专项拓展：与直线有关的距离最值（解题技巧+6考点+过关检测）解析版-2025新高二数学暑假提升讲义

专题拓展：与直线有关的距离最值

一、常用距离公式

1、点到点的距离公式：平面内两点片（玉,乂），尺（%,%）间的距离公式为：由己|=,再―/y+（乃—力丫•

2、点到直线的距离公式：点）到直线/:+By+C=0的距离d=.

2

"+jg

3、直线到直线的距离公式：两条平行直线4：/x+为+G=0,l2-.Ax+By+C2=0（C^C2）,它们之间的距

二、点关于直线的对称

1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线.

2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用"垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标,

一般地：设点（%,%）关于直线4r+3y+C=0的对称点（x,y）,

（2）当直线斜率不存在时：点（%,%）关于X=加的对称点为（2m-x0,%）

三、线段和与差的最值问题解题思路

1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短;

2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.

6模块三核心考点举一•反三------------------------------

考点一：两点间的距离最值

［、］例1.（2023高二上•全国•专题练习）若动点P的坐标为,xeR,则动点P到原点的最小

值是.

【答案】旦占历

22

【解析】由两点间的距离公式得尸到原点的距离为：

“+（l-x）2=^2x2-2x+l=卜［_J+g

故答案为：旦

【变式1-1］（23-24高二上•山东德州•月考）若三条直线夕=3匕彳+夕=4,加式+町+5=0相交于同一点，则

点（见〃）到原点的距离”的最小值是（）

【答案】D

【解析】联立

把（1,3）代入冽x+号+5=0,得加+3〃+5=0,:.m=-5-3n,

.•・点（加，n）到原点的距离d7m2+n1=J（5+3〃）2+〃2=

13

当且仅当时一2,〃=一5时取等号.

.•.点（加〃）到原点的距离的最小值为巫.故选：D.

2

【变式1-2］（23-24高二上•全国•专题练习）已知x,yeR,s=^（%+1）2+/+^（%-1）2+/,则S的最小

值是.

【答案】2

【解析】S=加+以+/+而_1）2+/表示点尸（羽田到点^（-1,0）与点6（1,0）的距离之和，

即5=|尸/|+|尸同，如图所示:

由图象知:s=\PA\+\PB\>\iB\=2,

当点尸在线段上时，等号成立.

所以S取得最小值为2.

故答案为：2.

【变式1-3](22-23高二上•浙江绍兴•期末)已知04xWl,04yWl,则

sjx2+y2+y]x2+(1-y)2+7(1-x)2+y2+7(1-x)2+(1-y)2的最小值为()

A.2B.2V2C.2+V2D.3

【答案】B

【解析】如图，设尸(x,y),0(0,0),4(0,1),5(1,1),C(l,0)

6+/表示点尸(x,y)与0(0,0)之间的距离；

V%2+(i-v)2表示点尸(X，V)与40，1)之间的距离；

7(l-x)2+y2表示点尸(羽y)与C(l,0)之间的距离；

7(1-X)2+(1-J；)2表示点尸(x,y)与5(1,1)之间的距离;

所以^x2+y2+7x2+(l-j)2+V(l-x)2+y+7(l-x)2+(l-y)2=|PO|+\PA\+\PB\+\PC\,

其中P(x,y)是以1为边长的正方形O/BC内任意一点,

\Pd\+|P5|>\OB\=V2,|尸/|+|PC|>\AC\=V2；

^\Pd\+\P^+\PB\+\PC\>2V2,

当且仅当时，x=y=；,等号成立，所以原式的最小值为2VL故选：B

考点二：点到直线的距离最值

2.(23-24高二上•河北张家口•月考)已知定点尸(-2,0)和直线/:(3+〃?)x+4y-3+3"7=0(meR),

则点P到直线/的距离d的最大值为()

