四川省成都市郫都区某中学2023-2024学年高二年级上册入学检测数学试题（解析版）

2023-2024学年四川省成都市郸都区第四中学

高二年级上册入学检测数学试题

（考试总分：150分考试时长：120分钟）

一、单选题（本题共计8小题，总分40分）

1.设全集"={12'4,5},集合A/={1,4},N={2,5},则N=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】因为全集。={123,4,5},集合M={1,4},所以用M={2,3,5},

又N={2,5},所以NgM={2,3,5},

故选：A.

2.角。的终边过点尸（—1,2）,则sin1等于

A/5口2小小n2正

AA.D.-----rC.------U.-------

5555

【答案】B

【解析】

22

【详解】由三角函数的定义知，x=—1,y=2,r=Jx+y=\/5>.'.sina=-=.

丫r5

5（l+i3）

3------------』—=（）

（2+i）（2f

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

【详解】5（1+「=5（l—i）=一

（2+i）（2-i）5

故选：C.

4.已知向量a=(5,3),8=(1,—1),则cos(a,")=()

1口历「出C2亚

A.——D.--------GU.---------

171755

【答案】B

【解析】

【分析】应用平面向量余弦的运算公式即可得解.

【详解】cos（a,。）a-b_5-3_y/lj

~\a\\b\~j34-y/2~~n~'

故选：B

[J,C=log3,则。，6,c的大小关系为（）

5.设〃=Inb=|2

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数性质判断即可；

【详解】解：因为a=ln；<lnl=O,=1，即0<6<1,

又c=log23>log22=1,

所以c>6>a.

故选：B

6.在.ABC中，NB=6。，a=2,b=布，则。=（）

A.1B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦定理直接计算即可.

【详解】由余弦定理得。2=片+°2—2accos3得7=4+c?—2c，即c?—2c—3=0,

解得c=3或c=—1（舍去）.

故选：B

7.如图，在正三棱柱ABC-中，若AB=gBB\,则4月与8a所成角的大小为()

A.60°B.90°C.105°D,75°

【答案】B

【解析】

【分析】取向量84,60,54为空间向量的一组基底向量，表示出A场与BG，再借助空间向量运算即可

计算作答.

【详解】在正三棱柱ABC-A与G中，向量54,60,54不共面，g=BB「BA,

BC]=BC+BB1,

令|34|=4,贝113Al=|3。|=缶，而B笈LBA,BC±BB},

__________________________._________.____.____«2____

于是得AB/BG=(BB]-BA)•(BC+BBJ=BB]•BC+BB]-BA-BC-BA-BB}

=a2-yf2a-y/2acos60=0>

因此，AB}±BQ，

所以A区与BQ所成角的大小为90。.

故选：B

8.已知点S,A,5c均在半径为2的球面上，；ABC是边长为3的等边三角形，5A_L平面ABC,贝U

SA=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先用正弦定理求地面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及球的性质运算求解.

如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SNM-ABC,

设.ABC的外接圆圆心为。一半径为小

2r="J_2^/3

则一sinNAC§—，可得厂=石，

~2

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，链接OA,OOX,则04=2,OOl=|sA,

因为。42=0。，+0/2,即4=3+：&12,解得$4=2,

故选：B

二、多选题（本题共计4小题，总分20分）

9.下列等式成立的是（）

A.sin260-cos26°=cosl2°B.4sinl50cosl5°=l

A/3-tanl5°

C.sin60-cos6°=-^sin39°

1+V3tanl5°

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅

助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将退换为tan60。，逆用正切差角公式进行求解.

【详解】A选项，sin26°-cos26°=-cosl2o-A错误;

B选项，4sinl50cosl5°=2sin30°=1,B正确；

C选项，sin60-cos60=72sin（6°-45°）=夜sin（-39°）=-V2sin39°,C正确;

百—tanl5。tan60°-tanl5°

D选项,=tan（60o-15°）=tan45°=l,D正确.

