北京市某中学2024-2025学年高二年级下册3月月考数学试题

北京市育才学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2与8的等差中项是（）

A.-5B.5

C.4D.±4

2.某人通过普通话二级测试的概率是:，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其

中恰有一次通过的概率是（）

3「I-9r27

A.—B.—C.—D.—

64166464

3.船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，

天气好的概率为0.6,天气不好的概率为0.4,则出海效益的期望是（）

A.2000元B.2200元C.2400元D.2600元

4.已知数列｛%｝的通项公式是,那么这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

5.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发

展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施.假设生男、生

女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个

孩子是女孩的概率为（）

1flclr1

A.—B.—C.—D.一

8432

6.设等差数列｛%｝的前“项和为S",若。2=-3,使S“最小的〃的值为（）

A.4B.5C.6D.4或5

7.在数列｛%｝中，4=-3且,则“2000=（）

[~an

A.—B.—C.2D.—3

23

8.已知离散型随机变量X服从二项分布X〜*6,p）,且E（X）=1,则。（X）=

试卷第1页，共4页

9.记S,为数列｛%｝的前〃项和.若%=〃（8-〃）（〃=1,2-），贝I］（）

A.｛%｝有最大项，｛$,｝有最大项

B.｛%｝有最大项，｛S“｝有最小项

C.｛%｝有最小项，｛'｝有最大项

D.｛见｝有最小项，阻｝有最小项

10.世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称

世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的

比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为：，该国女排获胜的概率为现中国女排在先胜

一局的情况下获胜的概率为（）

857-241

A.-B.—C.—D.一

981819

二、填空题

11.已知数列｛%｝为等差数列，出+g=8,则q+%=

12.若随机变量X的分布列为（如表），

日□n

000

则。=；若随机变量公*1,则随机变量丫的数学期望£（y）=.（用数字

作答）

13.从“1,2,3,4,5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列

的概率是.

14.随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为口，点数之和

大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为必，则比PI，P2,2大小关系是.

15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，

从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.例如图（1）是一个边

长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得

试卷第2页，共4页

到图(2),如此继续下去，得到图(3),则第三个图形的边数;第〃个图形的边

三、解答题

16.已知数列｛%｝中，％=2。“，&=8.

⑴求数列｛%,｝的前5项；

(2)若等差数列出｝满足3=%也=%，求低｝的前〃项和S".

17.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得

到以下数据(单位：小时)：

男生组：5,5.5,6,7,7,7.5,8,8.5,9；

女生组：5.5,6,6,6,6.5,7,7,8.

用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立.

(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10(含8小时)小时，估计该校

高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；

(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的

人数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)原女生组睡眠时间的样本方差为若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并

记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为1，写出『与s；的大小关系.(结论不要求证明)

18.小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：

语文数学英语物理化学生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(1)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率;

试卷第3页，共4页

(2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中

成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：

语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差

第一次%a2%%a5〃6为

第二次4bb

b23a5a%2

将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为A.有一种观点

认为：若再<3，则2・。3・3.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)

19.若数列｛%｝满足.对任意〃eN*,都有%则称｛%｝是“P数列”，

(I)若a——判断｛&｝,也｝是否是“产数列”；

(2)已知｛。"｝是等差数列，为=2,其前〃项和记为S.，若｛%｝是“P数列”，且S“<3/+2"恒

成立，求公差d的取值范围；

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《北京市育才学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDBADDCDAA

1.B

【分析】设2与8的等差中项是x,则2x=2+8=10,进一步解得x的值即可.

【详解】解：设2与8的等差中项是X,则2x=2+8=10,解得x=5.

故选：B.

2.D

【分析】根据题意，由〃次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是-[=会.

故选：D

3.B

【分析】由期望计算公式可得答案.

【详解】由题可得出海效益的期望是5000x0.6+（-2000）x0.4=2200.

故选：B

4.A

【解析】作差得出。向和。“的大小关系，进而可判断出数列｛%｝的单调性.

n+1n（3H+1）（w+1）-H（3/z+4）1

3〃+43n+1（3〃+l）（3"+4）（3〃+l）（3〃+4）

・・.。田＞%,因此，数列｛%｝是递增数列.

故选：A.

【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基

础题.

5.D

【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.

【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男

答案第1页，共9页

男），

所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为尸=;.

故选：D

6.D

【分析】设公差为d,依题意得到方程组，求出可、d,即可求出通项公式，再根据数列的

单调性判断即可.

【详解】设公差为d,由出=-3,S5=-10,

a1+d=—3-—4

所以5%+104=-10,解得小，所以见“5,

令对20,解得〃W5,则数列｛%｝单调递增，且％=0,

所以当"=4或〃=5时S”取得最小值.

故选：D

7.C

【分析】通过计算4，/，%，牝可得数列周期性，即可得答案.

a1+1—3+1

【详解】注意到的=

1-a,-1-(-3)

%=%=2.

故选：C

8.D

【分析】利用二项分布期望公式£（1）=6。求出。，再由方差公式。（X）=6o（l-p）可计

算出答案.

【详解】由于离散型随机变量X服从二项分布X~5（6,p）,贝l]E（X）=6p=l,所以，pj

6

因此，=—/＞）=6x—X—=—,故选D.

答案第2页，共9页

【点睛】本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是

解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题.

9.A

【分析】利用二次函数的性质可判断得。"有最大项，再分析。"的正负情况可判断得S,有最

大项，从而得解.

【详解】根据题意,%=〃(8-〃)=8〃-〃2,

对于二次函数，J；=-X2+8X=-(X-4)2+16,其开口向下，对称轴为x=4,

则当x=4时，了=-尤2+8x取得最大值，

所以当"=4时，%有最大值为16,所以有最大项.