A.2V2B.V10c.2V3D.2V5

【答案】B

【解析】直线/：(3+»t)x+4y-3+3加=0(〃?eR),

/、fx+3=0[x=-3

即〃zx+3+3x+4y-3=0,由解得

[3x+4y—3=0[y=3

所以直线/过定点。(-3,3),

所以d的最大值为|P0|=J(-2+3)2+(0-3)2=丽.故选:B

【变式2-1](23-24高二上•山西吕梁・月考)点P(-2,-l)至IJ直线/:(1+34)》+(1+彳)了一2-42=0.©11)的距

离的最大值()

A.而B.V12C.V13D.714

【答案】C

【解析】直线/：(1+3㈤x+(l+2)y-2-47=0(4wR),

[3x+y-4=0fx=l

即〃3x+k4)+x+y-2=0,由，八，解得，，

[x+y-2=0['=1

所以直线/过定点。(1,1),\PQ\=7(-2-1)2+(-1-1)2=V13,

点P(-2,-l)到直线/:(1+3㈤尤+(1+㈤了-2-42=0(2eR)的距离的最大值为旧.故选：C

【变式2-2］（23-24高二上•四川内江•月考）点尸到直线/：加x+y-加-1=0的距离最大时，其最

大值以及此时的直线方程分别为（）

A.;3x+2y-5=0B.VfT;3x+2y—5=0

C.y/13;2x—3y+1=0D.；2x—3y+1=0

【答案】A

［解析】将直线/：〃m+,_m_1=0变形可得加（尤_1）+了-1=0,

fx—1=0fx=1

解,c可得，，所以直线/过定点/1」.

口-1=0［y=l

当时，点尸（-2,-1）到直线/：mx+y-刃-1=0的距离最大，

最大值为\AP\=J（-2-1）?+（-1-仔=V13.

又的尸=--1-41=彳2，直线/的斜率为一加，

—2—13

23

所以，yX（-m）=-l,解得机=5,

33

所以，直线/的方程为3+夕-]—-。，整理可得3x+2y-5=0.故选：A.

【变式2-3]（23-24高二上・江苏・单元测试）在平面直角坐标系无切中，直线小丘-y+2=0与直线

/2：》+@-2=0相交于点?，则当实数发变化时，点尸到直线x-y-4=0的距离的最大值为（）

9

AB.一C.3D.3G

-14

【答案】D

【解析】当上=0时,4：y=2/：x=2,所以交点尸（2,2）,所以1[2三-4|=20；

2—2k

kx—y+2=0*=2-2k2+2左]

当上W0时,由x+@_2=0解得,所以尸

2+2k

所以尸到x-〉-4=0的距离2-2k2+2左

X+k21+公

d=工

若k〉0,则上+122限!=2,当且仅当上=1时取等号,

k\k

若k<0,贝【J左+：=_（—左）+

=-2,当且仅当左=-1时取等号,

所以：卜（-*-2]U[2,+的,所以建了*[-2,O）U（O,2],

k

'4]4+上

的最大值为。

所以4+--e[2,4)U(4,6],所以驾左=3A/2,

7+左d—।kI

lkJ弋厂

综上可知，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3也，故选：D.

考点三:平行线间的距离最值

例3.（23-24高二上•河南洛阳・月考）己知点/,3分别是直线4：2x+y-2=0与直线/2：4x+2y+l=0

上的点，则目的最小值为（）

A.0B.V5C.—D.好

24

【答案】C

【解析】由题意可知直线〃4,所以当48口，且43,4时，却有最小值,

其最小值为平行直线4与4的距离，

直线4的方程可化为。：4尤+2了-4=0,

急告故选:。

所以\AB\mm=

【变式3-11⑵-24高二上•云南楚雄•月考）已知点48分另IJ是直线4：2x+y-2=0与直线/2：4x+2y+l=0上

的点，则恒目的最小值为.

