方程与不等式（组）（解析版）-2025年中考数学一模试题分类汇编（北京专用）

专题02方程与不等式（组）

|题型概览

题型01一元二次方程

题型02解分式方程

题型03解一元一次不等式组

题型04方程的实际应用

题型01一元二次方程

1.（2025•密云区一模）若关于尤的一元二次方程尤2+2尤+〃7=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值

范围为（）

A.m<\B.m>\C.m>-lD.m<-\

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：由题知，

因为关于X的一元二次方程f+2X+m=0有两个不相等的实数根，

所以△=22-4〃?>O,

解得m<l.

故选：A.

2.（2025•东城区一模）己知关于x的一元二次方程依2一2*+1=0有两个不相等的实数根，则上的取值范

围是（）

A.k>-lB.k<lC.左<1且左片0D.左>一1且左20

【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有

不相等的实数根时，必须满足△=》?-4碇>0切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.

【解答】解：依题意可得，△=/-4*=（-2）2-4左>0,

解得k<1,

，上<1且无力0.

故选：C.

3.（2025•丰台区一模）若关于x的一元二次方程f+m+4=0有两个相等的实数根，则实数机的值为（

)

A.-4B.4C.4或TD.16

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：因为关于x的一元二次方程/+mx+4=0有两个相等的实数根，

所以△=/M2-4X1*4=0,

解得m=±4.

故选：C.

4.（2025•大兴区一模）若关于x的一元二次方程Y-4x+2〃z=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（

）

A.4B.-4C.2D.-2

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：由题知，

因为关于尤的一元二次方程尤2-4尤+2租=。有两个相等的实数根，

所以4=（-4）2-4*1*2m=0,

解得m=2.

故选：C.

5.（2025•门头沟区一模）如果关于x的一元二次方程依2一4x+l=0有两个不相等的实数根，那么上的取

值范围是（）

A.左<4且左片0B.£,4且左片0C.k>4D.k.A

【分析】方程有两个不相等的实数根，则△>0,由此建立关于左的不等式，然后就可以求出k的取值范围.

【解答】解：方程有两个不相等的实数根，则△>（）,

16—4左>0,

左<4且左20.

故选：A.

6.（2025•平谷区一模）若关于x的一元二次方程f+3x-左=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围

为（）

9999

A.k>B.k>~C.k>--D.k>-

4444

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：由题知，

因为关于X的一元二次方程x?+3x-k=0有两个不相等的实数根，

所以△=32-4xlx（“>0,

解得%>」9.

4

故选：C.

7.（2025•顺义区一模）若关于尤的一元二次方程-x+"z=o有两个相等的实数根，则实数加的值为（

）

A.-8B.--C.-D.8

88

【分析】直接利用根的判别式得出62一4a=1-8m=0,即可得出答案.

【解答】解：•.•关于x的一元二次方程2/-x+相=0有两个相等的实数根，

:.b2—4ac=1—8m=0,

解得：m——f

8

故选：C.

8.（2025•北京一模）若关于x的一元二次方程V—3%+机=0有两个相等的实数根，则实数根的值为（

）

4499

A.-B.——C.-D.--

9944

【分析】先根据根的判别式的意义得到（-3）2-4加=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：根据题意得△=（—3）2—4加=0,

9

解得m=—.

4

故选：C.

9.（2025•通州区一模）已知关于x的一元二次方程f+x+_L机=。有两个相等的实数根，那么实数比的值

4

是（）

A.16B.4C.-1D.1

【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式为0,再根据根的判别式计算出机的值.

【解答】解：•.♦一元二次方程尤2+x+U加=0有两个相等的实数根，

4

.\b2-4ac=0,

gpl2-4x-m=0,

4

解得m=l>

故选：D.

10.（2025•石景山区一模）若关于x的一元二次方程/+以-加二。有两个相等的实数根，则实数机的值

为（）

A.-4B.-1C.1D.4

［分析］利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：因为关于x的一元二次方程/+公-优二。有两个相等的实数根，

所以△-4xlx（-m）=0,

解得m=—A.

