云南省昆明市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试 数学试卷【含答案】

2024-2025学年下学期云南地矿局中学期中考试

高一数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若力、B是全集/的真子集，则下列四个命题中与命题力UB等价的有

①4nB=a；@AUB=4;@ACl(C/B)=A;@ACtB=1;

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.下列是全称量词命题且是真命题的为

A.V%£/?,x2>0B.VxGQ'x2EQ

C.m久()eZ,>1D.Vx,yeR,x2+y2>0

3.设a>0,b>0,a+6=l,则下列说法错误的是

A.ab的最大值为JB"2+62的最小值为,

4Z

C.3+：的最小值为9D.仿+VF的最小值为迎

4.为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚.假

设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%,

则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据：lgl.2x0.079,lg2«0.301)

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

5.已知复数3+4i是关于久的一元二次方程比2+mx+n=0(m,nGR)的一个复数根，则复数m+ni在复平

面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知。，N,P满足|市|=|后|=|泰NA+WB+~NC=0,PA~PB=PB-PC=PC-PA,则点O,N,P

依次是△ABC的

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

7.如图，△40'8'是由斜二测画法得到的AaOB水平放置的直观图，其中0'4=O'B'=2,点C'为线段AB'

的中点，C'对应原图中的点C,则在原图中下列说法正确的是

A.OC-AB=0B.△力。B的面积为2

C.玩在而上的投影向量为2加D.与南同向的单位向量为得荏

8.已知四棱锥S-4BCD中，四边形力BCD为等腰梯形，AD//BC,^BAD=120°,△SAD是等边三角形，

且Sa=4B=2YZ,若点P在四棱锥S-ABCD的外接球面上运动，记点P到平面4BCD的距离为d,若平面

5力。，平面43。。，贝心的最大值为

A./15+2B./15+1C.713+2D.713+1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'(x)=2cos2o>x+V-3sin2cox—l(w>0)的最小正周期为兀，则下列说法正确的有

A.3=2

B.函数/⑺在［。身上为增函数

C.直线久=詈函数y=/(*)图象的一条对称轴

D.点舄兀,0)是函数y=/(©图象的一个对称中心

10.对于△ABC有如下命题，其中正确的是

A.若siMa+sin2B+cos2c<1,则小ABC为钝角三角形

B.若4B=C，AC=1,B=30°,则A4BC的面积为苧

C.在锐角△ABC中，不等式sin/>cosB恒成立

D•若尚尚小且喘+曲)灰=°，则△由为等边三角形

11.如图，在菱形力BCD中，\AB\=2,^ABC=60°,M为8c的中点，将回48M沿直线4M翻折成团

ABrM,连接BiC和Bi。，N为名。的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是

A.AM1BrC

B.CN的长不为定值

CM2与CN的夹角为亨

D.当三棱锥Bi-4MD的体积最大时，三棱锥当-4MD的外接球的表面积是127r

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数〃久)=j^iogix,%>1，若/'(/(x))=*贝卜=-

13.已知复平面上的点Z对应的复数z满足：存在模长为1的复数a,使得z-z+a-z+a-z=0,那么所有满

足条件的点Z组成的图形的面积为.

14.已知函数/'(x)=2久，g(x)为偶函数，且当x20时，g(x)=7—4%.记max{a,6}=给出下列

关于函数F(x)=max{/(x),gQ)}(xeR)的说法：①当x26时，F(x)=x2-4x；②函数F(x)为奇函数;

③函数FQ)在［-2,2］上为严格增函数；④函数F(x)的最小值为0,无最大值.其中正确的是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在①(sinB—sin。/=sin2i4—sinBsinC,@tan?l+tanC=会"这两个条件中任选一个，补充在下面问题

中，/4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设/⑹=，%osCsin(C—3若,是否存在C使得f(C)

存在最大值?

16.(本小题15分)

已知函数/'(x)=sin|cos]-V3cos2楙+苧.

(I)求函数/(无)的周期和单调递增区间；

(II)在△力BC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足c?一肝之门四—a?,求/'(B)的取值范

围.

17.(本小题15分)

如图，已知正方形ABCD的边长为2,过中心。的直线Z与两边AB、C0分别交于点M,N.

