全等三角形的九大经典模型（浙教版）原卷版

专题L7全等三角形的九大经典模型【九大题型】

【浙教版】

►题型梳理

【题型1平移模型】............................................................................1

【题型2轴对称模型】..........................................................................3

【题型3旋转模型】............................................................................4

【题型4一线三等角模型】.....................................................................6

【题型5倍长中线模型1.............................................................................................................8

【题型6截长补短模型】.......................................................................10

【题型7手拉手模型】.........................................................................12

【题型8角平分线模型1............................................................................................................14

【题型9半角全等模型】.......................................................................15

►举一反三

【知识点1平移模型】

【模型解读】把AABC沿着某一条直线1平行移动，所得到4DEF与aABC称为平移型全等三角形，图①

,图②是常见的平移型全等三角线.

【常见模型】

【题型1平移模型】

【例1】（2023春•陕西咸阳•八年级统考期末）如图，将△力BC沿BC方向平移得到ADEF,使点B的对应点E

恰好落在边BC的中点上，点C的对应点尸在BC的延长线上，连接2D,AC.DE交于点0.下列结论一定正

确的是（）

D

o

A.Z.B=ZFB.AC1DEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【变式11】(2023・浙江•八年级假期作业)如图，AABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C

为AE的中点，AB=CD,BC=DE.

(1)求证：AABC2CDE；

(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△4次C',边夕厂与边C。的交点为尸，连接ER若斯将CDE分

为面积相等的两部分，且A8=4,则CF=_

【变式12](2023春・重庆•八年级校考期中)如图，将AABC沿射线BC方向平移得到ADCE,连接BD交AC

于点F.

(1)求证：XAFB=ACFD-,

(2)若48=9,BC=7,求BF的取值范围.

【变式13](2023春•八年级课时练习)已知AABC,AB=AC,^ABC=AACB,将△ABC沿BC方向平移得

到△£)£•£如图，连接8。、AF,则BDAF(填“或“=")，并证明.

【知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴

对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】（2023春•河北邯郸•八年级校考期末）如图，在长方形4BCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻

折至AMBE,若NAME=a,乙ABE=B,贝僚与0之间的数量关系为（）

A.a+3p=180°B.£一a=20°C.a+8=80°D.3夕-2a=90°

【变式21】（2023•全国•八年级专题练习）如图，将R3ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,

BC边上的点，且NEAF^NDAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【变式22］（2023春•山东青岛•八年级统考期中）如图，在RtzMBC中，ZC=90°,将44BC沿4B向下翻折

后，再绕点4按顺时针旋转a度（aVNABC）.得到RtZLME,其中斜边4E交BC于点F,直角边DE分别48、BC

于点G,H

（1）请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）.

（2）求证：AAFB=AAGE

【变式23】（2023春•山西临汾•八年级统考期末）阅读材料，并回答下列问题

如图1,以AB为轴，把4ABC翻折180°,可以变换到△ABD的位置；

如图2,把△ABC沿射线AC平移，可以变换到ADEF的位置.像这样，其中的一个三角形是另一个三角

形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换.班

里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论

(1)请你写出一种全等变换的方法(除翻折、平移外)，.

(2)如图2,前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF,若平移的距离为2,且AC=5,则DC=.

(3)如图3,圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A，

的位置，且得出一个结论：2NA，=N1+N2.请你对这个结论给出证明.

(4)如图4,奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A，的位

置，此时与/I、N2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明.

图1图2图3图4

【知识点3旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为

旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.

【常见模型】

【题型3旋转模型】

【例3】(2023春・全国•八年级期末)(1)问题引入：如图1,点E是正方形ABC。边C。上一点，连接

AF,将AAD尸绕点A顺时针旋转90。与AABG重合(。与B重合，尸与G重合，此时点G,B,C在一条直

线上)，/GAF的平分线交于点E,连接判断线段■与GE之间有怎样的数量关系，并说明理

由.

(2)知识迁移：如图2,在四边形ABC。中，ZADC+ZB=180°,AB=AD,E,尸分别是边8C,C£＞延长

线上的点，连接AE,AF,且试写出线段BE,EF,之间的数量关系，并说明理由.

(3)实践创新：如图3,在四边形ABC。中，ZABC=90°,AC平分NZM2,点E在42上，连接。E,CE,

且ND4B=/OCE=60。，若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的长.（用含a,b,c的式子表示）

【变式31］（2023春•八年级课时练习）如图，等边A4BC中，乙4。8=115。,zBOC=125。，则以线段

OA.OB,OC为边构成的三角形的各角的度数分别为

【变式32］（2023春•全国•八年级专题练习）已知，如图1,四边形48CD是正方形，E,尸分别在边BC、CD

上，且NE4F=45°.