故选：A.

11.（2025•房山区一模）若关于x的一元二次方程Y-2x+c=O有两个相等的实数根，则实数c的值为（

）

A.-9B.4C.-1D.1

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：由题知，

因为关于x的一元二次方程尤2-2尤+c=0有两个相等的实数根，

所以△=（-2）2-4C=0,

解得c=l.

故选：D.

12.（2025•海淀区一模）若关于x的一元二次方程f-2x+"=0有两个相等的实数根，则实数〃的值为（

）

A.1B.4C.-4D.-1

【分析】根据根的判别式的意义得到（-2）2-4〃=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4〃=。，

解得n=l.

故选：A.

13.（2025•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程f+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是_c>l_.

2

【分析】根据一元二次方程根的判别式得到△<（），SP2-4xlxC<0,然后解不等式即可得到c的取值范

围.

【解答】解：•.•关于x的一元二次方程f+2x+c=。无实数根,

.•.△<0,BP22-4xlxc<0,解得C>1,

c的取值范围是C>1.

故答案为c>l.

毁理02解分式方程

17

1.（2025•密云区一模）方程——+—=0的解为_x=2

x-3x

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可得到分式方程的

解.

【解答】解：去分母得：尤+2（彳-3）=0,

解得：尤=2,

经检验光=2是分式方程的解.

故答案为：x=2.

41

2.（2025•通州区一模）方程--------=0的解为x=l.

2x+lx—一

【分析】方程两边同乘x（2x+l）,将分式方程化为整式方程求解即可.

31

【解答】解：—---=0,

2x+lx

方程两边同乘x（2x+l）,得3x-（2x+l）=0,

解得x=l,

检验：当尤=1时，x（2x+l）w0,

所以分式方程的解是％=1，

故答案为：x=l.

71

3.（2025•朝阳区一模）方程工+乙=0的解为x=-l.

x+3x—一

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得元的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：2x+x+3=0,

整理得：3工+3=0,

解得：x=—1,

检验：当了=-1时，%(%+3)wO,

故原分式方程的解为x=-l，

故答案为：x=—1.

13

4.(2025•大兴区一模)方程工—一二=0的解为_x=l—.

xx+2

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得元的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：光+2-3=0,

解得：尤=1,

检验：当x=l时，M%+2)W0,

故原分式方程的解为元=1,

故答案为：x=\.

5.(2025•门头沟区一模)方程上-一二=0的解为x=9.

2xx+3——

【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出工的值，然后检验即可.

32

【解答】解：A一_£_=0,

2xx+3

方程两边同时乘2x(x+3),得3(%+3)—4x=0,

去括号，得3x+9-4x=0,

解得：x=9,

检验：把x=9代入2x(x+3)w0,

分式方程的解为％=9.

故答案为：x=9.

71

6.(2025•顺义区一模)方程——=——的解为x=l.

x+12-x——

【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可.

方程两边同时乘(x+1)(2-%),得2(2-x)=x+l,

去括号，得4一2%=%+1,

解得：X=19

检验：把工=1代入(x+l)(2-x),

分式方程的解为x=l.

故答案为：X=1.

7.（2025•平谷区一模）方程」3一+7』=—5—的解为_x=l—.

2x-lxx（2x-1）

【分析】方程两边都乘以x（2x-l）,得出3x+2（2x-l）=5,求出方程的解，再进行检验即可.

【解答】解：方程两边都乘以x（2x-l）,

得3元+2（2彳-1）=5,

解得：x=l,

检验：当x=1时，x（2x-1）w0，

所以x=l是原方程的解.

故答案为：X=l.

71

8.（2025•北京一模）方程——+—=0的解为x=l.

x-3x一

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：2x+x-3=0,

解得：x=l,

检验：当尤=1时，X（X-3）H0,

故原分式方程的解为x=l,

故答案为：X=1.