⑴求前•配的值;

(2)若Q是BC的中点，求丽•丽的取值范围;

(3)若P是平面上一点，且满足2加=2a+(1-；1)瓦，求两•丽的最小值.

18.（本小题17分）

如图，在三棱柱ABC—4/16中，44]_L底面A/iG，AC1AB,AC=2,AB=4,AAt=6,点E,F分

别为C4i与AB的中点.

CL

(1)证明：EF〃平面BCC/i；(2)求二面角E-B/-4的平面角的正切值.

19.(本小题17分)

函数/(x)=x\x-a|.

(1)根据a不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性;

(2)若。40,对于任意的％e[0,1],不等式一14-％46恒成立，求实数。的取值范围；

2

(3)若已知a=2,D=[-1,4].设函数g(%)=logi(x+%+/c),xeD,存在无]、x2ED,使得/(%])<

2

g(%2)，求实数k的取值范围.

答案

l.B

2.5

3.D

由题意，对各选项依次进行分析：

对4,因为正实数a,b满足a+6=l,

所以1=a+b>2y/~ab,当且仅当a=b=：时等号成立，

所以当且仅当a=6=>寸等号成立，故ab有最大值故A正确；

对8,因为(a+b)2=a2+b2+2ab=i,

所以M+b2=1-2ab>l-2x^-=1,当且仅当a=b=:时等号成立，

4ZZ

所以彦+坟有最小值故3正确.

对C,利用基本不等式，有［+|=(：+2)(a+")=?+怖+5》1•号+59,

(2

fa+6=1a=-41

当且仅当4ba,m:时等号成立，故±+［有最小值9,故C正确；

LT=hb=l°b

对D,由题意，得+，^)2=a+6+=1+2，^W1+2日=2,

故+当且仅当a=b=g时等号成立，

即，+有最大值，故。错误.

故本题选。.

4.C

设经过几年之后该市全年用于垃圾分类的资金为y=5000x(l+20%)”,

由题意可得：y=5000x(1+20%)”>12800,

即1.2">2.56,

:.nlgl.2>lg2.56=lg28—2,

画-2_8x0.301-2

••・n>«5.16,

lgl.20.079

vnE.N*,n>6,

即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元,

故选C.

5.B

因为复数3+4i是关于久的一元二次方程/+mx+n=0(m,neR)的一个复数根，则该方程的另一个复数

根为3-4i,

由根与系数关系可得爪=-[(3+4i)+(3-4i)]=-6,n=(3+4i)(3-4i)=32+42=25,

则爪+ni在复平面内对应的点为(-6,25),

位于第二象限.

故选:B.

6.C

依题意，由|瓦5|=|南|=|次|得，。到△ABC的三个顶点的距离相等，所以。为外心;

设力B的中点为D,则由福+而+就=6得2而)=一后所以N为重心；

由您-~PB^PB-~PC^~PC-西得丽•G4=0,

所以PB_L2C,同理可得P21BC,所以P为垂心.

故选C

1.D

将直观图还原，贝|。4=2,OB=4,C为AB中点，

OC-AB=^(OA+OB)­(OB-OA)(OB2-OA^=1(42-22)=60,4错;

1

对于B,S^0AB=^x2x4=4,B错;

对于C,因为。为力B的中点，乙AOB=90°,所以瓦在砺上的投影向量为C错;

—ABABAB

对于。，与屈同向的单位向量为何===而力B,。对.

8.D

依题意乙4BC*,取BC的中点E,

由SA=AB=2<3>得BC=4y/~3,AE=DE=2<3,

则E是等腰梯形48CD外接圆的圆心，

设。是四棱锥S-4BCD的外接球球心，0E=x,

过点。作。尸垂直平面SAD于点F,

贝IJ0F=XBsin60°=3,

又S到平面&BCD距离为S4sin60。=3,

•••SF=3—%；

设四棱锥S-4BCD的外接球半径为R,

贝IJR2=QE2+BE2=SF2+。尸2,

即(2-\/-3)2+%2=(3—%)2+32；

解得x=1，R=713;

当P,0,E在同一条直线上时，取得最大或最小值；

故dmax=R+0E=V13+1,

故选D

9.BD

函数/(%)=2cos2tox+V^sin2cox-1=cos2tox+V_3sin2cox=2cosy2a)x-§(3>0),

它的最小正周期为7=手=兀，

2a)

••・3=1,

故函数/(%)=2cos(2%-》故A错误；

在［0币上，2%-^£［-^,0］,而函数y=cos久在［冶,0］上单调递增，故函数f⑺在［0于上单调递增，故8

正确；

当％=狎，2%*=热/(%)-1^+2,不是最值，故直线x=杆是函数y=/(x)图象的一条对称轴，

故C错误；

当％=工时，2久—亨=热/(x)=0,故点(］兀,0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心,故。正确.

