACVLQ4且脑V过半径Q4外端

，是。。的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点5切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切

线的夹角。

IP：,：PA.是的两条切线

:.PA=PB；尸0平分NBK4

考点6三角形的内切圆和内心

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

(2)△ABC中，NC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径片"+"一°。

2

(3)SAABc=^-r(a+z?+c),其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。,一

(4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。人太■不

如图，BC切。0于点B,AB为弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。C'/

B

母题精讲

【典例1】(2022秋•宽城区校级期末)如图，8。是。。的直径，A是8。延长线上的一点，点E

在O。上，BCLAE,交AE的延长线于点C,交。。于点尸，且点E是笳的中点.

求证：AC是。。的切线.

【解答】证明：连接OE,

是命的中点,

：.ZOBE=ZCBE.

'：OE=OB,

：.ZOEB=ZOBE.

：.ZOEB=ZCBE.

：.OE//BC.

'：BC.LAC,

AZC=90°.

AZAEO=ZC=90°,

：.DE±AC.

又为半圆。的半径，

是。。的切线.

【变式11](2022秋•河西区校级期末)如图，。。的直径AB=4,ZABC=30°,交。。于

点。，。是BC的中点.

(1)求的长；

(2)过点。作。ELAC,垂足为E,求证：直线。E是。。的切线.

C

•.'AB是。。的直径，

/.ZADB=90°,

又•.•/ABC=30°,AB=4,

：.BD=243,

•.•。是的中点，

:.BC=2BD=4a；

(2)连接OD

•。是的中点，。是48的中点，

是△ABC的中位线，

：.OD//AC,则NEOO=NCE£>

DELAC,

：.ZCED=90°,ZEDO=ZCED=90°

.••DE是O。的切线.

【变式12］（2022秋•天河区校级期末）如图，是。。的直径，AC的中点。在。。上，DEL

BC于E.求证：OE是。。的切线.

【解答】证明：连接。。，

,：AO=OB,。为4c的中点,

.".OD//BC,

,：DELBC,

：.DE±OD,

:。。是。。的半径，

是。。的切线.

【典例2】（2022秋•长乐区期中）如图，在△。48中，。4=。8=5,AB=8,。。的半径为3.

求证：是。。的切线.

【解答】证明：如图，过。作OCLAB于C,

'：OA=OB,AB=8,

：.AC=1AB=4,

2

在RtZXOAC中，。。=血心/=在五/=3,

：O。的半径为3,

；.0C为。。的半径，

是。。的切线.

【变式21］（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，。是底边BC的中点，过点

。作于点。，以点。为圆心，。。的长为半径作OO.求证：AC是。。的切线.

【解答】证明：连接。4,作。fUAC于忆如图,

•.•△43C为等腰三角形，。是底边的中点，

：.AO±BC,A。平分NB4C,

'：ODLAB,

：.0F=0D,

是。。的切线.

【典例3】(2022•鞍山)如图，。。是△ABC的外接圆，为。。的直径，点E为。。上一点,

所〃AC交的延长线于点RCE与交于点。，连接BE,若NBCE=』NA8C.

2

(1)求证：是。。的切线.

(2)若BF=2,sinZBEC=1,求。。的半径.

【解答】（1）证明：连接。E,

,：ZBCE=1ZABC,ZBCE=1ZBOE,

22

ZABC=ZBOE,

：.OE//BC,

：.ZOED=ZBCD,

,JEF//AC,

：.ZFEC=ZACE,

：.ZOED+ZFEC=ZBCD+ZACE,

即NFEO=NACB,

:AB是直径，

AZACB=90°,

：.ZFEO=90°,

：.FE.LEO,

是。。的半径，

尸是。。的切线.

(2)解：'.,EF//AC,

:.AFEOSAACB,

•••-E-O--F-0,

BCAB

•：BF=2,sinZBEC=1,

5

设。。的半径为r,

：.F0=2+r,AB=2r,BC=§r,

解得：r=3,

检验得：r=3是原分式方程的解,

•••。。的半径为3.

【变式31](2022秋•河西区校级期末)如图，是。。的直径，点C是。。上的一点，OOLA8

交AC于点E,ZD=2ZA.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求证：DE=DC；

(3)若。。=10,CD=6,求AE的长.