14

9.（2025•房山区一模）方程一+——=0的解为x=-l.

xx+5~~

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：x+5+4x=0,

解得：x=—1,

检验：当x=—1时，X（X+5）N。，

故原分式方程的解为x=-L

10.（2025•石景山区一模）方程,+^^=0的解为无=0.

x-13x+2——

【分析】根据解分式方程的方法，先把原分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即

可.

12

【解答】解:----------1------------=0,

x—13x+2

方程两边同时乘（兀一1）（3工+2）,得3%+2+2（兀-1）=0,

去括号,得3无+2+2元一2=0,

解得：尤=0,

检验：把x=0代入(x—l)(3x+2)w0,

•••分式方程的解为x=0.

故答案为：x=0.

H.(2025•西城区一模)方程二」——?—=3的解为x=l.

x-2x-2――

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：x-1-3=3x-6,

整理得：x—4=3无一6,

解得：x=l,

检验：当％=1时，九一2w0,

故原分式方程的解为X=1,

故答案为：x=l.

39

12.(2025•东城区一模)方程-------=0的解是x=6.

xx-2——

【分析】先去分母，然后求出整式方程的解，继而代入检验即可得出方程的根.

【解答】解：去分母得：3(x—2)—2x=0,

去括号得：3%-6-2兄=0,

整理得：x=6f

经检验得x=6是方程的根.

故答案为：x=6.

«03解一元一次不等式组

2x-4<3(x-1)

1.(2025•密云区一模)解不等式组：-4.

x—3<x------

I2

【分析】分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可.

2x-4<3(x-l)®

【解答】解：，

I2

解不等式①得，%>-1,

解不等式②得，x<2,

二不等式组的解集为-l<x<2.

2（%+1）<3x—1

2.（2025•丰台区一模）解不等式组：x+i.

x-2>------

I2

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可.

-2（x+l）<3x-l@

【解答】解：.工+1份，

I2

解不等式①得，x>3；

解不等式②得，x>5,

所以不等式组的解集为：尤>5.

'3（x-l）<5x+l

3.（2025•东城区一模）解不等式组：L-1

------..2.x—4

I2

7

【分析】先分别解两个不等式得到x>-2和％,工，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集.

3

3（x-l）<5x+l①

【解答】解：L-1，

解不等式①得x>-2,

解不等式②得用,：,

原不等式组的解集为-2<%,

3（x+1）>x—1

4.（2025•门头沟区一模）解不等式组：L-9

------<lx

I2

【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大

的小于小的无解”求出不等式组的解集即可.

3（x+l）*x-l①

【解答】解：x-9人

I2

解不等式①得，x>-2；

解不等式②得，x>-3,

综上所述，不等式组的解集为x>-2.

3（%—2）<4+%

5.（2025•朝阳区一模）解不等式组：i+2x

--------<x

I3

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

3（X-2）<4+XD

【解答】解：l+2x台，

-----<x®

I3

解不等式①，得：苍,5,

解不等式②，得：尤>1，

二.原不等式组的解集是1<X,5.

3（x+1）<2x+6

6.（2025•大兴区一模）解不等式组：3x.4.

-----<x

I5

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集.

3（x+l）<2x+6①

【解答】解：3尤-46，

-5-

由①得：x<3,

由②得：x>—2,

二不等式组的解集是-2<x<3.

2（尤-1）>x-3

7.（2025•平谷区一模）解不等式组：x-14.

-----<-2x

[3

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集.

【解答】解：由2（x-1）>尤-3得：x>—1,

Y-1A

由-----<—2x得：％v2,

3

・•.不等式组的解集是-Ivx<2.

x+1>9-3x

8.（2025•顺义区一模）解不等式组：|2x+4.

x<-----

I3

【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后再找出两个不等式的公共解集，即可得出答案.

x+1>9-3x®

【解答】解：,2X+4X-X,

x<-----②

I3

解不等式①，得x>2,

解不等式②，得元<4,

不等式组的解集为2v%v4.

3+x>4（2—x）

9.（2025•石景山区一模）解不等式组：x+2

---------1<0

5

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

3+x>4（2-x）①

【解答】解：，士_]<0②'

、5

解不等式①，得:X>1,

解不等式②，得：x<3,

原不等式组的解集是l<x<3.