【答案】画二旧

22

【解析】由题意可知直线4：2x+y-2=0,直线4：4x+2y+l=0,即4：2x+y+g=0,

则两直线斜率均为-2,且两直线不重合，

所以直线〃4,所以当初儿且/BL%时，|”|有最小值，

-2--r

其最小值为平行直线4与4的距离，所以一/_____工_

京一7?77一02

故答案为：f

【变式3-2］（22-23高二上•四川成都・期中）已知A,B两点的坐标分别为（1,0）,（T,2）,若两平行直线人,

4分别过点4B,则小4间的距离的最大值为（）

A.1B.41C.2D.20

【答案】D

【解析】由题可知/Q,0）,5（-1,2）,如图，两平行直线4，4分别过点aB,

因为4〃，2,所以4，4间的距离即点A到直线4的距离d,由图可知，6?<|^|

当4，，2垂直时，4，4间的距离取最大值，即最大值为MH，

又由两点间的距离公式可知，以8|="1+1）2+2?=2/.故选:D.

【变式3-3］（22-23rW）二上,福建龙岩,月考）已知直线4：+y+25-3=0,Z2:mx+y—m+l=0,则直线乙

与4之间的距离最大值为.

【答案】5

【解析】直线4：7"x+y+2〃z-3=0化简为：〃?（x+2）+y-3=0,

令x+2=0且y-3=0,解得x=-2,y=3,所以直线<过定点-2,3）,

直线4:加丫+了一机+1=0化简为：，"（x-l）+y+l=0,

令》一1=0且y+l=0,解得x=l,y=-l,所以直线4过定点8（1，T），，

当与直线4，4垂直时，直线4，4的距离最大，

且最大值为|48|=卜2_+（3+1）2=5,

故答案为：5.

考点四：距离之和的最值

4.（23-24高二上•福建福州•期末）已知点M（-l,-1）,N（4,0）,X是直线/：x-y+l=0上的动

点，则|即图+|助|的最小值为（）

A.6B.2石C.V26D.6亚

【答案】A

y

【解析】设点关于直线/的对称点为

^LZ!_AZ1+I=OM'H/I”

22Ixn——2

贝U,,4，解得八,即"'（-2,0）,

%±1x1=71为=°

所以++故选：A.

【变式4-1](23-24高二上•重庆・期末)J1O--6x+l+J10/+4x+4的最小值为()

A.3B.2A/2C.—D.

55

【答案】D

[角毕析]由题意知，JlOx?—6x+1+JlOx?+4x+4（x]0r+，I"%）~+（。~^，'

设尸(羽0),〃(65)仆(-,,,),

则j(x-箭+(O-f+J(X+M+(O3)2的几何意义为|PM|+\PN\的值，

如图，作点〃(K)关于x轴的对称点“舄,-\),连接2V",

与X轴的交点即为所求点尸，此时I尸M|+|PN|取得最小值，为|2W[.

即卜前+(。木+"9+(。中的最小值为需

所以JlOx,-6x+l+JlOx:+4x+4的最小值为.故选:D

【变式4-2](23-24高二上・河南信阳・期中)已知x+y+l=O,则户+而7赤7的最

小值是()

A.V10B.713C.V29D.6

【答案】C

【解析】设点尸'(X/)为直线/：x+y+l=0的动点，

贝IJX。+J-2x-2y+2+-3)2+y~=yj^x—1)"+(y-I)2+J(x-3)~+(y-0)—>

可看作尸'(x,y)与点4(1,1),8(3,0)的距离之和.

设关于直线/的对称点为H(a,6),

a-1

则解得°=-2,6=-2,所以H（-2,-2）,

。+16+1

------+------+1=0

I22

则尸a+\P'B\=\P'A'\+1PM>\A'B\=-2-3）2+（-2-0『=V29，

当且仅当P与4,2共线时（即图中位置P）,取等号

即y]x2+y2-2x-2y+2+.y/(x-3)2+y2的最小值是V29.故选：C.