1+V3tanl5°l+tan60°tanl5°

故选：BCD

10.设机，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若7〃J_a,n.La,则加〃〃

B.若mlln,mlla,则nila

C.若根ua,nuB,则加，〃是异面直线

D.若。〃/?,mua,nu/3,则加〃〃或加，”是异面直线

【答案】AD

【解析】

【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断B,C；利用面面平行的定义判断D作答.

【详解】对于A,因加J_a,n±a,由线面垂直的性质得力〃〃，A正确；

对于B,当时，存在过直线机平面/,有此时必有即满足相〃“，ml/a,

而〃ua,B不正确；

对于C,因a,夕是两个不同的平面，则存在平面5,有5ca=m»c/?=",即满足根ua,

nu/3,而直线加，w共面，C不正确；

对于D,因a//〃，则a,夕没有公共点，而根ua,nu/3,因此直线相，“没有公共点，即加〃〃或

m,〃是异面直线，D正确.

故选：AD

11.设函数〃x)=sin[2x+m],给出下列命题，不正确的是()

A.〃尤)的图象关于直线x=；对称

B.7(%)的图象关于点1对称

C.把/(%)的图象向左平移专个单位长度，得到一个偶函数的图象

D.V(x)|的最小正周期为且在0,巳上为增函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：判断/是否为0；对B：判断能否取得最值；对C：根据平移变换后可得解析

式为y=cos2x；对D：举出特例即可;

【详解】对于选项A：因为/[1]=sin7r=0,所以直线x不是/（%）的对称轴，故A不正确;

对于选项B：因为/万『singMl,所以点五,0不是了（%）的对称中心，所以B不正确；

对于选项C：把函数的图象向左平移E个单位长度，

12

（兀）兀（71|

得到函数丁二51112xd-----+—=sin2%+—=cos2x,

且函数y=cos2尤为偶函数，故C正确；

对于选项D：因为函数|/（%>的最小正周期为叁，

=sin—=1>—=f[^-\，故D不正确;

22（6）

故选：ABD.

12.（多选题）如图，在正方体ABC。-A/G。中，点P在线段BG上运动，给出下列判断正确的是

A.直线5Q_L平面AC，；

B.4P〃平面ACR；

C.异面直线4尸与A?所成角的范围是（0,方

D.三棱锥Dx-APC的体积不变

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,利用线面垂直的判定定理证明判断；对于B,利用线面平行和面面平行的判定定理证明

判断；对于c,分P与线段BG的8端和C1端以及线段的中点重合判断；对于D,由

-APC~^P-ACD｛，结合Z?G〃平面A2c判断.

【详解】对于A,如图所示：

连接BD，根据正方体的性质，平面A3CD,且ACu面A3CD,

又•••BOLAC,且AC,面3与。，AC±ByD,连接A。，根据正方体的性

质，：44±平面A.D.DA,且A。u面A.D.DA,：.A4LADX-又：ADX，，且

444。=4，AD］，面4片。，ADj±B.D,且ACIAR=A,.•.直线4。J.平面

ACD),故A正确

对于B,如图所示：

D________—^C

n\

连接A5，AG，在正方体中，：AC〃AG，且ACu平面AC2，AC仁平面AC。一六401〃平

面ACR,同理可证BG〃平面AC，，又：AG、3C］U平面3G，且BC1=G，；•平面

84。"/平面AC。］,又•.•A］Pu平面BAG，，AP//平面AC。，故B正确；

对于C,当尸与线段BC的8端重合时，异面直线AP与AD］所成角为•••.4BG为等边三角

7T

形，.•.NABG=3；当P与线段BG的C1端重合时，异面直线AP与A。所成角为N4G5，

TT

为等边三角形，.•./4£8=耳；.•.当P与线段BG的中点重合时，AP与AQ所成角取最大值，

•..NAPG为异面直线AP与A2所成角，又=4G，且尸为线段的中点，六

NAPG=],故4尸与A2所成角的范围是，故c错误;

对于D,VDi_APC=VP_ACDi,■：BCi//AD},且Bq仁平面ADtC,AD,u平面ADtC,：.BC,〃平面

ARC,.•.点尸到平面ACD]的距离不变，且△ACR的面积不变，所以三棱锥尸-AC。的体积不变，故

D正确；

故选：ABD.