5x+2>4（x-l）

10.（2025•通州区一模）解不等式组：

-----<龙

13

【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可.

‘5x+2>4（尤-1）①

【解答】解：,4x-3门'

----<M2）

I3

解不等式①，得x>-6,

解不等式②，得x<3,

则不等式组的解集为-6<x<3.

3x+6>x-2

11.（2025•东城区校级一模）解不等式组：x-54x-3.

-----------------<1

I23

【分析】解各不等式后即可求得不等式组的解集.

3x+6>x-2①

【解答】解：|工一54元-3s

----------<1②，

I23

解不等式①，得工...-4,

解不等式②，得光>-3,

原不等式组的解集为x>-3.

1+x

X>-----

12.（2025•房山区一模）解不等式组：2

3x-2<4+x

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

1+工6

【解答】解：“一丁。，

3x-2<4+x®

解不等式①得；X..1,

解不等式②得；x<3,

不等式组的解集是L,x<3.

3(x+1)>x

13.（2025•北京一模）解不等式组x+9

------->2x

[2

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集.

【解答】解：由不等式3（x+l）>x,得尤〉—；，

Y-4-Q

由不等式土上>2无，得x<3,

2

所以不等式组的解集为-3Vx<3.

2

5x+l>3（x-2）

14.（2025•西城区一模）解不等式组：13.

-x-l<7——x

122

【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可.

5x+l>3（x-2）®

【解答】解：13、

122

解不等式①，得元>-7,，

2

解不等式②，得兀,4,

7

则不等式组的解集为-」<用,4.

2

2（%—1）<4—x

15.（2025•海淀区一模）解不等式组：3%-1.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

2(x-1)<4-

【解答】解：…迤

由①得x<2,

由②得x>—l,

则不等式组的解集为-l<x<2.

4%+5>x-1,

16.（2025•海淀区校级一模）解不等式组：3%-1.

-------<X.

I2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

【解答】解：由4元+5>%-1得%>-2,

由卫一1<兀得：X<1,

2

则不等式组的解集为-2<x<l.

方程的实际应用

1.(2025•东城区一模)编织大、小两种中国结共12个，总计用绳40根.已知编织1个大号中国结需用绳

4m,编织1个小号中国结需用绳3帆.问这两种中国结各编织了多少个.

【分析】设编织大号中国结x个，则小号中国结编织(12-x)个，根据题意列方程求解即可.

【解答】解：设大号中国结编了x个，小号中国结编了(12-x)个，

由题意列方程得：4x+3(12-x)=40,

解得x=4,

12—x=8,

故答案为：大号中国结编了4个，则小号中国结编了8个.

2.(2025•大兴区一模)列方程解应用题：

小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路.走普通公路比高速公

路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普

通公路上行驶平均每百公里耗电增加20%,该车选择的充电站充电综合电费均为1.5元/度.最终发现走

普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程.

【分析】设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为(x+60)公里，根据走普通公

路的电费比高速公路的电费少15元，列方程求解即可.

【解答】解：设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为(x+60)公里，

姐用前声汨20x1.5/20x(l+20%)xl.5

根据题思得------(x+60)+15=-------------------------x,

100100

解得X=55O,

答：返回时所走高速公路的路程为550公里.

3.（2025•顺义区一模）2016年1月1日，我国开始实行《环境空气质量标准》（GB3095-2012）,首次将

PM25（颗粒物：粒径小于等于2.5〃总纳入监测范围.2024年某科研团队根据研究成果，建议今后将刊人.5

限值标准（最大允许浓度）继续降低.具体数据如下：

年份201620252035

a

尸加2.5限值标准（单3525

位：jug/m3）

2035年比2025年的限值标准的降低率是2025年比2016年的限值标准的降低率的L4倍,求2035年PM2S

限值标准a.

【分析】根据2035年比2025年的限值标准的降低率是2025年比2016年的限值标准的降低率的1.4倍,

列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：由题意得："卫=至二空xl.4,

2535

解得：（7=15,

答：2035年尸加2.5限值标准0为15.