【变式4-3］（23-24高二上•江苏南通・月考）直线//+（加+l）y-2沉-2=0与直线4：（皿+l）x-y-2〃？-2=0

相交于点尸，对任意实数加，直线4,4分别恒过定点4B,则|以|+|尸目的最大值为（）

A.4B.8C.272D.472

【答案】A

【解析】直线4：x+y—2+冽3―2）=0,当;3-2=0〔X二°/\

得<力即点4（0,2）,

x+y—2—0〔歹=2

直线4：x-)-2+加(%-2)=0,当;1x-2=0［x=2,、

得<即点5（2,0）,

y-2=0，〔歹=。

且两条直线满足卜（m+1）+（加+1卜（-1）=0,所以/J4，即尸/，尸8,

|四+阀2=］时=8,

|^|+\PB\<^2（|^|2+M2）=4>当I尸闻=I尸3时，等号成立,

所以归H+P同的最大值为4.故选：A

考点五：距离之差的最值

列5.（23-24高二上•重庆黔江・月考）已知点41,-1）,8（-2,4）,点尸是直线/:y=x上的动点，则

|尸8|-『训的最大值为.

【答案】屈

【解析】设点关于/：>=X的对称点为C（7M,"）,

〃+11

-----二—I

——]

，解得〃=i，故"fl)，

n-l_m+l

~T~^~

由对称性可知，|R4|=pc|,

当8c尸可组成三角形时，根据三角形三边关系得到I尸耳-|尸。＜忸c|,

连接8C并延长，交/：y=x于点P,则此时|尸切-|尸到=忸。|,

即当民C,尸三点共线时，I尸却-|尸国取得最大值，

【变式5-1](23-24高二上•重庆九龙坡•月考)直线3x+4y-12=o分别交x轴和y于点A,B,P为直线

y=x+1上一点，则|尸国一|尸目的最大值是.

【答案】V5.

【解析】由直线3x+4y-12=0分别交x轴和了于点42,可得4(4,0),8(0,3),

如图所示，设点8(0,3)关于直线y=x+l的对称点为C(私〃),

n—3、1

----xl=-I

则,解得机=2,〃=1,即C(2,l),

n+3m,

----=—+1

I22

又由‘科=|尸q,即•卜|四=|阿-pq,则4Tpe闫/q,

当且仅当4C,尸三点共线时，等号成立，

即H-|PC|的最大值为|/c卜加4-2)2+(0一1)2=石，即I尸”|-|尸耳的最大值为45.

故答案为：V5.

【变式5-21（23-24高二上•广东广州•期中）已知实数xj满足x-y=O,则-2)2+(v-4)2-7(%-1)2+v2

的最大值是.

【答案】V13

【解析】ax-2）2+dp_"尤_ip+/

表示直线x-N=O上的点尸（xj）到点42,4）与2（1,0）的距离之差,

设点8（1,0）关于直线X—=0的对称点为B\a,b）,

&-0=_1

Z7—1f—0

贝Hz.八,解得',‘即",

。+16+0八\b=\7

----------=0i

L22

则\PA\-\PB\=|尸/卜|尸4\AB'\=^/（2-0）2+（4-1）2=V13,

当且仅当尸,49三点共线时取等号，

所以7（x-2）2+（j-4）2-7（x-l）2+/的最大值为V13.

【变式5-3］（23-24高二上•山东枣庄•月考）已知点工（4,1）,8（0,4）,直线/:3x-”l=0,点P在直线/上,

则口尸3|-|尸/||的最大值为（）

A.V2B.2V2C.V5D.2

【答案】C

【解析】如图,作出点8关于直线/的对称点B',连接AB'延长交直线/于点P,

此时点尸使H尸81-11|取得最大值.

（原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知|尸8|=|尸8'|,

此时||尸3|-|尸川"尸切7尸旬=出出,

在直线/上另取点4,连接446反耳"，

则|与8|=|，/,“耳切一片川曰4力一片小1<0*=1尸3|_|七11)

〃一41

yriqftn—3

不妨设点8'G","),则有：m5，解得：即3(3,3),

3x---------1=0I

I22

2

ik\\PB\-\PA\\max=|BA|=A/(4-3f+C1-3)=«故选：C.