故选2D

10.ACD

选项A:AABC中，若siMZ+sin2B+cos2c=sin2A+sin2B+1—sin2c<1,

即sin2A+sin2B-sin2c<0,所以由正弦定理得M+62-c2<0,

又由余弦定理得cosC=/口<0,所以CeG，兀)，△ABC为钝角三角形，力说法正确；

Zabvz

选项RAABC中，若4B=C，AC=1,B=30°,则由正弦定理得当=等，解得sinC=孚，

sinnsine2

所以C=60。或120。，所以乙4=90。或乙4=30。，△ABC的面积S=•4C•sinA=唱或可，B说法错

LL4

误：

选项C：因为△ABC是锐角三角形，所以C<5所以a+B=7T-C>3

又4B6(0,1),所以/>B,贝%—BE(0,1),

又因为y=sin%在((),1)单调递增，所以sin/>sing-B)=cosB,C说法正确；

选项o：需表示荏方向的单位向量，黑表示前方向的单位向量，

\AB\\AC\

根据平面向量加法的几何意义可知黑+需与NB4C的角平分线共线，

|4B|\AC\

由(缁+备).BC=0可知AB4c的角平分线与BC垂直，

所以△ABC是等腰三角形,

而所同=1x1xcos/=cosi4=1>0,

又46（0,兀），所以4冶，所以△力BC是等边三角形，O正确.

n.Ac

对于4,因为菱形力BCD中，\AB\=2,乙48c=60。，M为BC的中点，所以力M1BC,

将42BM沿直线4M翻折成△ABrM,

则4M1BrM,AM1CM,

因为BiMnCM=M,

且c面/MC,CMc面/MC,

所以4M1面B]MC,又因为&Cu面&MC,

所以4M_LBiC,故A正确；

对于B,如图1,

图1

取力。的中点为E,连接CE交MD于点尸，

因为N为名。的中点，贝粒£7/4当，又NEC平面u平面4B1M,

所以NE〃平面

又CE〃AM,。5仁平面481用,411<=平面431”,贝UCE〃平面ABi”,

且NEc平面EN&CEu平面ENC,NECCE=E,

由面面平行的判定定理可得平面2B1M〃平面ENC,

又平面力Bi"C平面/MD=平面ENCC平面/MD=NF,

所以NF//B1M,

由4可得力MIBiM,所以EC1NF,

又因为|NF|=|IBM=：，IF。=|\AM\=争

所以|NC|=7\NF\2+\FC\2=JJ+|=1为定值，故2错误；

对于C,由B可得NE〃力Bi，

所以NENC或其补角即为ZB1与CN的夹角,

在AENC中，\EN\=1|71B1|=1,\EC\=\AM\=73，\NC\=1,

2

所以cos乙ENC==—/

2x1x12

所以AB1与CN的夹角为（故C正确；

对于D,因为在翻折过程中，△AMD始终不变，

又由4可得AM所以将△力BM沿直线AM翻折过程中，

当面1•面4MCD时，三棱锥J-4MD的体积最大.

此时由面ABiM1面AMCD,

面a/MC面4MCD=4M,AM1B±M,/Mu平面A/M,

可得BiMl面2MCD,又MDu面AMCD,

则BiMIMD,即三角形/MD为直角三角形，又N为名。的中点，

则|NB/=\ND\=\NM\,

BiMl面ZMCD,又ADu面AMCD,

则4。1BIM,

又因为MC〃4D,所以4D14M,

又AMu平面ABiMBiMu平面481“，AMnBrM=M,

则4。1平面ABiM,ABru平面a/M,

则4。14当，即三角形Bi4D为直角三角形，又N为色。的中点，

则WB/=\ND\=\NA\,故WB/=\ND\=\NA\=\NM\,

故N为三棱锥Bi-AMD的外接球的球心，

所以Bi。即为三棱锥4-4MD的外接球的直径，

由|MD|=7\AM\2+\AD\2=门不4=

可得|九。|=7|SiM|2+\MD\2=YTT7=2>A2.

