北师大版高中数学必修二讲义：第五章 复数（十五种常考题型）学生版+解析

第5章复数章末十五种常考题型归类

题型突破

复数的概念

・

1.（2024浙江温州二模）已知zeC,贝U"2GR"是"z6R”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

2.（2024高一•全国•专题练习）给出下列命题：

①若aeR,贝！］（a+l）i是纯虚数；

②若a,beR且a>b,则a+i>6+i；

③若a,beC,则复数a+bi的实部为a,虚部为b；

④i的平方等于-L

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②

C.③D.④

3.（20-21高一下•全国•课后作业）下列命题中：

①若eC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l;

②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；

2

③右（Z]—z2）+（Z2—Z3）2=0,则Z]=Z2=Zg-

正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

4.（多选）（21-22高一•全国•课后作业）下列命题中，不正确的是（）

A-1-ai（aGR）是一个复数B.形如a+历（6GR）的数一定是虚数

C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,贝必+i>6+i

5.（多选）（21-22高一・全国•课后作业）（多选）已知zi，Z2为复数，则下列说法不正确的是（）

A-右Z]=z2,贝!J|zi|=|z21B.右Z]丰Zz，则|z1[丰\z21

C.若Zi>Z2，贝”Z1I>\z2\D.若|z/>\z2\,则Zi>z2

复数的实部与虚部

6.（23-24高一下•广东梅州•期中）复数z=券的实部和虚部分别是（）

A.1,1B.l,iD-1|i

7.（多选）（23-24高一下•广东茂名•期中）设复数z=言,则下列命题结论正确的是（）

A.z的实部为1B.复数z的虚部是2

C,复数z的模为小D.在复平面内，复数z对应的点在第四象限

8.（23-24高一下•安徽•期中）已知复数z的实部为5,虚部为-1,则图=.

9（22-23高一下•浙江嘉兴•阶段练习度数z=（1+2i）（l-i）其中i为虚数单位，则z的实部是

10.（2024高一•全国•专题练习）已知复数z=3%-（%2-%）i（xeR）的实部与虚部的差为f⑺.

⑴若f（%）=8,且x>0,求复数iz的虚部；

（2）当f（x）取得最小值时，求复数z的实部.

|题型03

复数相等求参数

1

n.（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知i为虚数单位，久,y为实数，若（X+yi）+2=（3-4i）+2yi,贝小+y=

()

A.2B.3C.4D.5

12.（2024・全国•模拟预测）已知（1+i）b=a（i-1）+2i,其中a,beR,i为虚数单位，则以a,b为根的一

个一元二次方程是()

A.x2—1=0B.x2+x—2C.x2—x—0D.x2+x—0

13（21-22高三上•陕西延安•期中）已知a,beR复数z[=-1+ai勿=b-3Ki为虚数单位）若为=互，

则a+6=()

A.1B.2C.-2D.-4

14.(20-21高一•全国•课后作业)定义:复数b+ai是z=a+b\(a,beR)的转置复数，已知a,beR,i是

虚数单位，若a+2i=1-bi,则复数z=a+6i的转置复数是—.

22

15.(21-22高一湖南•课后作业)已知Zi=(m+m+1)+(m+m—4)i(meR),z2=3-2i,则=1"

是Z=z2"的条件.

复数类型求参数

16.(23-24高一下•湖南长沙•阶段练习)复数z=a2-b2+(a+|a|)i,(a,beR)为实数的充要条件是

()

A.a<0B.a<0且a=—b

C.a>。且a手bD.a>。且a=|6|

17.(2018•江西一模)若。eR,则"a=2"是复数"z=a2-4+(a+2)i"为纯虚数的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

18.(23-24高一下•北京•阶段练习)设。eR,复数z=(1-i)(a+i).若复数z是纯虚数，则a=；

若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，则a=.

19.(23-24高一下•江苏盐城•期中)实数m取什么值时，复数z=(m2-2m-3)+(m2-5m-6)i是:

⑴实数？

(2)纯虚数?

20.(2024高一全国,专题练习)已知z=sinZ+(ksinX+cos4—l)i,力为△ABC的一个内角.若不论4为

何值，总存在k使得z是实数，求实数k的取值范围.

题型05

21.(2024高三・全国・专题练习)已知(1+i)2z=2+i,则2的虚部为()

A.1B.iC.iD.

