押江苏苏州卷第23-27题（三角函数的应用、反比例函数、圆综合问题、一次函数的应用、二次函数的综合）解析版

押江苏苏州卷第23-27题

押题方向一：三角函数的应用

1命题探究I

中/考/命/题/预/测

3年江苏苏州真题考"fZ-点JH命题趋势

从近年江苏苏州中考来看，解直角三角形的实际应

2023年江苏苏州卷第23题三角函数的应用

用是相对很固定的考点，试题以解答题形式呈现，整体

难度中等；预计2024年江苏苏州卷还将继续重视对三

角函数解决实际问题，大家一定要理解基本的方法，利

用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。

1真题回顾I

中/考/真/题/在/线

1.（2023•江苏苏州・中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架

的侧面示意图，8瓦CD,GF为长度固定的支架，支架在A,O,G处与立柱AH连接（AH垂直于MN,垂足

为H）,在氏C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）,防是可以调节长度的伸缩臂（旋转点P处的

螺栓改变所的长度，使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABC。的形状，以此调节篮板的高度）.已

知AO=3C,0/=208cm,测得NG4E=60。时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂所，将NG4E由

60。调节为54。，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：

【答案】点C离地面的高度升高了，升高了16cm.

【分析】如图，延长BC与底面交于点K,过。作成人〃于。，则四边形DHKQ为矩形，可得QK=DH=208,

证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB〃CD,当NG4E=60。时，则NQCD=N0BA=NG4E=60。，此

时NCDQ=30°,CQ=288-208=80,CD=2CQ=160,当ZGAE=54°时,则NQCD=ZQBA=NGAE=54°,

CQ=C£>.cos540«160x0.6=96,从而可得答案.

【详解】解：如图，延长8C与底面交于点K,过。作功人ar于。，则四边形。"KQ为矩形，

四边形ABCD是平行四边形，

/.AB//CD,

当NG4E=6O。时，则NQCD=/Q3A=/G4£=60。，

此时NC£>Q=30°,CQ=288—208=80,

/.CO=2CQ=160,

当N(^1E=54。时，则NQCD=NQBA=NG4E=54。，

CQ=CZ).cos54O«160x0.6=96,

而96>80,96-80=16,

点C离地面的高度升高了，升高了16cm.

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题

意，作出合适的辅助线是解本题的关键.

-------------------1解题秘籍।------------

临/考/抢/分/宝/典

解直角三角形实际应用的一般步骤：

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。

-------------------1押题预测।------------

中/考/预/测/押/题

1.（2024•江苏苏州.一模）如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知

识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45。，再从C点出发沿斜坡走3亚米到

达斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30。，若斜坡CF的坡比为，=1:3（点E、G3在同一水平

线上）.

（1）求从点C到点D的过程中上升的高度；

（2）求大树A3的高度（结果保留根号）.

【答案】（1）从点C到点。的过程中上升的高度为3米

（2）大树AB的高度为（9+6-）米

【分析】（1）过点。作OGLEC,如图所示，由坡度比，设DG=x,GC=3x,根据勾股定理列方程求

解即可得到答案；

（2）过点。作如图所示，在Rt^ABC和Rt中，由三角函数定义列方程求得相关线段关

系，再由数形结合，根据GC=GB-3C=O〃-3C代值求解即可得到答案.

【详解】（1）解：过点。作。GLEC,如图所示：

斜坡CF的坡比为i=l:3（点E、C、3在同一水平线上），

设DG=x,GC=3x,

从C点出发沿斜坡走35米到达斜坡上D点,

CD=3屈,

在RtZ\C£>G中，CD=^DG2+GC2=>解得x=3,

从点C到点。的过程中上升的高度为3米；

（2）解：过点。作DHLAB,如图所示：

二•四边形DGBH是矩形，则DH=GB,DG=BH,

AR

在中，ZABC=90°,ZACB=45°,贝！Jtan/ACB=tan45°=——，解得3c=AB；

BC

在Rt中，ZAHD=9Q°,ZAZW=30°,贝ljtan/ADH=tan30°=上，解得=6村=石（钻一8〃）；

DH

由（1）知。G=x,GC=3x,x=3,则OG=3,GC=9,

GC=GB-BC=DH-BC,

GC=6（AB-DG）-AB=（也7AB-gDG,即9=（舁1）4鹏折解得48=9+6折

大树A2的高度为（9+6指）米.