4.（2025•房山区一模）某校礼堂舞台正上方有一个长为1800。〃的长方形电子显示屏，如图所示.每次活

动都会在电子显示屏显示主题活动的标题.由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方

便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：

边空宽：字宽：字距=3:4:1.每个字的字宽相等，每个字之间的字距相等.

若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少cm.

边空宽入』字距边空宽

-Hrnrnrn

L热」匚烈」工祝」L贺」……LJ

【分析】设字距是xcm,则字宽是4X。相，边空宽是3x。机，根据长方形电子显示屏的长度为1800an,

可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设字距是xcm,则字宽是4%cm,边空宽是3xcm,

木艮据题意得：2x3x+17x4x+(17-l)x=1800,

解得：x=20.

答：字距是20cm.

5.（2025•通州区一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式.在一次作业中，

一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对

比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍.请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成

960亩的打药任务，并说明理由.

【分析】设一名工人每小时作业的面积为x亩，则一架无人机每小时作业的面积为6x亩，根据一架无人机

工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），列出一元一次方程，解

方程，即可解决问题，

【解答】解：一架无人机和一名工人共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由如下：

设一名工人每小时作业的面积为x亩，则一架无人机每小时作业的面积为6x亩，

由题意得：8尤+2x6x=340,

解得：x=17,

.".6x=6xl7=102,

8（6x+x）=8x（102+17）=952<960,

一架无人机和一名工人共同作业8小时不能完成960亩的打药任务.

6.（2025•海淀区一模）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑

战”和“巧手闯关”两个项目.若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于

55分，则可获得一份校园文创奖品.参加活动时，在正式计分前可先体验一次.小明在体验两个项目时共

得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了20%,“巧手闯关”项目的得分比体验

时增加了10%,共得104分.请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由.

【分析】设小明在体验时“智趣挑战”得分为x分，则小明在体验时“巧手闯关”得分为（90-x）分，根据

小明在正式计分时共得90分；可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，将其代入（l+20%）x中，

可求出小明在正式计分时“智趣挑战”得分，结合104>100,60>55,即可得出小明可以获得校园文创

奖品.

【解答】解：小明可以获得校园文创奖品，理由如下：

设小明在体验时“智趣挑战”得分为x分，则小明在体验时“巧手闯关”得分为（90-幻分，

根据题意得：（1+20%）尤+（1+10%）（90-尤）=104,

解得：x=50,

（1+20%）x=（1+20%）x50=60（分），

•.-104>100,60>55,

.•.小明可以获得校园文创奖品.

7.(2025•密云区一模)某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、3两种型号展板共100块，其中

A型展板至少50块.已知购进2块A型展板和3块3型展板共需210元，购进3块A型展板和1块3型

展板共需140元.为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由.

【分析】设A型展板的单价为尤元，3型展板的单价为y元，根据购进2块A型展板和3块3型展板共需

(v-30

210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元，列出二元一次方程组，解得"，再设购进A

[y=50

型展板机块，则购进3型展板(100-附块，总费用为w元，根据题意列出w关于加的一次函数关系式,

然后由一次函数的性质即可得出结论.

【解答】解：该校计划投入的资金够用，理由如下：

设A型展板的单价为x元，3型展板的单价为y元，

2x+3y=210

由题意得:

3x+y=140

即A型展板的单价为30元，8型展板的单价为50元，

设购进A型展板机块，则购进3型展板(100-m)块，总费用为w元，

由题意得：w=30m+50(100-m)=-20m+5000，

20<0,

川随机的增大而减小，

,/m..50，

二.当根=50时，w有最大值=—20x50+5000=4000,

该校计划投入的4000元资金够用.

8.(2025•平谷区一模)清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为

了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式：

方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长；

方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%.

明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，

打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领

取的时长分别为多少分钟？

【分析】设第一天明明领取的时长为尤分钟，妹妹领取的时长为y分钟，根据“打卡第2天时，明明和妹

妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15

分钟”，列方程组求解即可.