22

22.(2024・全国•模拟预测)复数z满足?=i(i为虚数单位)，则复数z的共辗复数为()

A.1—2iB.l+2iC.—1+2iD.—1—2i

23.(多选)(23-24高一下•湖北武汉•期中)设z,z1,Z2是复数，则()

A.若|z|=2,则z2=4B.若Z]=私,则Z2=A

C.若Z2力0，则用=曰D.若z+2=0,则Z为纯虚数

\z2\|z2l

24.(23-24高一下•云南昆明•阶段练习)复数z=,则z2-2=

25.(23-24高一下•河南濮阳•阶段练习)已知复数Z1=4+m\(meR),且石•(1-2i)为纯虚数.

(1)求复数Zi；

⑵若Z2=&，求复数五及㈤.

题型06复数的模

26.(23-24高一下•广东茂名•期中)若复数z=2-bKbeR)的实部与虚部互为相反数，则忆|的值为()

A.0B.2C.8D.2V2

27.(23-24高一下•山西期中)已知z为复数，则"z的实部大于0"是"需<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

28.(23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习)已知Z]=-1+V3i,Z2=cos。+isin0(0eR)，则|Z]•Z2|=()

A.4B.1C.2D.不确定

29.(23-24高三下•河南濮阳•开学考试)已知复数z1,Z2在复平面内所对应的点分别为(-2,5),则

"=()

A.yB.1C.V2D.2

30.(23-24高一下诃北•期中)若|a+lli|=5V5(aeR),则|a|=.

I

越型07|

31.(2024高一下•全国•专题练习)(1)复平面内的原点(0,0)表示实数—,

(2)实轴上的点(2,0)表示实数,

(3)虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数—，

(4)点(-2,3)表示复数.

32.(22-23高一下•福建宁德•期中)已知复数z=-3+i,则在复平面内复数z对应的点在第一象限.

33.(20-21高一下•重庆渝中•期中)复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,对应点在虚轴上，实数机

的值为一.

34.(2024高三•全国•专题练习)设复数z=a+bi(a,beR,i为虚数单位)在复平面内对应的点为M,

则"点M在第四象限"是"ab<0"的一条件

35.(2022高一•全国•专题练习)在复平面内，若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点满足下

列条件.分别求实数m的取值范围.

(1)在虚轴上；

(2)在第二象限;

⑶在直线y=x上.

题型08

36.(23-24高一下•广东广州•期中)已知复平面内的点4,8分别对应的复数为zi=2+i和z2=-1-2i,

则向量瓦?对应的复数为.

37.(23-24高一下•河南•期中)已知复数z满足|z-1-i|=2,i为虚数单位,z在复平面上对应的点为Z,

定点,。为坐标原点，则应­丽的最小值为.

38.(23-24高一下•山东枣庄•期中)在复平面内复数zi,Z2所对应的点为Zi,Z2,。为坐标原点，i是虚数

单位.

（1）Z1=4-3i,Z2=-5-4i,计算Z1Z2与西­；

（2）设Z]=a+bi,Z2=c+di（a,6,c,deR）,求证：\01[-0Z2|<\zxz2\,并指出向量西）,OZ2满足什么

条件时该不等式取等号.

39.（23-24高一下•浙江绍兴•期中）已知复数zi=1+2i,Z2=3-4i对应的向量分别为瓦麻口前，其中。为

复平面的原点.

（1）若复数4+衣2在复平面内对应的点在第二象限，求实数力的取值范围；

⑵求耐在砺上的投影向量

40.（2024高一下•全国・专题练习）设复数z1,Z2对应的向量为两,西，。为坐标原点，且zi=-1+gi,

若把西绕原点逆时针旋转手，把两绕原点顺时针旋转器，所得两向量恰好重合，求复数Z2.