三、填空题(本题共计4小题，总分20分)

13.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则三=

【答案】2-i

【解析】

【分析】先求出z=l+2i,再根据复数的除法运算求解即可.

【详解】因为复数z对应的点的坐标是(1,2),

所以z=l+2z"

Zl+2i*7

则丁二

1

故答案为：2—i

14.设a,b为单位向量，且|a+6|=1,贝!l|a-6|=.

【答案】也

【解析】

rr

【分析】整理已知可得：,+q=j(a+b『，再利用a,6

单位向量即可求得2〃1=—1，对。-匕变形

可得：—-2a-Z?+|z?|，问题得解.

【详解】因为a,6为单位向量，所以口=,卜1

解得：2a♦b=-1

所以卜一q=—人）-2a-/j+|z?|=』

故答案为：G

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

15.圆锥SO的底面半径。4=1,侧面的平面展开图的面积为2兀.则此圆锥的体积为.

【答案】正£##17r

33

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面展开图面积求出圆锥母线长，继而求得圆锥的高，即可求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥母线长为/,

由侧面的平面展开图的面积为2兀，可得Lx2兀xlx/=2n,:.l=2,

2

故圆锥的高为h=A/22-12=6，

故圆锥的体积为叵，

33

故答案为：叵

3

16.在ABC中，已知角A=g,D在上，AD平分N5AC,AD=YZ,5C=2，则Z>+c的值为

33

【答案】V6

【解析】

【分析】根据余弦定理得到4=82+02-反，根据面积公式得到6+0=亚儿，解得答案.

2

【详解】ABC中：a2=b2+c2-2bccosA，即4=〃+/一和，

C

/\

A---------------------'B

SABC=SABO+SACD，即LbcsinA='x正如in四+』x受csin巴

2236236

即b+c=^^Z?c

2

故4=（Z?+c）2-3bc=（Z?+c）2-+c）,解得b+c="（舍去负值）.

故答案为：、%.

四、解答题（本题共计6小题，总分70分）

sin—+x—2cos（兀+x）

17已知小）=

si「n（兀-x）+cos（一九）J

（1）化简“X）；

（2）若0＜夕＜兀,/（1）=6,求cos。.

3

【答案】（1）

tanx+1

（2）cose=—述

5

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和化弦为切化简函数；

（2）利用同角三角函数的平方关系列式计算即可.

【小问1详解】

.兀

sin—+x-2COS（TC+X）

（2cosx+2cos%_3cosx3

〃力=

sin（兀一%）+cos（-x）sinx+cosxsinx+cosxtanx+1

【小问2详解】

因为/（。）=—--—=6,所以2sine+cose=0,

sin。+cos。

sina-——

si•n2a+cos2a-\1,

则ae■!了,所以＜,解得〈5

coso=-2sina<02忖

cos。=------

5

所以cosa=———•

5

18.设A、B、C、。为平面内的四点，且4(-1,2),5(1,-1),C(0,l).

(1)若A8=cr>.求。点的坐标；

(2)设向量£=b=BC，若向量ka—b与a+2Z?垂直，求实数左的值.

【答案】(1)。点的坐标为(2,—2)；

(2)4的值为一工.

3

【解析】

【分析】(1)求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

(2)求出。力的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示求解作答.