图1图2

⑴在图1中，连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”，小亮将ZL4DF绕点4顺时针旋转90。后解答了这个

问题，请按小亮的思路写出证明过程；

⑵如图2,当NE4F绕点4旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

【变式33】（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，在锐角ZL4BC中，44=60。，点D,E分别是边4B/C上

一动点，连接2E交直线CD于点尸.

(1)如图1,^AB>AC,且BD=CE,乙BCD=LCBE,求NCFE的度数;

⑵如图2,若4B=4C,且BD=4E,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接MF,

点N是M尸的中点，连接GV.在点。，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你

的猜想.

【知识点4一线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDJ_DE,ABXAC,CEJ_DE,那么一定有/B=/CAE.

【题型4一线三等角模型】

【例4】（2023春・山东荷泽•八年级校联考阶段练习）（1）如图1,在AABC中，/BAC=90。，AB=AC,

直线机经过点A,直线机，CE_L直线5，垂足分别为点。、E.求证：AABDgdCAE；

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

=NAEC=NA4C=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△是否成立？如成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线加上的两动点（D,A,E三点互不重合），点、F

为N8AC平分线上的一点，且448尸和4ACP均为等边三角形，连接80,CE,若/BD4=NAEC=/BAC,

求证：△是等边三角形.

「匚1上

DAEmDAEmDAEm

图1图2图3

【变式41】（2023・浙江•八年级假期作业）如图,在AABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂

线交BC于点。，若/ADE=/B,CD=3BD,则CE等于（）

A

BDC

99

A.3B.2C.-D.-

【变式42]（2023春・上海•八年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习,

解决下列问题:

D

［模型呈现］如图1,/.BAD=90°,AB=AD,过点B作14C于点C,过点。作DE12C于点E.求证:

BC=AE.

［模型应用］如图2,AE_LAB且力E=AB,BC_LCD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线

所围成的图形的面积为

［深入探究］如图3,^BAD=ACAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC1AF于点孔DE与

直线2F交于点G.若BC=21,AF=12,则AADG的面积为.

【变式43］（2023春•八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，乙4c8=90。，AC=8C,4。1CE,

BE1CE,垂足分别为。，E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为

（2）探索证明：如图②，点B,C在NM4V的边AM、4N上，4B=4C,点E,F在NM4V内部的射线AD上,

且NBED=NCFD=NB4C.求证：^ABEAC4F.

（3）拓展应用：如图③，在A48C中，AB=AC,AB>BC.点。在边BC上，CD=2BD,点、E、F在线段4。

上，乙BED=MFD=^BAC.若44BC的面积为15,贝U44CF与ABDE的面积之和为.（直接填写

结果，不需要写解答过程）

【知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加

辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【例5】（2023春・甘肃庆阳•八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1,AABC^,AB=7,AC=5,

点。为BC的中点，求4。的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中

线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问

题的方法，他的做法是：如图2,延长4D到E,使=连接BE,构造ABED=ACAD,经过推理和

计算使问题得到解决.请回答:

（1）小明证明ABED三△C4D用到的判定定理是：_（用字母表示）；

（2）4。的取值范围是」

（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在AABC中，4D为BC边上的中线，且AD平分ABAC,求证：AB=AC.

【变式51】（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，4注吕。中，点。在4c上，AD=

3,AB+AC=10,点E是BD的中点，连接CE,N4CB=N4BC+2/BCE,贝心。=.

【变式52］（2023春•全国•八年级阶段练习）如图，AB=4E,4B14E,AD=AC,AD1AC,点M为BC的

中点，AM=3,DE=

E

D

BVC

【变式53】（2023•江苏•八年级假期作业）【观察发现】如图①，AABC中，AB=7,AC=5,点、D为BC

的中点，求A。的取值范围.

小明的解法如下：延长AD到点E,使连接CE.

BD=DC

在4ABD与AECDdp\^ADB=乙EDC

、AD=DE

：.AABD=AECD（SAS）

：.AB=.

又：在△AEC中EC-AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5,

：.<AE<.

又：AE=24。.

<AD<.

【探索应用】如图②,ABIICDAB=25,CD=8,点E为3C的中点，ZDFE=ZBAE,求DF的长为.（直

接写答案）

【应用拓展】如图③，ZBAC=60°,ZCDE^120°,AB^AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点，求证:

AP1.DP.