题型09几何图形问题

41.（22-23高一下•河北保定•期中）已知复数Zi=2+i是关于x的方程/+px+q=0（p,q6R）的一

个根，若复平面内满足|z-Zi|=p+q的点Z的集合为图形M,则M围成的面积为（）

A.nB.16nC.25nD.81Tl

42.（22-23高一下•上海虹口・期末）设复数z的共粒复数是，，且|z|=1,又复数5对应的点为Z,4（-1,0）与

B（0,l）为定点，则函娄好（z）=|（z+1）（2-i）|取最大值时在复平面上以Z,48三点为顶点的图形是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

43.（21-22高一下•广东深圳•期中）复数z满足|z|=1,则复数z对应的点在复平面内表示的图形是（）

A.圆B.点C.线段D.直线

44.（多选）（22-23高一下㈣11成都•阶段练习）已知i是虚数单位,z是复数,则下列叙述正确的是（）

A.若meR,贝!]z=m+1+（m2-2m-3）i不可能是纯虚数

B.z=2+3i是关于x的方程/一4%+13=0的一个根

C.z-z=|z|2=\z\2

D.若|z[<1，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为2TT

45.（多选）（21-22高一下•广东广州•期中）设复数z在复平面上对应的点为Z,i为虚数单位，则下列说法

正确的是（）

A.满足|z|=1,且|z-a-=1的点Z有且仅有一个

B.若|z-l|=l,则z=2或0或1+i或1-i

C.2W|z|<3,则点Z构成的图形面积为5TC

D.非零复数Z1,Z2,对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点，若Z1=iz2,贝必。Z1Z2为等腰直角三角形

题型10

46.（23-24高一下•云南昆明•阶段练习）设复数为*2在复平面内的对应点关于实轴对称，若z1+z?=4,

（Z1-Z2）i=2,则4=（）

A.2—iB.—2—iC.—2+iD.2+i

47.（23-24高一下•安徽•期中）在复平面内，复数（3+i）（l-4i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

48.（23-24高一下广东江门•阶段练习）复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则，（）

A.—2+iB.2+iC.—2—iD.2—i

49.（23-24高一下•四川达州・期中）已知复数Zi，Z2满足zi•Z2eR,zi=券

1—V3I

⑴求Z1；

（2）求|2ZI+Z2|的最小值.

50.（23-24高一下•四川成都•期中）在复数范围内有关于%的方程/+x+1=0.

(1)求该方程的根；

(2)求x(x-1)的值；

/>.202412024

(3)有人观察到(x—l)(/+x+l)=0,得比3=1,试求(喜r)+(z/)x的值•

II

题型11复数方程问题

■-----।

51.（23-24高一下•陕西西安・期中）已知方程%2+（4+i）x+4+ai=0（a6R）有实根b,且z=。+bi,则

复数z的共粒复数等于（）

A.2—2iB.2+2iC.—2+2iD.—2—2i

52.（23-24高一下•重庆长寿•阶段练习）若一"争是关于x的实系数方程a/+bx+1=0的一个复数根，

设z=a+bi,贝（Jz=（）

*13•r513•x-31•cy•

A.---1B.-+-iC.----1D.1+i

555555

53.（23-24高一下•广东江门•期中）计算：W+（l—i）2=

54.（23-24高一下•上海•期中）若z是方程/+%+1=0的一个虚数根，贝/=_.

55.（23-24高一下•福建莆田・期中）已知复数z满足|z|=V2,z?的虚部是2.

（1）求复数z;

（2）若z是关于x的实系数方程/+6比+2=。的一个复数根，求b的值；

⑶若复数z的实部大于0,设z,z3,z-z3在复平面上的对应点分别为,求△ABC的面积

复数的三角形式与运算

56.（21-22高一•全国•课后作业）复数z=sinl5°+icosl5°的三角形式是（）

A.cosl95°+isinl95°B.sin75°+icos75°

C.cosl5°+isinl5°D.cos75°+isin75°

57.(21-22高一•全国•课后作业)如果8eg,n),那么复数(1+i)(cos0-isinJ)的三角形式是()

A-V2[cos($2)+isin(y-0)]

B.V2[COS(2TT—。)+isin(2n—0)]

C.V2cos(；+6)+isin(:+8)]

D.V2cos管+。)+isind+[)]

58.(22-23高一下•全国•课后作业)若z=cosd+isin。(i为虚数单位)，贝(]。=Tt+2kx(keZ)是z?=1的

条件.

59.(22-23高一•全国•随堂练习)计算：

(1)(1+i)(l+V3i)(cos^+isin。);

z^x(l-V3i)(cos0+isin0).