【点睛】本题考查测高问题，涉及坡比定义、勾股定理、矩形判定与性质、正切函数值定义、俯角仰角定

义、解直角三角形及二次根式运算等知识，熟记相关定义，数形结合，掌握解直角三角形的实际运用是解

决问题的关键.

2.（2024.江苏苏州.模拟预测）如图1,图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获

得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆A3的长度都相等，即DE=3C=AB=50cm,点8、尸在线段AC

上,

图1图2

⑴若EC=36cm时，B,。相距48cm,试判定3。与DE的位置关系，并说明理由;

⑵当/DC尸=45。，CF=1ACB^,求CO的长.

【答案】（1）3D_LDE,理由见解析

（2）（1072+1077）cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用:

（1）连接30,根据题意可得CD=14cm,然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解

答;

（2）过点尸作切LCD,垂足为H,根据题意可得CF=20cm,然后在RtACZ田中，利用锐角三角函数

的定义求出C”,可的长，再在RtZxnm中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：BDYDE,

理由：连接3£),

CD=DE-EC=14cm,

BC—50cm,BD=48cm,

CD1+BD1=142+482=2500,BC2=502=2500,

...CD2+BD2=BC2,

...△BCD是直角三角形，

，NBDC=90°,

BD±DE；

(2)解：过点/作加LCD,垂足为X,

AC=AB+BC=100cm,

CF=1AC,

CF=1xl00=20(cm),

在RtACFH中，/DCF=45。,

，FH=CF-sin45°=20x^=10V2(cm),CH=CF-cos45°=20x^=10^(cm),

•/DF=30cm,

DH=^DF2-FH2=际-(10码2=10A/7(cm),

/.CO=CH+OH=(100+10⑺cm,

CO的长为（100+10小卜111.

3.（23-24九年级上.辽宁盘锦•期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2

是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，是主臂，尸。是伸展臂，EM//QN）.己知基

座高度为1m,主臂MP长为5m,测得主臂伸展角NPME=37。.

3344

（参考数据：sin37°«—,tan37°«—,sin53°®,tan53°«—）.

5453

主臂

基座

⑴求点p到地面的高度；

（2）当挖掘机挖到地面上的点时，ZMPQ=113°,求QN.

【答案】（1）点尸到地面的高度为4m；

（2）QN=4g+4（m）.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

（1）过点尸作PH_LQV,延长ME交PH于F,易知四边形脑VHF为矩形，贝l]FH=A»V=lm,

PF=PMsmZPME,进而可求PH=PF+阳得答案；

（2）由（1）可知，四边形MNHF为矩形，则m==NPME，求得NQPH=60。进而可得QH=4V3m,

据此求解可得答案.

【详解】（1）解:过点尸作尸于延长ME交PH于F,

则四边形M7VHF为矩形，

/.FH=MN=\m,ZPFM=90°,

3

则PF=PM-sinZPME=PM-sin37°=5x-=3(m),

点尸到地面的高度：PH=PF+FH=4m,

即点尸到地面的高度为4m；

(2)解：由(1)可知，四边形MM7F为矩形,

则例=-cosZPME=PM-cos37°=4m,

'：ZPME=3T,

：.ZMPF=53°,

：.Z0PH=113°-53°=60°,

PH=4m,

：.tanZQPH=^-=y/3,

PH

：.QH=4百m,

QN=QH+HN=4y/3+4（m）.

4.（2024•江苏苏州•一模）如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形.塔是聚众人

之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名.某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔

塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：

①如图2,测量塔基正八边型的边长AC；②在地面选取测量点B和塔基正八边形的顶A、C,调整

的度数，使得测量点8、八边形的顶点A以及正八边形的中心。在同一条直线上（O,AB三点在同一条直

线上）；③测量A3之间的距离；④如图3,测量塔的顶点O与地面测量点8所在直线3。与地面。8形成的

夹角ZDBO.

数据收集：通过实地测量，正八边形的边长AC=4.60m,地面上A3两点的距离为20m,ZOBD=5\.