【小问1详解】

设。(x,y),因为A2=CD，A(-l,2),B(l,-1),C(0,l),

于是(1,-1)-(-1,2)=(x,y)—(0,1),整理得(2,-3)=(羽y—1),

x=2fx=2

即有〈，,解得c，

y—1=—31y=-2

所以。点的坐标为(2,—2),

【小问2详解】

iLlUUiUllU

因为a=A8=(2,-3),6=8C=(0,1)-(1,-1)=(-1,2),

所以焉J=%(2,—3)—(一1,2)=(2%+1,—3左一2),a+2b=(2,-3)+2(-1,2)=(0,1),

2

因为向量左a—》与a+2b垂足，因此(2k+l)x0+(—3左一2)*1=0,解得左=—耳，

所以实数上的值为-2.

3

19.己知函数/(x)=sinxcosx+Gsin2x-q^,xeR-

(1)求函数/(九)的最小正周期；

(2)求函数/(%)在-,71的值域.

【答案】(1)最小正周期为兀

(2)-1,——

2

【解析】

【分析】(1)利用倍角公式及两角差的正弦函数公式化简可得解析式：/(x)=sin[2x-利用周期公

式即可得解；

7T7T771S71

(2)由xe-,71,得2x-,利用正弦函数的图象和性质即可求得其值域.

【小问1详解】

/x_sin2x/-l-cos2x百

/⑴—2।22

——sin2%-----cos2x

22

—sin2x—,

13j

2兀2兀

1=------=----=71.

CD2

【小问2详解】

L.1兀,1C兀27t57t

因为5,兀，所以，

所以sin[2x_§]e—1,-^-,

即函数/(%)在pJr上的值域为-l,y-.

20.如图，四棱锥P-A6CD的底面A3CD是边长为2的菱形,ZABC=60°,PA=6平面

ABCD,点M是棱PC的中点.

（1）证明:K4//平面

（2）求三棱锥M-P4T＞的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵I

【解析】

【分析】（1）由于底面是菱形，连结AC交于点。，则。为AC的中点，点M是棱PC的中点，则即

可证明线面平行.

（2）根据同底的棱锥转换和棱锥的体积公式即可求解.

【小问1详解】

连接AC交8。于点。，连接

分别为PCAC中点

:.MO//PA,

又平面BDM,MO<=面BDM

.•.1%〃平面5Q/W.

【小问2详解】

^M-PAD=5%-PAD=-ACD=33SACD-PA,

因为NA0C=NABC=6O，AD=DC,所以ACD为正三角形,

2

S△CD=x2=^3,PA=,

一^M-PAD=万,

21.记A5c的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,分别以〃，b,c为边长的三个正三角形的面积依次

为S],S2，S3，已知81—82+83=母,sinB=g.

（1）求ABC的面积；

（2）若sinAsinC=42，求瓦

3

【答案】（1）—

8

⑵I

【解析】

【分析】（1）先表示出51,邑,$3,再由豆-邑+邑=¥求得1+02—步=2,结合余弦定理及平方关系

求得双，再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得—J=—竺—，即可求解.

sin~2sinAsinC

【小问1详解】

由题意得岳='/.且2sqi/s302,贝Us+

*22424341234442

22_72

BPa2+c2-b2=2,由余弦定理得cosB=",整理得accosB=l,则cos3>0,又

lac

,「1

smB=—,

3

则cosB==20,ac=_1f贝（|sMe=J_〃csinB=^^；

713J3cosB428

【小问2详解】

3y/2

由正弦定理得：—^―=-^—=—^―-则•:C0=磊~=1则

smBsinAsinCsinBsinAsinCsinAsinC，24smB2

"T

73•n1

/?=—sinn=—.

22

22.如图，在三棱柱A5C-A与G中，AC，平面ABC,ZACB=90。.

（1）证明:平面ACGA，平面34GG

⑵设AB=A4，A41=2,3C=".

①求四棱锥A—5与c。的高:

②求A4与平面BCC4所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

(2)①1；②一.

4