(l-i)(cos0-isin0)'

/n\(cos70+isin70)(cos20+isin20)

(cos50+isin50)(cos30+isin30)*

60.(22-23高一・全国•随堂练习)将复数3-Wi对应的向量旋转-，求所得向量对应的复数.

61.（22-23高一下•安徽•阶段练习）欧拉公式e3=cosx+isinx（i为虚数单位，xeR）是由瑞士著名数学

家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式

可知，下面结论中正确的是（）

TT；pix_p-ix

A.02—1=0B.sinx=--------

2

C.在复平面内对应的点位于第二象限D.（cos%+isinx）2=cos2x+isin2x

62.（2023•福建福州•模拟预测）欧拉公式理=cosO+isin。由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数

HT

e,虚数单位i与三角函数cos。，sin。联系在一起，被誉为“数学的天桥"，若复数z=在"则Z的虚部为

（）

A.iB.1C.-iD.返

22

63.（22-23高一下•广东深圳•期中）欧拉公式Hi=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将

指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的

地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是（）

A.苕对应的点位于第二象限B.苜为实数

C.黄的共辗复数为?-争D.黑的模长等于之

zzV3+I2

64.（多选）（22-23高一下•江苏苏州•期中）欧拉公式十=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该

公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常

重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是（）

2TT-n-

A.e寸对应的点位于第二象限B.公为纯虚数

C.黑的模长等于3D.4的共轨复数为:争

V3+I222

65.（22-23高一下•安徽合肥・期末）欧拉公式十=cos%+isinx（i为虚数单位,%eR）是由瑞士著名数

学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为

”数学中的天桥".根据此公式可知，|十|=,十+e-M=_

I

题型14复数范围内的因式分解

66.（21-22高三下•上海浦东新•期中）在复数范围内分解因式：7—2%+2=_.

67.（20-21高一下•山西吕梁・期中）在复数范围内，将多项式婷—16分解成为一次因式的积，则——

16=_.

68.（20-21高一下•上海•课后作业）（1）在实数集中分解因式：/一/一6=;

（2）在复数集中分解因式：久4一/一6=___；x2+（2cos0）x+1=___.

69.（21-22高一•全国•课后作业）在复数范围内分解因式：

（I）%4+6x2+9；

（2）%4—2久2—8.

70.（21-22高一・湖南•课后作业刷用公式a?+>=①+如①一如把下列各式分解为一次因式的乘积：

（I）%2+9；

（2）a4-b4；

（3）a2+2ab+b2+c2；

（4）久2+5x+6.

复数运算相关概念问题

71.（多选）（23-24高一下•浙江杭州•期中）已知zi，Z2为复数，z】Z2丰0,则以下说法正确的有（）

A且1=|为

・㈤Z?

B.ki+z2l=kil+k2|

c.2，迫互为共粗复数

Z2Zz

D.若㈤=1,则,1-3+4i|的最大值为6

72（多选I23-24高一下•广东广州•期中）已知复数Zi，Z2是关于x的方程/+bx+1=0（-2<b<2,beR）

的两根，则下列说法中正确的是（）

A.=zB.—ER

2Z2

C.\zr-z2\=1D.若b=1,则域=Z2=1

73.（多选）（23-24高一下•广东东莞•阶段练习）设zi*2为复数，则下列说法一定成立的有（）

2

A.Zi=|z/2B.若赞=0,则Zi=0C.|zt+z2|<\zr\+|z21D.=（z^）

74.（多选）（23-24高一下•湖北武汉・期中）下面四个命题中的真命题为（）

A.若复数z满足[eR,则zeR

B.若复数z满足2=）则⑵=1

C.已知Zi，z2GC,若z/2GR,则Zi=1

D.已知Z1,Z2,Z3EC,若Z1Z2=Z1Z3,则Z2=z3

75.（多选）（23-24高一下•安徽合肥・期中）设Z],Z2是非零复数，耳&是其共粗复数，则下列结论中正确

的是（）

A.\z1+z2\=\z±\+|Z2|B.\zr-z2\=|zj•|z2|

C.+z2=z7+D.Z]•z?=石•药

第5章复数章末十五种常考题型归类

题型归纳

题型突破

复数的概念

1.(2024浙江温州・二模)已知zeC,贝!!"z2eR"是"z6R"的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.