问题解决:

图1图2图3

（1）如图2,要使得0,48三点在同一条直线上，应调整—C钻的角度，使得NCAB的度变为」

（2）求塔0。的高度.（结果保留一位小数.参考数据：sin67.5«0.92,cos67.5«0.38,

tan67.5®2.41,sin51®0.78,cosll®0.63,tan51®1.23)

【答案】⑴NC4B=112.5。；

⑵塔高约为32.0m.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和领补角的定义即可求解;

（2）过点。作OE1AC,求出AE=：AC=23,再利用三角函数即可求解;

本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和领补角的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）解：•••塔基是正八边形,

•.•"A。,

'：OA=OC,

・•・ZOCA=ZOAC=67.5°,

：.ZCAB=180。—ZOAC=180。—67.5°=112.5°；

(2)如图过点。作OE1AC,

在Rt_OE4中，cos67.5=——,

OA

：.04=6.05,

・•・05=6.05+20=26.05(米)

如图，在Rt一OE4中，tan51=-----

OB

：.OD^32.0（米），

答：塔高约为32.0m.

押题方向二：反比例函数的综合

I命题探究I

中/考/命/题/预/测

3年江苏苏州卷真题考点命题趋势

从近年江苏苏州中考来看，反比例函数与一

2023年江苏苏州卷第24题反比例函数与一次函数

次函数在近三年的必考题，重点考查反比例函

2022年江苏苏州卷第23题反比例函数与一次函数数与一次函数求表达式与交点问题，考查难度

一般;预计2024年江苏苏州卷还将继续重视对

反比例函数与一次函数的考查。

1真题顾i

中/考/真/题/在/线

1.（2023•江苏苏州•中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数>=人。>0）的图象交于点

X

A（4,〃）.将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点昆D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的

横坐标，连接223。的中点C在反比例函数y=£（x>0）的图象上.

X

⑴求〃水的值；

（2）当m为何值时，ABOD的值最大?最大值是多少?

【答案】⑴"=8,左=32

⑵当m=6时，AB-OD取得最大值，最大值为36

【分析】（1）把点A（4,〃）代入，=2x,得出〃=8,把点4（4,8）代入户口%>0）,即可求得上=32；

（2）过点C作x轴的垂线，分别交轴于点及产，证明△£1（加丝△BCD,得出2E=O£CE=CV,进

而可得C（8,4）,根据平移的性质得出8（机+4,8）,D（12-^,0）,进而表示出ABOD,根据二次函数的性质

即可求解.

【详解】（1）解：把点A（4,〃）代入y=2x,

几=2x4,

解得：〃=8；

把点4(4,8)代入y=jx>0),解得左=32；

(2)...点8横坐标大于点。的横坐标，

...点8在点。的右侧，

如图所示，过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点瓦尸,

NB=NCDF,

在,ECB和FCD中，

"/BCE=ZDCF

<BC=CD,

ZB=ZCDF

.ECB^,FCD(ASA),

：.BE=DF,CE=CF,

EF=yA=S,

：.CE=CF=4,

：.C(8,4),

V将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,

B(jn+4,8),

BE=DF=m—4,

£)(12-m,0),

OD=12—m,

ASOD=m(12—m)=—(m—6)2+36,

・・・当利=6时，取得最大值，最大值为36.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

2.(2022.江苏苏州・中考真题)如图，一次函数丁=履+2(女工0)的图像与反比例函数y=?(加与0,x>0)的

图像交于点4（2/）,与y轴交于点'与x轴交于点C（Y,O）.

⑴求k与m的值；

7

⑵尸（a,0）为次轴上的一动点，当的面积为,时，求〃的值.

【答案】（1）人的值为：，机的值为6

（2）a=3或々=—11

【分析】（1）把C（T,O）代入＞=依+2,先求解左的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可

得答案；

（2）先求解3（0,2）.由尸（。,0）为x轴上的一动点，可得PC=|a+4|.由=S%?+工.，建立方程求

解即可.

【详解】⑴解:把c（yo）代入丫="+2,

得A=j.

y——x+2.

2

把A（2,w）代入y=gx+2,

得〃=3.

・•・A（2,3）.

把A（2,3）代入y=：,

得利=6.

；•女的值为m的值为6.

（2）当％=0时,y=2.

・・・5（0,2）.

,/P（4,0）为无轴上的一动点，

PC=\a+4\.

SACBP=3PC,OB=-X|<7+4|X2=|<2+4|,

ii3

sPCXG+4X3=+4

^cAP=^-yA=2II2^1-

・・q_c।c

•°ACAP-o^ABP丁°ACBP，

37

—|tz+4|=—+|«+4|.