考点六：将军饮马综合应用

［、一］例6.（23-24高二上・宁夏银川・期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李顽《古从军

行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,

先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为一+/416,

若将军从点/（-11,6）处出发，河岸线所在直线方程为y=-x-6,并假定将军只要到达军营所在区域即认为

回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（）

A.13B.11C.9D.7

【答案】C

【解析】设点/（-11,6）关于直线夕=-式-6的对称点坐标为3他）），

Z7+6a—11

2-2\a=-12/、

故—6，解得一，即对称点现-12,5）,

----=1I

+11

故原点到点B的距离|。同=7(-12-0)2+(5-0)2=13，

又军营所在区域为/+/416,则|。。|=4,

因为|/尸|+|尸0|=忸尸|+|尸。=忸0闫。石一|00|=13-4=9,

所以“将军饮马，，的最短距离为9.故选：C

【变式6-1](23-24高二上•江苏盐城•期末)在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为无2+/=i,河

岸所在直线方程为x+y=3,将军从点/(0,2)处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到

达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为()

A.V5B.V5-1C.VH)D.V10-1

【答案】D

【解析】如图，设将军去河岸的8点喝水，回到军营的C点，所以需求出以同+忸。最小值即可，

圆x?+/=1的圆心为(0,0),半径厂=1,

设4(0,2)关于直线工+〉=3的对称点为"36),

则”?。，解得。=11=3,

ab+2-

所以M(l,3),此时|48|+忸C|=|MB|+忸。2的0|-厂=炉万-1=9-1,

所以“将军饮马”的最短路程为不17-1=而_1.故选：D.

【变式6-2］（23-24高二上•上海奉贤・月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐

诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最

丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮

马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先

到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是力（2,4）,军营

所在位置为8（6,2）,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将

军饮马”）的总路程最短，则（）

A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0

1311

B.将军在河边饮马的地点的坐标为

C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x-6y+6=0

D.“将军饮马，，走过的总路程为5

【答案】B

【解析】如图所示:

由题意可知42在》+夕-3=0的同侧，设点3关于直线x+y-3=0的对称点为耳（a,b）,

A,C,BX三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”,

Q+6Z7+2

----+-----3=0

22a=\/、

则,解得即41,一3,

b=-5

x（T）=T

、。一6

对于A,直线的斜率为左=与早=7,

所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y+3=7（x-l）,即7x-10-y=0,故A正确;

13

x=——

7…x-10-二y=0，解得8

对于B,联立

11

y=一

8

13n

即将军在河边饮马的地点的坐标为,故B正确;

2-11

__L]_

对于C,由C选项分析可知点C,直线C8的斜率为4=

7

o/---1-3-

8

所以直线CB的方程为y-2=；(x-6),即x-7y+8=0,故C错误;

对于D,|/C|+|CS|=\AC\+\CB\=\AB\=A/12+72=5近，

即“将军饮马”走过的总路程为50,故D错误.故选：B.

【变式6-3］（23-24高二上•山西•开学考试）（多选）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登

山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山

脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流加，

n,其方程分别为2x-y=0,y=0,点/（3,1）,5（6,3）,则下列说法正确的是（）

A.将军从A出发，先去河流〃?饮马，再返回B的最短路程是7

B,将军从A出发，先去河流〃饮马，再返回5的最短路程是7

C.将军从A出发，先去河流机饮马，再去河流〃饮马，最后返回8的最短路程是相

D.将军从A出发，先去河流〃饮马，再去河流〃z饮马，最后返回3的最短路程是2而

【答案】AC

【解析】由/（3,1）关于2无7=0,y=0的对称点分别为。（-1,3）,。（3,-1）,而以6,3）,

从A出发，先去河流加饮马，再返回3的最短路程是13cl=7,A对;