【详解】易知z=i=z2eR,所以不满足充分性，而zeRnz2eR,满足必要性.

故选：B

2.(2024高一•全国•专题练习)给出下列命题：

①若aeR,则(a+l)i是纯虚数；

②若a,beR且a>b,贝[]a+i>6+i；

③若a,beC,则复数a+bi的实部为a,虚部为b;

④i的平方等于-L

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②

C.③D.（4）

【答案】D

【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.

【详解】对于复数a+bi（a,6eR）,当a=0且b40时为纯虚数，

在①中，若a=—1,贝U（a+l）i不是纯虚数，①错误；

在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；

在③中，只有当a,bGR时，复数a+bi的实部才为a,虚部为b,③错误；

在④中，i的平方等于-1,④正确.

故选：D

3.（20-21高一下•全国•课后作业）下列命题中：

①若居yeC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=1;

②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；

2

③若（Z1一Z2）2+（Z2-Z3）=0,则Zi=Z2=Z3.

正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】A

【分析】根据复数的概念及复数相等判断各命题.

【详解】对于①,因为eC,取》=i,y=-i,贝!jx+yi=1+i,但x=y=1不成立，故①错误；

对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故②错误；

2

对于③，因为Z1，Z2，Z3eC若（Z1-Z2）2+（z2-Z3）=0，则ZI,Z2,Z3不一定相等-Z2=1,Z2-Z3=\,

2

满足（Zi―2）2+（Z2-Z3）=0,此时Z1,Z2，Z3不相等,故③错误；

故选：A.

4.（多选）（21-22高一•全国•课后作业）下列命题中，不正确的是（）

A.1-ai（aeR）是一个复数B.形如a+bi（beR）的数一定是虚数

C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>6+i

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念逐项分析即得.

【详解】由复数的定义可知A命题正确；

形如a+bi（bGR）的数，当6=0时，它不是虚数，故B命题错误；

若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；

两个虚数不能比较大小，故D命题错误.

故选：BCD.

5.（多选）（21-22高一•全国•课后作业）（多选）已知zi，Z2为复数，则下列说法不正确的是（）

A.右Z]=Z2,则|Z]|=|z2IB.右Z]丰7,2,则|z/丰122I

c.若Zi>z2,贝！]|z/>\z2\D.若|z/>\z2\,则Zi>z2

【答案】BCD

【分析】根据复数的定义以及复数模的概念对选型分别判断即可.

【详解】若Z1>Z2,则Z1，Z2为实数,当Z1=1*2=-2时，满足Z]>z2，但㈤<㈤，故C项不正确；

因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；

当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1-iH1+i,但|1-i|=+i|,所以B项不正确；

因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确.

故选:BCD.

复数的实部与虚部

6.（23-24高一下•广东梅州•期中）复数z=里的实部和虚部分别是（）

2+i

A.1,1B.1,iCD5•

--M33

【答案】A

【分析】由复数代数形式的运算化简即可.

【详解】Z=但==1+i

2+1（2+l）（2-l）

所以数Z=整的实部和虚部分别是1,1,

故选：A.

7.（多选）（23-24高一下•广东茂名•期中）设复数z=W,则下列命题结论正确的是（）

A.z的实部为1B.复数z的虚部是2

C.复数z的模为函D.在复平面内，复数z对应的点在第四象限

【答案】ACD

【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断AB;根据复数的模的

计算公式即可判断C;根据复数的几何意义即可判断D.

【详解】z=|9

(l+l)(l-l)2

所以z的实部为1,虚部为-2,故A正确，B错误；

\z\=V1T4=小，故C正确；

在复平面内，复数z对应的点为（1,-2）,在第四象限，故D正确.

故选：ACD.

8.（23-24高一下•安徽•期中）已知复数z的实部为5,虚部为-1,则目=.

【答案】V13

【分析】根据题意，得到z=5-i,由复数的运算法则忘=2-3i,利用模的计算公式，即可求解.

【详解】由复数z的实部为5,虚部为-1,可得z=5-1,

则捻寸=曲=9=2一31,所以曰=所5=/

故答案为：V13.

9（22-23高一下•浙江嘉兴•阶段练习厘数z=（1+2i）（l-i）其中i为虚数单位，则z的实部是

【答案】3

【分析】利用复数的乘法运算法则以及复数实部的定义求解.