・•a=3a——11.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形

结合的思想，建立方程都是解本题的关键

---------1解题秘籍I---------

临/考/抢/分/宝/典

反比例函数与相似（位似）、全等问题，一般字母未对齐，故存在分类讨论的情形，纵然这类题型，放在

以函数为背景的题型中，与反比例函数结合，相似三角形分类讨论的解题技巧，仍没有发生变化，故掌握

了解题方法或解题技巧，受益的不只是一道题，而是一类型题的解决。

反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）的综合题解题步骤：一般先设出几何图形中的未知数，然后结

合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写

出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待

定字母的值。特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平

行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。

---------1押题预测।------------

中/考/预/测/押/题

1.（2024.江苏苏州.一模）如图，一次函数y=g尤-1的图像与y轴相交于8点，与反比例函数

y仕W0,尤>0）图像相交于点A（〃z,2）.

⑴求反比例函数的表达式；

(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点。，连接设点C的横坐标为a,

求当。为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？

【答案】⑴―12

x

25

(2)当。=1时，最大值ZBCO=W

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质.

(1)根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；

(2)根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可.

【详解】(1)解：：点4(帆2)在一次函数y=g尤-1的图象上，

..—m—l=2,

2

解得加=6,

・・・A(6,2),

・・・点A(6,2)在反比例函数图像上，

・"=6x2=12,

12

・••反比例函数解析式为：y=一；

X

(2)解：・・•点。在一次函数y=1的图像上，且点。的横坐标为a,

・,•点。的纵坐标为1〃-1,

2

」/+6

42

•••&BCO有最大值，当。=1时，最大值以〃8=彳.

4k

2.（2024•江苏苏州•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数y=；尤与反比例函数y=—（%>0）

3x

的图象相交于A（帆4）,B两点.

⑴求m的值和反比例函数的解析式；

（2）若点C为坐标轴上一点，且满足AC13C,求点C的坐标.

12

【答案】（1）4,y=—

X

⑵（5,。）

【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是

解题的关键.

（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可.

（2）根据反比例函数的对称性可求出A3的长，再由AC13C并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半，可求得OC的长，进而解决问题.

4

【详解】（1）解：•点43,加）在一次函数y=y的图象上，

4

/.m=—x3=4.

3

•・•点A的坐标为（3,4）.

反比例函数y=&的图象经过点43,4）,

X

.,.左=3x4=12.

12

：・反比例函数的解析式为y=一.

（2）过A点作y轴的垂线，垂足为点a,

，43,4）,

贝UAH=3,OH=4.

由勾股定理，得OA=JW+W=5.

由图象的对称性，可知03=04=5.

又QACLBC,

OC=OA=5.

.•・C点的坐标为（5,0）.

3.（2024.江苏苏州.模拟预测）如图，直线y=2x+4与y轴交于点A,与x轴交于点E,点以。,6）在直线

k

上，YABCD的顶点。在x轴上，反比例函数y=1@>0）的图像经过点2,C.

（1）求。、上的值和点C的坐标；

（2）求YABCD的面积.

【答案】（1）。=1,k=6,C（3,2）

⑵8

【分析】（1）把点风6）代入直线y=2元+4即可求出°,再把点B坐标代入y=&（x>0）即可求出七然后

X

求出点A的坐标，根据点。在x轴上，得到点A与点。点纵坐标相差4个单位长度，根据平行四边形的性

质，则点8与点C纵坐标相差4个单位长度，得到点C的纵坐标为2,再代入反比例函数的解析式即可求

出横坐标，可得点C坐标；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出点加、4、£的坐标，根据平移的性质求出点。的

坐标，再根据SABCD=SBEM-SAED—SCDM求解即可.

【详解】（1）解：：8（。,6）在直线y=2尤+4上,

•二2a+4=6,解得a=l；

,点3(1,6)在丁=1(%>0)上，

左=1*6=6；

;直线。=2x+4与y轴交于点4,

当尤=0时，y=4,

.•.A(0,4),

:点。在x轴上，四边形ABCD是平行四边形，

•••点D的纵坐标为0,即点A与点。点纵坐标相差4-0=4个单位长度,

点8与点C纵坐标相差4个单位长度，

•••点C的纵坐标为6-4=2,

点C在y=g上，

X

=3,

2

.-.C(3,2)；

(2)解：设直线BC的解析式为了=心+0，

把3(1,6)和C(3,2)代入，得匕〃j=2'