【解答】解：设第一天明明领取的时长为x分钟，妹妹领取的时长为y分钟，

根据题意得[2,

[x+15=y（l+50%）2

x=30

解得

y=20'

答：第一天明明领取的时长为30分钟，妹妹领取的时长为20分钟.

9.（2025•门头沟区一模）随着农业技术的高速发展，新农机大量运用让中国人的“饭碗”越端越牢.装

有北斗导航的无人插秧机大幅度提高了插秧的速度.现有某种型号的无人插秧机若干台，农田若干亩.如

果每台无人插秧机每天插秧45亩，那么工作5天后还剩400亩农田未插秧；如果每台无人插秧机每天插

秧50亩，那么工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台无人插秧机和多少亩农田？

【分析】设有无台无人插秧机，_y亩农田，根据“如果每台无人插秧机每天插秧45亩，那么工作5天后还

剩400亩农田未插秧；如果每台无人插秧机每天插秧50亩，那么工作6天后还剩100亩农田未插秧”，可

列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设有x台无人插秧机，y亩农田，

5x45x+400=y

根据题意得:

6x50x+100=y

x=4

解得:

y=1300

答：有4台无人插秧机，1300亩农田.

10.（2025•石景山区一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养,

少油更健康”.某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下:

食品种类一盒牛奶一盒豆浆

营养成分

能量280V210kJ

蛋白质3.5g4.2g

脂肪3.5g2.4g

碳水化合物5.6gL7g

钠65mg13mg

钙130mg

某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了770H能量和11.2g蛋白质.

(1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？

(2)初中生每日脂肪摄入量约为59~73g.若小石这天已经从其它食品中摄入60g脂肪，在他喝完牛奶

和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由.

【分析】(1)设小石喝了x盒牛奶，y盒豆浆，根据初中生小石从这两种食品中恰好摄入了770b能量和

11.2g蛋白质，可列出关于尤，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)利用小石这天的脂肪摄入量=60+每盒牛奶的脂肪含量x2+每盒豆浆的脂肪含量xl,可求出小石这

天的脂肪摄入量，结合该值在59~73g之间，即可得出结论.

【解答】解：(1)设小石喝了x盒牛奶，y盒豆浆，

280x+210y=770

根据题意得:

3.5x+4.2y=11.2

x=2

解得:

)=1

答：小石喝了2盒牛奶，1盒豆浆；

(2)在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由如下：

•.•60+3.5x2+2.4x1=69.4(g),59<69.4<73,

.•.在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标.

11.(2025•东城区校级一模)如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮.利用图中信息解决下列问题:

物理常识

开水和温水混合时会发生热传递，开水放'温水开水]

出的热量等于温水吸收的热量，可以转化水流速度◎◎水流速度

20ml/s,730匕­-100℃V15ml/s

为“开水的体积X开水降低的温度=温水V__________•:)

1_____1

的体积X温水升高的温度出水口

(1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水,刚好接满,则王老师的水杯容量为400ml；

(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210加，温度为40℃的水(不

计热损失)，求嘉琪同学的接水时间.(列二元一次方程组解决问题)

【分析】(1)利用王老师的水杯容量=温水的流速X王老师接温水的时间+开水的流速X王老师接开水的

时间，即可求出结论；

(2)设嘉琪同学接了尤s的温水，ys的开水，根据“嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一

会儿开水，得到一杯210加/,温度为40°C的水”，可列出关于尤，y的二元一次方程组，解之即可得出结

论.

【解答】解：(1)根据题意得：20x14+15x8

=280+120

=400(mZ),

王老师的水杯容量为400〃4.

故答案为：400；

(2)设嘉琪同学接了xs的温水，ys的开水，

根据题意得：产+15尸210,

[(100-40)-15y=(40-30)-2Qx

答：嘉琪同学接了9s的温水，2s的开水.

12.(2025•西城区一模)为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、3两种型号的芯片

共1000片，其中A型芯片至少800片.已知购进2片A型芯片