【解答】(1)证明：连接。C,如图,

"：OA=OC,

：.ZACO=ZA,

：.ZCOB=ZA+ZAC0=2ZA,

又,:NO=2NA,

：.ZD=ZCOB.

：.ZCOB+ZCOD=90°,

：.ZD+ZCOD=90°,即/。。。=90°,

：.OCLDC,

又点c在。。上，

8是。。的切线；

(2)证明：•：NDCO=90°,

：.ZDCE+ZACO=90°,

X'.'OD±AB,

ZAEO+ZA=90°,

XVZA=ZACO,ZDEC=ZAEO,

：.ZDEC=ZDCE,

：.DE=DC；

(3)解：VZDCO=90°,OD=10,DC=6,

*'­℃=7OD2-DC2=7102-62=8，

：.OA=OC=8,

又DE=DC=6,

：.OE=OD-DE=4,

在RtZXAE。中，由勾股定理得：AE2=O^+OE2=82+42=80,

.".AE=4-\[s.

【变式32](2022•荷泽)如图，在△ABC中，以为直径作。。交AC、于点。、E,且。是

AC的中点，过点。作。GL8C于点G,交R4的延长线于点

(1)求证：直线HG是。。的切线；

(2)若HA=3,COSB=2,求CG的长.

5

\'AD=DC,AO=OB,

，。£＞是△4BC的中位线，

：.OD//BC,OD=1BC,

2

'：DG±BC,

：.OD±HG,

是。。的半径，

直线HG是O。的切线；

(2)解：设。。的半径为x,贝UOH=x+3,BC=2x,

,COD//BC,

：.ZHOD=ZB,

.*•cosZHOD=-2.,即敦=_^_=2,

5OHx+35

解得：x=2,

：.BC=4,BH=1,

VcosB=—,

5

,BG—2pnBG—2

BH575

解得：BG=H,

5

真题精选

命题点1切线性质的有关证明与计算

1.（2022•河池）如图，是。。的直径，PA与。。相切于点A,ZABC=25°0c的延长线

交PA于点P,则NP的度数是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【解答】解：VZABC=25

：.ZAOP=2ZABC=50°,

•.•PA是。。的切线，

：.PA.LAB,

.,.ZPAO=90°,

/.ZP=90°-ZAOP=9Q°-50°=40°,

故选：c.

2.（2022•长沙）如图，PA,P8是。。的切线，A、8为切点，若NAOB=128°,则NP的度数

【答案】B

【解答】解：•.•PA,是。。的切线，A、8为切点，

：.ZOAP=ZOBP=90°,

VZA（?B=128°,

.,.ZP=360°-ZOAP-ZOBP-ZAOB=52°,

故选：B.

3.（2022•眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,分别相切于

点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心。，若/。48=28°,则NAPB的度数为（）

【答案】C

【解答】解：连接

'：OA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=28°,

/.ZAOB=124°,

VPA.P3分别切。。于点A、B,

：.OALPA,OP.LAB,

：.ZOAP+ZOBP=ISO°,

AZAPB+ZAOB=1SO°；

ZAPB=56°.

故选：C.

4.（2022•重庆）如图，AB是。。的切线，5为切点，连接4。交。。于点C,延长A。交。。于点

D,连接80.若NA=N。，且AC=3,则AB的长度是（）

【答案】C

【解答】解：如图，连接。8,

•.N8是。。的切线，8为切点,

：.0B±AB,

.,.AB2=OA2-OB2,

「OB和0D是半径，

：.ZD=ZOBD,

'：ZA=ZD,

，NA=ND=/OBD,

；.AOBDSABAD,AB=BD,

：.0D：BD=BD：AD,

，802=mA。，

即。42_OB2=OD-AD,

设。£>=x,

VAC=3,

AD=2x+3,OB=x,OA=x+3,

：.(x+3)2-/=x(2x+3),解得x=3(负值舍去)，

.".OA=6,OB=3,

.,.AB2=OA2-OB2=21,

.,.AB=3yf3,

故选：C.