又由可解得0W〃W8,

贝!J当14〃<8时，。“>0,当〃=8时，。〃=0,当〃〉8时，。〃<0,

所以当〃=7或8时，S〃最大，

则｛%｝有最大项，｛$“｝有最大项.

故选：A.

10.A

【解析】根据比赛情况，按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场，中国女排在先胜一局的

情况下，则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场，则第二场或第三场中国队获胜，第四场获

胜;当总共比赛五场时，则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场，第五场中国队获胜即可.

根据概率计算，将三种情况下的概率求和即可得解.

【详解】每场比赛中国女排获胜的概率为:，该国女排获胜的概率为:,现中国女排在先胜一

局的情况下获胜，有以下三种情况：

总共比赛三场，则第二场和第三场中国队获胜，所以此种情况下中国队获胜概率为=1

总共比赛四场，则第二场或第三场中国队获胜，该国胜一场.且第四场中国队获胜，则此种情况

下中国队获胜的概率为

总共比赛五场，则第五场中国队获胜，第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的

答案第3页，共9页

1V24

概率为c]2

3)3一27

4848

所以中国队获胜的概率为，+药+药=3

故选:A

【点睛】本题考查了分类讨论求符合要求条件的概率，注意分类讨论要全面,属于中档题.

11.8

【分析】由等差数列通项公式可得答案.

【详解】设｛4｝公差为d,由题，％+%=2%+8d=4+74+4+。=〃2+。8=%

故答案为：8.

12.-/0.5

2*

【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.

【详解】•.4+。+:=1

63

1

2

E(X)=lx，+2x-+3x-=B

623~6

•・,Y=2X+\

「八八c13116

:.E(Y}=2x—+l=—.

v763

故答案为：7；v-

23

【解析】基本事件总数=10,利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本

事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率.

【详解】从“1,2,3,4,5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为〃=^=10-

剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,

4,5),共4个.

剩余三个数能构成等差数列的概率是°=24=:2

2

故答案为：

答案第4页，共9页

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

14.P2>P3>A

【分析】由古典概型知识计算各概率即可比较大小.

【详解】抛两枚骰子，设第一枚骰子点数为x,第二枚为外则骰子点数情况记为（x,y）.

总情况数为36,向上的点数之和不超过5的情况有：

（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（4,1）共10种,

则”=与=盘；则超过5点的情况有26种,故°2=11=三，

361836lo

点数之和为偶数的情况有：

（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,3乂3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）

,（5,5）,（5,3）,（5,1）,（6,2）,（6,4）,（6,6）共18种，故。3=（

综上可得0>。3>Pl-

故答案为：P2>P3>P\.

15.483X4"T

【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.

【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的g,边数是上一个图形4倍，

因为第1个图形的边数3,所以第2个图形的边数12,第3个图形的边数48.

设第〃个图形的边数为。“，

则数列｛4｝是以3为首项，以4为公比的等比数列，

则%=3X4"T.

故答案为：48；3X4”T

16.（1）%==2,%=4,%=8,%=16；

（2）S“=3〃2-5〃

【分析】（1）先证明数列是等比数列，再写出通项即可计算求解；

（2）先求出｛4｝的通项公式，再应用等差数列求和公式求解.

答案第5页，共9页

【详解】(1)数列｛4｝中，因为&=8片0,故见工0,

故也=2,所以数列｛%｝是等比数列，公比是2,

an

又因为&=8,所以a“=&x2i=2i.

月^以4]—1,a2=2,=4,。彳=8,=16•

(2)等差数列也｝满足a=4也=16,

设等差数列公差为d,2d=“一d=12,所以d=6,所以6〃二仇+(〃一2N6二6〃-8,

所以也?｝的前〃项和Sn=--------"=〃(⑦-5)=%2_%.

4

17.(1)—

一17

(2)分布列见解析；期望为2

【分析】(1)直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率;

(2)X的所有可能取值为0,1,2,求出分布列，再由期望公式求解;

(3)直接判断写出£与s；的大小关系.

【详解】(1)设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件/,

在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，

4

所以尸(4)=万;

(2)由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件5,

31

则尸⑻=§=『

“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C,

P©

8

由条件可知，X的所有可能取值为0,1,2,

117111193

P(X=0)=(1-邪1-#1r尸(X=1)=(管)+-x(l-)=-=-，

尸(X=2)f=.

所以X的分布列为：

答案第6页，共9页

X012

731

P

12824

…、八1419clII

E'X、—Ox-----F1x----F2x—=—

24242424

(3)

27

18.(1)-(2)分布列见解析，E(X)=-(3)不正确

36

【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果;

（2）计算出X的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望;

（3）根据方差公式计算，结合A<3比较可得答案.

【详解】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，

所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为£=

63

（2）X的所有可能取值为：0,1,2,

P（x=°）=隹T尸少』葭G］，「（X3器

所以X的分布列为：

X012

j_]_

P

63

1117

数学期望项X)=0x±+lx±+2x七，.

6236

(3)设%%，贝Ia】+a2H----卜4=a+b2T----1-b6=6x,

贝[j—(4-X)2+(2-X)2+,，,+(6一%)?

=a；+a；+…+a；—2(%+2-----&)x+6必

—a：+a；4~•,,+a；—12x2+6/

—a；+a；+,•,+a；-6x^,

同理可得63=6；+用+…+6；-6-,

答案第7页，共9页

621丁;+（『j+T2,

因为Dy<Z）2，所以a：+a；H—，+<b；+b；T—.+6；,

所以皿-62二（^1Aj+（^|Aj+_+（£^[_面+起+...+,）

=（4-％）（4+34）+