从A出发，先去河流〃饮马，再返回B的最短路程是［8。|=5,B错；

由3（6,3）关于2天r=0,y=0的对称点分别为尸（6,-3）,

从A出发，先去河流加饮马，再去河流”饮马，最后返回3的最短路程|C尸|=J酝，C对;

从A出发，先去河流〃饮马，再去河流机饮马，

最后返回3的最短路程是|=，F，D错.故选：AC

o＞模块四小试牛刀过关测-------------------------------

—＞单选题

1.(23-24高二上•全国•期中)已知/(0,2),2(3,-1),点尸为X轴上一动点，则阳尸耳的最大值是(

A.MB.3也C.2A/2D.布

【答案】A

【解析】由已知点A关于x轴的对称点为C(0,-2),

Jc=^^=:，直线3c方程为y=：x_2,令y=0得无=6,

所以直线3C与X轴交点为。(6,0),

\P^\-\PB\^\PC\-\PB\＜\CB\=7(3-0)2+(-1+2)2=屈，

当且仅当尸是与x轴交点。时等号成立.故选；A.

2.(23-24高二上•贵州贵阳•期末)点，(-1,1),川2,3),点尸在x轴上,则陷|+|四的最小值为()

A.25/7B.5C.4D.屈

【答案】B

【解析】如图所示,

/（-M）关于x轴的对称点为4（-1,-1）,

则射+户同=|%I+1尸同之忸41，当民尸,4三点共线时等号成立，

乂忸4|=J（2+l『+（3+l）2=5,故啊|+|尸耳的最小值为5,故选：B.

3.（23-24高二上・北京丰台•期末）已知点P在由直线y=x+3,y=5和尸一1所围成的区域内（含边界）

运动，点。在x轴上运动.设点7（4,1）,则|。尸|+|。刀的最小值为（）

A.V30B.472C.V34D.2710

【答案】B

【解析】由直线y=x+3,y=5和x=-l围成“3C,如图所示，

点尸在“3C内（含边界）运动,

。在x轴上运动,作点T（4,1）关于x轴的对称点F（4,-l）,则皿+\QT\=\QP\+\QT'\,

尸|+的最小值为7'（4,-1）到直线y=x+3的距离，即&=40.故选：B.

4.（23-24高二上•浙江绍兴•期末）原点到直线，：%x+yT+l=0（%eR）的距离的最大值为（）

A62后4后

D.V2

555

【答案】D

【解析】设原点到直线/的距离为力由点到直线的距离公式得：d=pU=勺=把

VFTIv22+i

242

显然当4<0时，有最大值，此时一万+1

因为(-4)+当且仅当4=-1时等号成立,

--------<—=1l

所以-2，所以=收.故选：D.

5.（23-24高二上•浙江•期中）设加eR,若过定点N的动直线》+，町=0和过定点8的动直线加尤-y-加+2=0

交于点尸（xj）,则|力卜|尸创的最大值是（）

5

A.-B.2C.3D.5

2

【答案】A

【解析】依题意，直线》+〃少=0过定点/（0,0）,

直线加x-y-%+2=0可整理为m6-1）+（2-y）=0,故直线过定点3（1,2）,

又因为直线x+叼=0和直线mx-y-机+2=0始终垂直，尸为两直线交点，所以尸/_1_尸5,

则=\PA^+|PSf=g0》+0）=5,

由基本不等式可得|尸山超同呼=g,

当且仅当1PH=|心|=巫时取等号，所以户41尸刈的最大值是:.故选：A.

22

6.（23-24高二上•四川成都成考）-9）2+4+7/+/+7口一31+9的最小值所属区间为（）

A.[10,11]B.（11,12]C.（12,13]D.前三个答案都不对

【答案】C

根据题意，设题中代数式为“，则”=|AP|+|PQ|+|Q3闺/22+5?=13，

等号当尸，。分别为直线与x轴，y轴交点时取得.

因此所求最小值为13.故选：C.

