考点15 空间几何体表面积体积（精练）第一阶段零基础or艺考生（解析版）

考点15空间几何体表面积体积（精练）1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解析】设米堆的底面半径为r尺，则eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺【解析】：由题意可得：这个四棱锥的体积立方尺，故选：．3.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A．16 B． C． D．【答案】C【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，。4.把边长为的正方形沿对角线折起，当直线和平面所成的角为时，三棱锥的体积为()A． B． C． D．【答案】C【解析】取AC的中点O，连接，作，，平面，平面平面又，平面，平面与平面所成角即为，则为等边三角形。5.（2021•咸阳二模）正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为A． B． C． D．【解析】正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，设它的外接球的半径为，球心为，底面的中心为．设．则，．解得：．可得球的表面积为．故选：．6.(2021·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)【答案】C【解析】V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50)，故选C.7．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A．64π B．48π C．32π D．16π【答案】C【分析】由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.【详解】由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长扇形面积为：故选：C8．（2021·湖南怀化市高三月考）已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.9．（2021·张家界市民族中学高三月考）棱长为的正四面体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：A10．（2021·广东惠州市·高三期末）正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积.故选：C.11．（2021·威海市教育教学研究中心高三期末）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈【答案】B【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.12．（2020·全国高三课时练习）把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为.故选：B13．（2021·浙江杭州市·高三期末）将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，圆锥底面半径，圆锥的高，圆锥的体积.故选：.14．（2021·天津和平区·耀华中学高三期末）棱长为的正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C15．（2021·山东菏泽市·菏泽一中高三月考）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A16．【2019·天津卷】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.17.（2019江苏9）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.【解析】因为长方体的体积是120，E为的中