[n=-2

解得Q，

•••直线BC的解析式为y=-2x+8,

设3C交x轴于点

当y=。时，-2x+8=0,解得x=4,

OM=4,

对于直线y=2x+4,当x=o时，y=4,

/.A（0,4）,

当y=。时，x=-2,

.••£（-2,0）,

VB（1,6）,C（3,2）,

•••点B到C的平移方式是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，

点A到D的平移方式也是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位,

VA（0,4）,

0（2,0）,

•V—V-V—V

,•0ABCD~°BEMOAED°CDM

=­x6x6——x4x4——x2x2

222

=18-8-2

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、平移的性质、函数图象上点的坐标特点以及利用割补法

求图形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

4.（2023•江苏苏州•一模）如图，在Rt^ABC中，AC=8,BC=4,ACLx轴，垂足为C,A3边与V轴

交于点。，反比例函数）=-（工＞。）的图像经过点A.

X

⑴若点。是AB边的中点，求直线和反比例函数的表达式.

⑵将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点E,交x轴于点尸，若点E的纵坐标为2,求上

的值.

【答案】（1）直线A3的解析式为y=2x+4；反比例函数解析式为＞=3（x＞0）

x

（2）8

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出DO=4,3O=2,OC=3C-8O=2,然后确定各个点的坐

标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式；

（2）设5（切,0）,则C（〃?+4,0）,A（/n+4,8）,根据翻折确定网机+8,0）,然后分别确定直线A户的解析式为：

y=-2x+2m+16,反比例函数的表达式为：y="匕必。＞0）,确定相应的函数值为2时自变量的值，令

X

其相等求解即可.

【详解】（1）解：是A2边的中点,

・,.DB=DA=-AB

2f

,/ACYx,

：.DO//AC,

：.DOBsACB,

.DOBODBDOBO1

.,---==艮nJn---==—,

ACBCAB842

.・.DO=4,BO=2QC=BC—BO=2,

：.D（0,4）,B（-2,0）,C（2,0）,A（2,8）,

设直线A3的解析式为＞=cx+d,将点A、B代入得:

[8=2c+d

[o=-2c+d'

解得：

[d=4

•••直线A3的解析式为y=2x+4；

将点A代入反比例函数得8=g,

解得：左=16,

反比例函数解析式为>=3(X>0)；

X

(2)设则0),则。(帆+4,0),A+4,8),

*/AB边沿AC边所在直线翻折得AF,

・・・FC=BC=4,

F(m+8,0),

设直线AF的解析式为y=ex+f,

)

将点4/代入得,[18o=(m/+4"e+/U

解得：[厂2:16，

直线的解析式为：,=-2尤+2〃?+16,

令y=—2x+2m+16=2,

解得：x=m+7,

k

将点A代入反比例函数得：8=—,

m+4

解得：k=8m+32,

・・・反比例函数的表达式为：y=----------(%>0),

X

人8m+32八他,口_

令丁=------=2,斛得：x=4m+16,

・・,直线A/与反比例函数交于点区且点E的纵坐标为2,

%=机+7=4根+16,

解得：机=—3,

k=8m+32=8.

【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握

运用这些基础知识点是解题关键.

押题方向三：圆的综合问题

I命题探究I

中/考/命/题/预/测

3年江苏苏州卷真题考点命题趋势

从近年江苏苏州中考来看，圆与三角形相似综合

2023年江苏苏州卷第25题圆与三角形相似综合

是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024

2022年江苏苏州卷第24题圆与三角形相似综合年江苏苏州卷还将继续考查圆与三角形相似综合，

为避免丢分，学生应扎实掌握。

真题回顾\

中/考/真/题/在/线

1.(2023•江苏苏州・中考真题)如图,ABC是，：。的内接三角形，AB是。的直径，AC=&BC=2下,

点尸在A3上，连接CF并延长，交。于点O,连接8D,作3ELCD,垂足为E.

E

D

(1)求证：ADBEs^ABC；

(2)若”=2,求EO的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵苧

【分析】（1）分别证明NACB=90o=ZBED,ZCAB=ZCDB,从而可得结论；

（2）求解AB=JAC2+3C2=5,tanZABC=—=-,nJ^BF=3,证明tanNA8C=tanZD8E=^=L,

BC2BE2

ACAFCF

设OE=x,则3E=2x,6x,证明ACF^DBF,——=——=—，可得D尸=2x,EF=x=DE,

BDDFBF

BD=BF=3,从而可得答案.