【详解】z=(1+2i)(l-i)=l-i+2i-2i2=3+i,则z的实部是3,

故答案为：3.

10.(2024高一•全国•专题练习)已知复数z=3%-(%2-%)i(xeR)的实部与虚部的差为f(x).

(1)若f(x)=8,fix>0,求复数iz的虚部；

(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部.

【答案】(1)6；

⑵-3

【分析】(1)由复数的实部、虚部的运算，可得/(X)=/+2久，再结合题意可得％=2,再确定iz虚部即可.

(2)先求出函数取最小值时x对应的值，再代入即可得解.

【详解】(1)依题意，/(%)=3久+(%2-x)=x2+2x,由/'(%)=8,得/+2x=8,而x>0,解得久=2,

则z=6-2i,iz=i(6-2i)=2+6i,所以iz的虚部是6.

(2)由(1)知，f(x)=(x+l)2-1,则当x=-1时，f⑺取得最小值,

此时，z=-3-2i,所以z的实部为-3.

复数相等求参数

11.(2023・湖南岳阳・模拟预测)已知i为虚数单位,为实数,若O+yi)+2=(3-4i)+2yi,则x+y=

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由复数相等可列出方程组求解.

【详解】由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+(2y-4)i,

所以|江2y-4，解得“=I，'=4，所以尤+V=5.

故选：D.

12.(2024•全国•模拟预测)已知(1+i)b=a(i-1)+2i,其中a,6eR,i为虚数单位，则以a,b为根的一

个一元二次方程是()

A.%2—1=0B.%2+%=2C.%2—x=0D.x2+%=0

【答案】A

【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.

【详解】因为(1+i)b=a(i—1)+2i,所以b+bi=—a+(a+2)i,

所以｛/=二，所以｛才，

3=a+2

因此所选方程的两根为±1，仅有/-1=。符合要求，

故选：A.

13(21-22高三上•陕西延安•期中)已知a,bGR复数zi=-1+ai向=人-3Ki为虚数单位)若z1=2,

则a+6=()

A.1B.2C.-2D.-4

【答案】B

【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可.

【详解】解：由Z2=b-3i得

z2=b+3\,

Z1=z2I

{T=(,

Ia=3

解得{二

••・a+b=2.

故选：B.

14.(20-21高一・全国•课后作业)定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b6R)的转置复数,已知a,beR,i是

虚数单位，若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是.

【答案】-2+i/i-2

【分析】先根据复数相等得到a,6,求出z和转置复数.

【详解】由a+2i=1-bi,得a=l,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,

故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.

故答案为：-2+i

22

15.(21-22高一湖南•课后作业)已知Z[=(m+m+1)+(m+m—4)i(mGR),z2=3—2i,则=1"

是Z=zf的条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】当Z】=Z2时，必有小？+m+1=3且Hi?+m-4=-2,解得m=-2或TH=1,

显然"m=1"是Z=Z2"的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

复数类型求参数

16.(23-24高一下•湖南长沙•阶段练习)复数z=a2-b2+(a+|a|)i,(a,beR)为实数的充要条件是

()

A.a<0B.a<0S.a=—b

C.a>0且a丰bD.a>0且a=\b\

【答案】A

【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可.

【详解】若复数z=a2-b2+(a+|a|)i,(a,b6R)为实数,

则有a+|a|=0,=>a<0,

故选：A.

17.(2018•江西一模)若aeA,则"a=2"是复数"z=a?-4+(a+2)i"为纯虚数的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.

【详解】若a=2,贝物=4i为纯虚数；

若z=a?-4+(a+2)i为纯虚数，aeR,则有，解得a=2.

所以,当a6R时，"a=2"是复数"z=a?-4+(a+2)i"为纯虚数的充要条件.

故选：C

18.(23-24高一下•北京•阶段练习)设。eR,复数z=(1-i)(a+i).若复数z是纯虚数，贝必=;

若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，贝!Ja=.

【答案】-11

【分析】由复数是纯虚数或实数的充要条件即可列式求解.

【详解】z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,对于第一空:若复数z是纯虚数，则｛；［：：：，解得a=-1；

对于第二空：若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，贝-a=0,解得a=1.

故答案为：-1；1.

