3.2 中职数学一轮复习（相等函数、分段函数、复合函数）含答案

3.2相等函数、分段函数、复合函数（知识点讲解）【考点梳理】1．相等函数两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形).2．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．3．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．考点一相等函数【例题】（1）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】对于A，∵，x，对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，的定义域时，的定义域是，∴不是同一函数；对于C，两函数的定义域，对应法则相同，∴是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，故选：C．（2）下列函数与是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定义域为R，A.，且定义域为R，故正确；B.，故错误；C.，故错误；D.，故错误；故选：A.（3）下列四组函数中，表示的是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A中，两函数定义域均为R；u＝|v|，故对应法则也相同，∴是同一函数；而B，C，D中两函数定义域均不同，∴不是同一函数.B中，y的定义域为R，s的定义域为[0，＋∞)；C中，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；的定义域为R；D中，且，即定义域，或，定义域为，故选：A.（4）下列四组函数中，两个函数相同的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】选项A：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故A错误；选项B：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故B错误；选项C：的定义域为，和定义域不同，不是同一函数，故C错误；选项D：的定义域为，和定义域相同，对应法则也一样，是同一函数，故D正确，故选：D.【变式】（1）下列函数中与函数是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选：B.（2）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误，故选：C.（3）下面各组函数中表示同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故选：B.（4）下列函数中与函数是同一个函数的是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】对于选项，与函数的对应法则不一样，则错；对于选项,的定义域为，与函数的定义域不一样，则错；对于选项,，则正确；对于选项,的定义域为，与函数的定义域不一样，则错，故选:.考点二分段函数【例题】（1）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，，故选：C.（2）已知函数，则．【答案】【解析】．故答案为：.（3）已知函数，若，则（

）A． B．2或 C．或2 D．或【答案】C【解析】当时，此时，即令，得，满足；当时，此时，即令，得，因为，所以，综上所述，或，故选：C.（4）已知函数，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【解析】由题意得当时，函数的一个周期为4，所以，故选：D．【变式】（1）已知函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，故选：D.（2）若，则.【答案】【解析】因为，所以，故答案为：.（3）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】由题意，得或，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：．（4）设函数，若，则（

）A．3 B．4 C．32 D．33【答案】D【解析】当时，，解得：，符合要求，当时，，故不可能等于5，综上：，故选：D.考点三复合函数【例题】（1）已知函数则（

）A． B．3 C．1 D．19【答案】B【解析】，故选：B.（2）已知函数，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C.（3）已知函数，则.【答案】1【解析】由题意可得，所以，故答案为：1.（4）已知，，则，_.【答案】；.【解析】由题意，函数，，则，，故答案为：；.【变式】（1）已知函数，则（

）A．3 B．2 C．－3 D．－2【答案】B【解析】∵，∴，因此，，故选：B.（2）已知函数，则（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】，，故选：C.（3）设函数，且，则（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【解析】因为，所以，故选：D．（4）已知是一次函数，，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由题意设，则，∴，解得或，∴或，故选：D.【方法总结】1.判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．2.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．3.2相同函数、分段函数、复合函数（章节练习）一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．，与，【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，所以A错误，对于B，两函数的定义域均为，而，则两函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，所以B错误，对于C，两函数的定义域均为，而，所以两函数是同一个函数，所以C正确，对于D，两函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，所以D错误，故选：C．2．已知函数则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选：C.3．设函数，则（

）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】，故选：B．4．下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【解析】定义域为，与定义域为R，故定义域不同，A错误；定义域为R，定义域为，故定义域不同，B错误；定义域为，定义域为，定义域不同，C错误；与定义域相同，对应法则一致，故为同一函数，D正确，故选：D.5．已知函数若，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意知，，又，所以，所以，解得，故选：C.6．已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】，故选：C.7．下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A．，B．，；C．，D．，．【答案】D【解析】对于A，函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于B，函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于C，函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于D，函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数，综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是D，故答案为：D.8．已知函数则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，则，所以，故选：B9．设函数，若（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，，故选：B.10．已知函数是一次函数，且恒成立，则（

）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】D【解析】因为函数是一次函数，且恒成立，令，则，所以，解得，所以，，故选：D.二、填空题11．下列各组函数是同一函数的是.①与

②与③与

④与【答案】④【解析】解：对于①，f（x）＝x﹣1（x∈R），与g（x）1＝x﹣1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于②，f（x）＝x（x∈R），与g（x）|x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数；对于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．综上，是同一函数的序号为④．故答案为：④．12．设函数​，则．【答案】【解析】由已知可得，则，故答案为：．13．若，则.【答案】5【解析】因函数，所以，故答案为：5．14．已知函数若，则实数. 【答案】2【解析】，所以，故答案为：2．15．下列各组函数中，与是同一函数的是（填序号）．（1）；（2）；

（3）．【答案】（3）【解析】对于（1），的定义域为，而的定义域为，二者不相同，所以不是同一函数；对于（2），的定义域为，而的定义域为，二者不相同，所以不是同一函数；对于（3），的定义域都为，而化简后为，二者相同，所以是同一函数，故填（3）．16．已知，则的值为.【答案】【解析】，故答案为：．17．已知函数，则.【答案】3【解析】，，即，．故答案为：3．18．设函数若，则.【答案】1【解析】由题，当时，无解，当时，，解得，成立，故答案为：1．三、解答题19．判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：（1），；

（2），，；（3），；

（4），.【答案】答案见解析.【解析】解：（1）函数的定义域为R，的定义域为，所以两者不是同一个函数.（2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数.（3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.（4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数．20．已知求的值．【答案】【解析】解：，∴，故答案为：．21．设函数，函数，求，.【答案】，【解析】解：，．22.已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).（1）求f(2)，g(2)的值；（2）求f(g