【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线

段:补短:指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词

句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法（往往需证2次全等）o

【模型图示】

（1）截长:在较长线段上截取一段等于某一短线段,再证剩下的那一段等于另一短线段。

例:如图,求证BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE

（2）补短:将短线段延长，证与长线段相等

【题型6截长补短模型】

【例6】（2023・浙江•八年级假期作业）如图①，△23。和48。。是等腰三角形，且BD=CD,

ABAC=80°,ZSDC=100°,以D为顶点作一个50。角，角的两边分别交边力B,4C于点E、F,连接EF.

（1）探究BE、EF、FC之间的关系，并说明理由；

（2）若点E、F分别在AB、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，贝UBE、EF、FC之间存在什么样的

关系？并说明理由.

【变式61］（2023•江苏•八年级假期作业）如图，AABC中，ZB=2ZA,的平分线C£）交A3于点

已知AC=16,BC=9,则BD的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【变式62］（2023春•八年级课时练习）在△力8c中，BE,CZ）为△力BC的角平分线，BE,CD交于点尸.

（1）求证：/.BFC=90°+|zX；

(2)已知NA=60°.

①如图1,若BD=4,BC=6.5,求CE的长;

②如图2,若BF=AC,求N4EB的大小.

【变式63】（2023春・全国•八年级专题练习）阅读下面材料：

【原题呈现】如图1,在AABC中，ZA=2ZB,CD平分NACB,A£）=2.2,AC=3.6,求BC的长.

【思考引导】因为。平分NAC3,所以可在8C边上取点E,使EC=AC,连接。E.这样很容易得到

△DEC当ADAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）.

【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；

（2）拓展提升：如图3,已知AABC中，AB^AC,ZA=20°,8。平分/ABC,BO=2.3,BC=2.求A。

的长.

A

“上,〃二c；

图1图2图3

【知识点7手拉手模型】

【模型解读】如图，AABC是等腰三角形、4ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=ao结论：ABAD^ACAEo

匡图o图。匡图③三

【模型分析】手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

【题型7手拉手模型】

【例7】(2023•江苏•八年级假期作业)如图，AABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三

角形△AB。、AACE,连接BE、CD交于点F,连接4F.

B

⑴求证：AABE^^ADC；

⑵求NEFC的度数；

(3)求证：AF平分NDFE.

【变式71】(2023春・上海•八年级专题练习)如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和AOEC直角顶点

重合在点C处，连接AE、8。，点A恰好在线段8。上.

(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；

(2)猜想AE与5D的位置关系，并说明理由.

【变式72】(2023•江苏•八年级假期作业)如图，若△力CB和△DCE均为等腰直角三角形，

乙4cB=NDCE=90。，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.

⑴求证：AACDmABCE；

(2)若CM=2,BE=3,求4E的长.

【变式73](2023春・全国•八年级专题练习)已知△ABC,分别以A3、AC为边作△A3。和△ACE,且AD

AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE,连接。C与BE,G、/分别是。C与BE的中点.

(1)如图1,若NDAB=60。,则/AEG=；

(2)如图2,若NZMB=90。，则/AFG=—；

(3)如图3,若乙DAB=a,试探究NAFG与a的数量关系，并给予证明.

【知识点8角平分线模型】

模型一：如图一，角平分线+对称型

利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形，

可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的种解题技巧。

【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等

模型二：如图二，角平分线+垂直两边型

如图二

【几何语言】：：OC为/AOB的角平分线,D为OC上一点DELOA,DFXOB

ACED丝△OFD(AAS),

；.DE=DF

模型三：如图三，角平分线+垂直平分线型

如图三

【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的三线合一,也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型四：如图四，角平分线+平行线型

如图四

【说明】有角平分线时,常过角平分线上一点作角的有边的平行线,构造等腰三角形，

为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【题型8角平分线模型】

【例8】（2023春・浙江•八年级期中）如图，AABC的外角/DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点,

PDJ_AB于D,PE_LAC于E.

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长.

【变式81】（2023春•八年级课时练习）如图，AABC的外角/AC。的平分线CP与内角/A8C平分线8P

交于点尸，若/BPC=36。，则NCAP=.

【变式82］（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，AABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,CO平分NACB,

BELCD,垂足月在C。的延长线上.求证：BE=：CD.

【变式83】（2023春•八年级课时练习）（1）如图1,射线。尸平分/MON,在射线OM,ON上分别截取

线段。4,OB,使。4=。2,在射线。尸上任取一点连接A。，BD.求证：AD=BD.

（2）如图2,在放ZkABC中，ZACB=90°,ZA=60°,C