5.（2021•西宁）如图，△ABC的内切圆O。与AB,BC,AC分别相切于点。，E,F,连接OE,

则阴影部分的面积为（）

C.4-TTD•十

【答案】C

【解答】解：连结A。、BO、DO,CO,设。。半径为r,

VZC=90°,AC=6,BC=S,

'.AB=\Q,

「△ABC的内切圆。。与AB,BC,AC分别相切于点。，E,F,

：.AC±OF,AB.LOD,BCLOE,^.OF=OD=OE=r,

SAABC=SAABO+SAACO+S^BCO

.111_1

••yAC'r+yABr+yBC-r-yX6X8-

“6X8=2,

6+8+10

VZC=90°,ZOFC=ZOEC=90°,OF=OE

四边形。尸CE是正方形，

：.ZFOE=90°,

二^阴影=S正方形OFCE-S扇形。FE=4-30兀X4=4-n,

360

6.（2022•衢州）如图，切。。于点8,A。的延长线交。。于点C,连结BC.若NA=40°,

则NC的度数为.

【解答】解：如图，连接。艮

•；48是。。切线，

J.OBLAB,

：.ZABO=90°,

•.'NA=40°,

/.ZAOB=90°-ZA=50°,

"：OC=OB,

：.ZC=ZOBC,

,：ZAOB=ZC+ZOBC,

：.ZC=25°.

故答案为：25°.

7.（2022•青岛）如图，AB是。。的切线，5为切点，。4与。。交于点C,以点A为圆心、以。C

的长为半径作而，分别交AB,AC于点E,F.若。。=2,AB=4,则图中阴影部分的面积

「AB是。。的切线，8为切点,

AZOBA=90°,

：.ZBOA+ZA=90°,

由题意得：

OB=OC=AE=AF=2,

...阴影部分的面积=的面积-（扇形8。。的面积+扇形EAb的面积）

=1AB-OB-^2L^1

2360

=1X4X2-IT

2

=4-IT,

故答案为：4-IT.

命题点2切线判定的有关证明与计算

8.(2022秋•任城区期末)如

图，已知△ABC是等边三角形，以为直径作。0,交BC边于点D,交AC边于点凡作。

AC于点£

(1)求证：OE是。。的切线;

(2)若△ABC的边长为4,求E尸的长度.

【解答】(1)证明：如图1,连接。。,

•.•△ABC是等边三角形,

.\ZB=ZC=60°.

•；OB=OD,

：.ZODB=ZB=60°.

'：DE±AC,

：.ZDEC=90°.

：.ZEDC=30°.

；.NODE=90°.

:.DELOD于点、D.

•.•点。在。。上，

...DE是。。的切线；

(2)解：如图2,连接A。，BF,

•.•48为。。直径，

AZAFB=ZADB=90°.

：.AF.LBF,ADLBD.

是等边三角形，

‘DC寺C=2，FC-|AC=2-

,：ZEDC=30°,

EC.DC=1・

：.FE=FC-EC=1.

图2

图1

9.(2022秋•亭湖区校级期末)如图，是。。的直径，尸为。。上一点，AC平分NE4B交。。

于点C.过点C作。交AN的延长线于点D

(1)求证：C。是O。的切线.

(2)若。C=3,AD=9,求O。半径.

【解答】(1)证明：如图：连接。C,

：.ZFAC=ZCAO,

"：AO=CO,

：.ZACO=ZCAO,

：.ZFAC=ZACO,

：.AD//OC,

'：CD±AF,

：.CD±OC,

为半径，

••.CO是。。的切线.

(2)解：过点。作。ELAb于E,

*'•AE=EF=yAF>^OED=ZEDC=Z0CD=9Q°,

四边形。即。为矩形，

：.CD=0E=3,DE=OC,

设。。的半径为r,则。4=0C=DE=r,

・・.AE=9-r,

•；OA2-AE2=OE2,

.,.I2-(9-r)2=32,解得「=5.

工。。半径为5.

10.(2022•东营)如图，AB为O。的直径，点C为。。上一点，BZUCE于点。，平分NABD

(1)求证：直线CE是。。的切线；

(2)若NABC=30°,O。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

DCE

【解答】(1)证明：连接。C,

'：OB=OC,

：,ZOBC=ZOCB,

〈BC平分NAB。，

：.ZOBC=ZDBC,

：,ZDBC=ZOCB,

：.OC//BD,

'：BDLCE,

：.O