二、多选题

7.（23-24高二上・江苏•开学考试）已知点N（2,l）,且点尸在直线/：x+y+2=0上，则（）

A.存在点尸，使得RVUPNB.存在点P,使得2归闾=|PN|

C.户闾+|尸叫的最小值为后D.俨闾-|网|最大值为3

【答案】BCD

【解析】对于A：设尸-"2),若a=一1时尸此时尸M的斜率不存在，

2

kpN=飞手。，PAf与PN不垂直，同理Q=2时与/W不垂直，

当Qw—1且aw2时女产旧二-丁,kpN=aj，

a+1a-2

若PM-LPN,则kpM,•—a--Y=-1，

a-2a+1

去分母整理得2/+5〃+7=0,A=52-4X2X7<0,方程无解，故尸M与PN不垂直，故A错误;

对于B：设尸(凡―a—2),若2pM=|尸N|,则2加+1)2+(—〃—3)2=J(〃—2『+(—"3)2,

即2〃2+i0a+9=0,由A=l()2—4x2x9=28>0,所以方程有解，

则存在点尸，使得2|尸训=|尸N|,故B正确；

对于C：如图设”(-M)关于直线/的对称点为“(加M，

n-\

二i

则叮\m=-5

‘解得"=T,即"(TF

m-1+山+2=0

r2

所以I+1尸N]=|尸"|+|PN|z阿N卜^/(-3-2)2+(-1-1)2=V29，

当且仅当M'、P、N三点共线时取等号(P在线段MN之间)，故C正确;

对于D：如下图，归叫-|尸以卜|上明=3,

当且仅当P在NM的延长线与直线/的交点时取等号，故D正确.

8.（23-24高二上•江西•月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐

诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性

最强的一部分，唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗

中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后

再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是1（2,4）,军营所在位置为

3（6,2）,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）

的总路程最短，则（）

A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0

B.将军在河边饮马的地点的坐标为

C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是尤-6y+6=0

D.“将军饮马”走过的总路程为5百

【答案】BD

【解析】由题可知48在x+y-3=0的同侧，

设点8关于直线无+夕-3=0的对称点为3'（0,6）,如下图所示：

将军从出发点到河边的路线所在直线即为/夕，

又2（2,4）,所以直线/夕的方程为7x-y-10=0,故A错误;

设将军在河边饮马的地点为W,则W即为7x-y-10=0与x+y-3=0的交点,

联立两直线方程解得,故B正确；

将军从河边回军营的路线所在直线为四，又8(6,2),

所以直线攻的方程为x-7y+8=0,故C错误；

总路程+\MB\=\MA\+\MB'\=\AB'\=J(2_1)2+(4+3)2=5啦,

所以“将军饮马”的总路程为5vL故D正确.故选：BD.

三、填空题

9.(23-24高二上•江苏泰州•月考)已知点/(-L2),巩-1,-4),点尸在直线x+y=3上，则尸/+总的最

小值为.

【答案】2a

【解析】如图所示,

设点关于直线x+y=3的对称点为C(a,b),

。一16+2.

-----+-------=3

2

则,解得。=1,6=4,即

b-21

------=1

、〃+1

所以卢旬+1尸目=Ipq+|尸4>|B(\=74+64=2&7,

等号成立当且仅当点P与点。重合，其中点。为8c与直线x+y=3的交点.

故答案为：2后.

10.(23-24高二上・安徽•期末)已知直线乙：了=h+1,/2：了=左(》-2),则直线小4之间距离的最大值

为.

【答案】V5

【解析】由题意可知：直线4：F=丘+1的斜率为左，过定点/(0,1)；

直线小了=左。-2)的斜率为后,过定点8(2,0)；

可知〃〃2,所以两直线之间距离的最大值为石.

故答案为：V5.

11.(23-24高二上•福建三明•月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，

唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术

性最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗

中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马，，，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再

回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是42,4),军营所在位置为

8(6,2),河岸线所在直线的