3.4 线性方程组的解

第3.4节

线性方程组的解

二、一、消元法解线性方程组三、齐次线性方程组解的判定及求解二、二、非齐次线性方程组解的判定及求解线性代数3.4线性方程组的解该方程组可以写成以向量为未知元的形式其中设有

个未知数

个方程的非齐次线性方程组若方程组有解，则称它是相容的；若无解，则称它不相容.线性代数一、消元法解线性方程组

消元法的基本思路是通过方程组的

消元变形，将方程组化为容易求解的方程组.例3.9

求解线性方程组解3.4线性方程组的解线性代数阶梯形

该阶梯形方程组是有4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个未知数可以任意取值，称之为自由未知数.

由于方程组呈阶梯状，而每个有效方程第一个未知数前面的系数为1，所以可以把每个台阶上的第一个未知数作为非自由未知数，剩下的作为自由未知数.3.4线性方程组的解线性代数3.4线性方程组的解由最后一个方程开始回代，可以得到方程组的解其中

可以任意取值，令

（

为任意常数

），方程组的解可表示为线性代数分析发现：1．在消元过程中，始终把方程组看作一个整体来进行变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于0的数乘某个方程；（3）一个方程的

k倍加到另一个方程上．2．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．最后求得的解是原方程组的全部解.

3.在消元过程中，只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算（未知数只起了标记位置的作用）．即消元的过程相当于对方程组的增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵、回代的过程相当于化行阶梯形矩阵为行最简形矩阵.

这种思想在我国古代《九章算术》中就有体现.《九章算术》中“方程”部分，针对线性方程组提出了分离系数的表示方法，就体现了现代的矩阵思想.3.4线性方程组的解线性代数用初等变换法

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换：3.4线性方程组的解线性代数3.4线性方程组的解令,得方程组的解为取

为自由未知数，行最简形矩阵对应的方程组为不会有矛盾方程，但会有自由未知量，所以有无穷多解.此例发现：线性代数3.4线性方程组的解例3.10

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：即得线性代数3.4线性方程组的解则方程组的解为此例发现：不会有矛盾方程，也不会有自由未知量，所以有唯一解.线性代数3.4线性方程组的解例3.11

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：该行阶梯形矩阵对应的方程组中第3个方程“0=1”为矛盾方程，故原方程组无解.此例发现：会有矛盾方程，从而方程组无解.线性代数3.4线性方程组的解二、非齐次线性方程组解的判定及求解

利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系，可以方便地讨论线性方程组解的情况.定理4

元非齐次线性方程组

（1）无解的充分必要条件是（2）有唯一解的充分必要条件是（3）有无穷多解的充分必要条件是下面只解释充分性，必要性可采用反证，结合余下两条的充分性说明.

线性代数3.4线性方程组的解设的行最简形矩阵为的末列上有首非零元1有矛盾方程，从而无解有解有唯一解有解无穷多解的末列上无首非零元的末列上无首非零元有效方程个数=未知量个数有效方程个数<未知量个数线性代数3.4线性方程组的解推论

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是由定理4，可知解线性方程组

只需对增广矩阵

施行初等

行变

换化为行阶梯形矩阵，然后根据与的之间的关系,判定方程组是否有解；在有解时，继续对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，行最简形矩阵对应的方程组就是同解的线性方程组，直接写出同解的线性方程组的解，也即求出了原线性方程组的解.例3.12

求解线性方程组解对线性方程组的增广矩阵

作初等行变换：线性代数3.4线性方程组的解可见

，故方程组无解.例3.13

求解非齐次线性方程组解

对增广矩阵施行初等行变换线性代数3.4线性方程组的解因

，故方程组有无穷多解.与原方程组同解的方程组为线性代数3.4线性方程组的解取为自由未知量，令

便得方程组的通解为要自由先非自由即线性代数3.4线性方程组的解例3.14

设有非齐次线性方程组问取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解．解法1对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

线性代数3.4线性方程组的解(1)当且时，方程组有唯一解；(2)当时，(3)当时，方程组有无穷多个解,这时所以

故方程组无解；线性代数3.4线性方程组的解由此便得同解的线性方程组取

为自由未知量，令

，,得方程组的通解为解法2因系数矩阵A为方阵，故由克莱姆法则，知方程有唯一解的充分必要而条件是系数行列式.线性代数3.4线性方程组的解因此，当

且

时，方程组有唯一解.当

时

，可见，

故方程组无解.线性代数3.4线性方程组的解当

时，可见，

故方程组有无限多解，且通解为

对含参数的矩阵作初等行变换不方便，因此如果系数矩阵是阶数不高的方阵，可以考虑解法2.线性代数3.4线性方程组的解定理5矩阵方程

有解的充分必要条件是证

设

为

矩阵，

为

矩阵，则

为

矩阵.把

和

按列分块，记为则矩阵方程

等价于

个线性方程组先证充分性.把定理4推广到矩阵方程，有设

，由于

故

，于是由定理4知

个线性方程组

有解，故矩阵方程

有解.

线性代数3.4线性方程组的解再证必要性.设矩阵方程

有解，从而

个向量方程

都有解，设解为记

即有于是因此线性代数3.4线性方程组的解定理6设

，则证线性代数3.4线性方程组的解三、齐次线性方程组解的判定及求解该方程组可以写成以向量为未知元的形式其中设有

个未知数

个方程的齐次线性方程组线性代数3.4线性方程组的解齐次线性方程组的解只有两种情况：（1）有唯一解（即只有零解）；（2）有无穷多解（即有非零解）.

定理7

元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

而

只有零解的充分必要条件是

推论1若齐次线性方程组

中方程的个数小于未知量的个数，则它必有非零解.

推论2个方程

个未知量的齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是系数行列式

；而它只有零解的充分必要条件是系数行列式

定理8矩阵方程

只有零解的充分必要条件是线性代数3.4线性方程组的解例3.15

求解齐次线性方程组求解元齐次线性方程组行阶梯形矩阵，然后通过比较系数矩阵的秩与未知量的个数来判定该齐次线性方程组是否有非零解，若有非零解，继续对系数矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，从而求出线性方程组的通解.只