【详解】（1）证明：是，。的直径，BELCD,

：.ZACB=90°=ZBED,

•/ZCAB=ZCDB,

：.AOBE^AABC.

（2）VAC=y/5,BC=245,ZACB=90°,

_________AC]

AB=>JAC2+BC2=5>tanZABC=—=-,

z

•・•AF=2,

:.BF=3,

ADBE^Z\ABCf

・•・ZABC=ZDBE,

r）F1

tanZABC=tanZDBE=—=-,

BE2

设DE=x,则BE=2x,BD=y/5x,

VZAFC=ZBFDf/CAB=NCDB,

：.ACFSQBF,

,ACAFCF

••茄一而一而‘

—――，则DF=2x,

氐DF

EF=x=DE,

・・・BD=BF=3,

DE*

5

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基

本性质与重要定理是解本题的关键.

2.（2022.江苏苏州・中考真题）如图，43是。的直径，AC是弦，。是的中点，CD与AB交于点E.F

是延长线上的一点，且CF=EF.

⑴求证：CF为。的切线；

（2）连接BD,取8。的中点G,连接AG.若Cb=4,BF=2,求AG的长.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）方法一：如图1,连接OC,OD.由NOCD=NODC,FC=FE,可得NOED=NFCE,由A3

是：。的直径，。是42的中点，ZDOE=90°,进而可得NOCF=90。，即可证明CP为《。的切线；

方法二：如图2,连接OC,BC.设/C4B=无。.同方法一证明NOCF=90。，即可证明C尸为（。的切线;

（2）方法一：如图3,过G作GaJ_AB,垂足为H.设。的半径为r,则OF=r+2.在RfAOCP中，

勾股定理求得r=3,证明G"〃DO,得出一BHGsBOD,根据丝=变，求得BH,GH,进而求得AH,

BOBD

根据勾股定理即可求得AG；

方法二：如图4,连接AD由方法一，得r=3.AB=6,。是AB的中点，可得AO=AD=3后，根据勾

股定理即可求得AG.

【详解】（1）（1）方法一：如图1,连接OC,OD.

■:OC=OD,

:.ZOCD=ZODC.

9：FC=FE,

：.ZFCE=ZFEC.

•:ZOED=ZFEC,

：.ZOED=ZFCE.

TAB是。的直径，。是A3的中点，

：.ZDOE=90°.

NOED+NODC=90。.

：.NFCE+ZOCD=90°,即ZOCF=90°.

OC±CF.

尸为：o的切线.

D

图1

方法二：如图2,连接。C,BC.设NC4B=x。.

是：。的直径，。是A8的中点，

:.ZACD=ZDCB=45°.

：.ZCEF=ZCAB+ZACD=（45+x）。.

FC=FE,

・・・ZFCE=ZFEC=（45+x）。.

：.ZBCF=x°.

'：OA=OCf

：.ZACO=ZOAC=x0.

：.ZBCF=ZACO.

TAB是。的直径，

・•・ZACB=90°.

：.ZOCB^ZACO=90°.

：.ZOCB+ZBCF=90°,即ZOCF=90°.

・・・OC±CF.

:・CF为。的切线.

(2)解：方法一：如图3,过G作G7/LAB,垂足为H.

设。。的半径为r，则O尸=r+2.

在RQOb中，42+r2=(r+2)2,

解之得r=3.

•・•GH1AB,

/GHB=90。.

•：NDOE=90。,

・•・/GHB=/DOE.

：.GH//DO.

BHG^BOD

.BHBG

**BO-BD*

・・・G为中点，

・・・BG=-BD.

2

1313

：.BH=-BO=-GH=—OD=—.

22f22

39

AH=AB—BH=6——=-.

22

AG="+AH°=^|J+||：=打.

A

D

图3

方法二：如图4,连接AD由方法一，得r=3.

：48是（。的直径，

ZADB=90°.

AB=6,。是A2的中点，

AD=BD=3叵.

：G为8。中点，

/.DG=、BD=>近.

22

,AG=4AD?+DG?=J（302+g3）=|^0.

c

D

图4

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.

-------------------1解题秘籍।------------

临/考/抢/分/宝/典

1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；

2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；

3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的

圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；

4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。

-------------------1押题预测।------------

中/考/预/测/押/题

1.（2024•江苏苏州•一模）如图，A3是。的直径，BD切。于3,弦AC〃OD.