19.(23-24高一下•江苏盐城•期中)实数m取什么值时，复数z=(m2-2m-3)+(m2-5m-6)i是：

⑴实数？

⑵纯虚数？

【答案】⑴m=-l或6;

(2)m=3.

【分析】(1)(2)利用实数、纯虚数的定义列式求解即得.

【详解】(1)复数z=(m2—2m—3)+(m2—57n—6)i是实数，则/_57n—6=0，解得m=—1或TH=6,

所以当血=-1或771=6时，复数z是实数.

(2)由复数z是纯虚数，得zu?—2m—3=0且Tn?—5m—6H0,解得m=3,

所以当血=3时，复数z是纯虚数.

20.(2024高一全国专题练习)已知z=sinA+(ZcsinX+cos/-l)i,4为4ABC的一个内角.若不论/为

何值，总存在M吏得z是实数，求实数k的取值范围.

【答案】(0,+8).

【分析】根据Z为实数，求得k=上等恒成立，再借助半角公式，以及正切型函数的值域，即可求得参数k的

sin/

范围.

【详解】,「z是实数，4€(0,71),sinZH0,「.ksinZ+cosA—1=0,即左宁恒成立.

smA

.n1-cos/l2sin2?4,c、4Tt

又…a4=tan-,Ae(0,n),-£(0

smA2sm-cos—乙N\

22

A,、l-C0Si4,、

••tan-G(0,4-oo),.1si-6(0,+oo),

.,当k＞。时，不论4为何值，总存在k使得z是实数,

故k的取值范围为(0,+8).

共辗复数问题

21.(2024高三•全国•专题练习)已知(1+i)2z=2+i,贝区的虚部为()

A.1B.iC.-D.-I

22

【答案】A

【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数z,再求出2即可得解.

【详解】由（l+i）2z=2+i,得z=4=的=驾==三=三一i,

、7（1+I）22121（-1）22

则2=（+i,所以2的虚部为1.

故选：A

22.（2024•全国•模拟预测）复数z满足?=i（i为虚数单位），则复数z的共辗复数为（）

A.1一2iB.l+2iC.-1+2iD.—1—2i

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算和共拆复数定义计算即可

【详解】由题知，复数z=?=1一2r2=1+2i.

故选:B.

23.（多选）（23-24高一下•湖北武汉•期中）设zz，Z2是复数，则（）

A.若|z|=2,贝!]z2=4B.若Zi=五，贝3=五'

C.若Z2大0,则昌=台D.若z+2=0,则z为纯虚数

【答案】BC

【分析】根据复数的模的定义和复数的乘法法则判断A,根据共辗复数的定义判断B，结合复数的运算法则

及复数的模的定义判断C,结合纯虚数的定义判断D.

【详解】设z=%+yi,Zi=a+b\,z2=m+n\,x,y,a,b,m,nE：R,

对于A,取％=0,y=2,贝!]z=2i,|z|=2,z2=-4,A错误，

对于B,由Z1=^,z1=a+b\lz^=m—n\t

可得a=m,b=—n,

所以2Z=m^n\=a-b\=z[,B正确,

对于C,因为Zi=a+bi,z2=m-I-ni,

所以鱼=等(a+bi)(m-ni)_am+bn+(bm-an)i

22

z2m+n\(m+ni)(m-ni)m+n

22l(a2+b2)(m2+n2)

所以am+bnbm-an(am+bri)+(bm-an)

m2+n2,m2+n2.(m2+n2)2(m2+n2)2

2222

所以£1_\/a+b\zy\Va+d

2222

Z2Vm+n'\z2\y/m+n

所以£1=智，c正确，

Z2\z2\

对于D,由z+N=0,可得2%=0,所以％=0,

因为y可能为。，所以z不一定为纯虚数,D错误，

故选：BC.

24.（23-24高一下•云南昆明•阶段练习）复数z=袅,则z2—2=

【答案】1—i/—i+1

【分析】根据复数的除法运算求出复数Z,可得彳=-1-i,即可求出z2,即可求得答案.

【详解】由题意得z=K=熹焉=i（l+i）=—1+i,故2=-L—i,

可得2z=i2-2i+l=-2i,则z2-z=-2i+l+i=l-i,

故答案为：1-i

25.（23-24高一下•河南濮阳•阶段练习）已知复数为=4