⑴求证：DC是。的切线；

⑵设四边形。4CD的面积为百，的面积为邑，若tan/A==,求白的值.

2

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）接OC,利用平行线的性质得出=ZACO=ZCOD,证明4coBOD（SAS）

即可；

(2)过点。作。石1AC,利用三角函数和面积公式即可求解；

本题考查圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)证明：连接OC,

•・・AC//OD,

：.ZOAC=ZDOB,ZACO=ZCODf

;AO=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：./COD=/BOD,

在△DOC与DOB中

OC=OB

<ZCOD=/BOD

OD=OD

；・COD会BOD(SAS),

・・・ZOCD=ZOBD=90°,

OC是)o半径，

・•・QC是「。的切线；

(2)如图所示，过点。作OE1AC,

CFor)o

VtanZA=tanZZ)OB=——=——二—,

AEOB2

2

・••设jBD=3a,OB=OA—2a,OD-^/13d!,S2=^'x2ax3a=3a,

AE=OAxcosNA—2ax—.—=-.—OE=OA.xsinNA=2〃x—.—=—.—

V13V13V13V13

S|=g（AC+OE»）xOE=；1备x2+而ajx第=甯^,

63a2

.♦•S—匕=21.

S23a213

2.（2024.江苏苏州.一模）如图，在.ABC中，点。为BC边上的一个动点，过点C作CF〃AB,交,：。于

点F.连接CE、EF,AC是，。的切线

⑴求证：ZBAC=/CEF；

⑵若AB=1O,AC=6,CE=EF,求直径CO的长

【答案】（1）详见解析

⑵CD=3

【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线

的性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的

关键.

（1）由平行线的性质结合已知得出4=〃£户，再结合圆周角定理即可得证；

（2）连接/。，并延长和A3相交于G,证明47年.ACD（AAS）得出DG=CD,AC=AG=6,再结合勾

股定理计算即可得出答案.

【详解】（1）证明：：CF//AB,

：.NB=NFCB,

:NFCB=ZDEF,

/.ZB=ZDEF,

是，。的切线

，ZBAC+ZB=90°,

：CD是圆。的直径，

ZCED=90°,

：.ZDEF+ZCEF=90°,

：.NBAC=NCEF；

(2)解：连接FD,并延长和A3相交于G,

CE=EF,

：.NEFC=NECF,

・・•四边形CE»尸为圆内接四边形，

：.ZECF^ZFDE=180°

u：ZFDE^-ZADG=18O°

：.ZADG=ZECF,

又「NCDE=/CFE,

：.ZADG=NCDE,

・；CD为。的直径，

・•・ZDFC=90°,

FC//AB,

：.ZFGA=90°,

・・,AC是。的切线

:.ZFGA=ZACDf

*.*AD=AD,

：.AGD^ACD(AAS),

:.DG=CD,AC=AG=6,

VZACB=90°,AB=10,

・•・BC7AB2-AC2=8,

在Rt△加G中，设CD=x,贝ij5Z)=5C—CD=8—x,BG=AB-AG=10-6=4,

,:BG2+DG2=BD2,

・・・42+^2=(8-X)2,

・,•尤=3,即CD=3.

3.（2024.江苏苏州.模拟预测）如图，四边形ABC。内接于O,AC为。的直径，为/ADC的平分

线.

a

R

(1)试判断ABC的形状，并给出证明.

⑵若AB=0，AD=1.

①求线段。C的长.②求个的值.

AE

【答案】(1)一ABC是等腰直角三角形，证明见详解

⑵①5②显

2

【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角可得NABC=90。，由乙4。3=/。。3,可得=可证得结

论；

(2)①AC为।。的直径，可得/ADC=90。，利用勾股定理即可求得答案；

②过点后作所上也于点/，由—DEF是等腰直角三角形，可得DE3EF,再根据三角函数定义可得

ZCAD=60°,可得AE=^EF,即可求得答案.

3

【详解】(1)解:一ABC是等腰直角三角形，理由如下：

AC为O的直径，

.-.ZABC=90°,

•/3D为/ADC的平分线.

:.ZADB=ZCDB,

AB=BC,

AB-BC,

：.ABC是等腰直角三角形.

(2)®AB=y/2,AD=l,

BC=A/2,

AC=y/2AB=2,