所以三棱锥BI-AMD的外接球的半径为，I，表面积是8兀，故。错误.

故选AC.

12.3

13.4兀

=x+yi,a=p+qi,由z•2+a•2+a•z=0,

可得G+yi)(x—yi)+(p+qi)(x—yi)+(p-qi)(x+yi)=0,

2

所以一+y2+_pyi_|_qXi_qyj2_|_+py[—qX[—qyi(p—qi)(%+yQ=0

所以％2+y2+2px+2qy=0,所以(％+p)2+(y+q)2=p2+q2,

因为复数a的模为1,所以p2+q2=i,所以(％+p)2+⑶+/2=i,

所以Z是以(—p,—q)为圆心，1为半径的圆上的点，

又(-p,-q)是以原点为圆心，1为半径的圆上的点，

所以点Z形成的图形是以(0,0)为圆心，2为半径的圆面，

所以点Z组成的图形的面积为兀x22=47r.

故答案为：47r.

14.①③

根据题意可得刎=

F(x)=max(f(%),g(%))(%GR)

x2+4x,x<—2

=<2x,-2<x<6,

、x2—4x,x>6

画出产(%)的大致图象，

由图象可得：①当%之6时，•・,M—4%22%,••・尸(%)=/—4%,正确;

②由图象可得：函数F(%)不为奇函数，②错误；

③由图象知函数F(%)在[-2,2]上为严格增函数，正确；

④由图象易知函数F(%)的最小值为尸(-2)=-4,无最大值，④错误，

其中正确的是①③.

故答案为①③.

15.解：ZL48c的内角4B,C的对边分别为a,b,cf

若选择①：(sinB-sinC)2=sin2X—sinBsinC,

则si/B+sin2c—2sinBsinC=sin2A—sinBsinC,

BPsin2^+sin2c—siM/=sinBsinC,

由正弦定理可得炉+c2-a2=be,

b2+c2—a21

cos/4-=矛

2bc2

AE(0,7i),A=］由/(C)=V-2cosCsin(C—9=V-2cosC(苧sinC—苧cos。)

=cosCsinC—cos2c=/sin2c-acos2c-4=，sin(2C—7)—

LLLL4L

已知2=?所以B+C=

所以。<c<£•.2C—e(一不若)，

••・sin(2C—9e(一苧,1］,当2c冶=*

即C=答时力⑹取得最大值为

oZ

若选择②：•・・tan/+tanC=

sin/sinC2sinB

e，cosAcosC-cosC'

・•・2sinBcoSi4=sirL4cosc+sinCcosA".2sinB•cosA=sin(A+C)=sinB在三角形中,sinBW0,

171

**,coSi4=1,A=2*.

由/(C)=V-2cosCsin(C-力=V-2cosC(苧sinC-苧cosC)

=cosCsinC—cos2c=/sin2c—^cos2C-£=空sin(2C—7)—

LLLL4L

已知4=3所以B+C=等

所以0<(?<:..•.2C—3e(一不若),

nV-2

・•・sin(2C-4)E(--2~>1］，

当“海

即c=萼时J(C)取得最大值为亨.

oZ

选①，由(sinB-sinC)2=sin2i4一sinBsinC,结合正弦定理可得炉+c2-a2=be,利用余弦定理可得角/的

大小，从而可求得C的范围，而f(C)=，IcosCsin(C—J)=?sin(2C-J)-9，则其最大值可求；

选②，由tanA+tanC=旦K,得cosA=-,A=9从而可求得C的范围，而/(C)=V-2cosCsin(C一[)=

COSZJL

苧sin(2C-9一,，则其最大值可求.

e

XX2X

nCOS+1.V3(l+cosx)

si2-2-2-2-sinx—

2+苧

1.V3./71、

=-sinx———cosx=sin(x—

所以f(x)的周期为27r.

由2卜兀一卜％—三2k兀+箫/⑴的单调递增区间为⑷兀-^,2k7r+^］(kGZ).

(II)因为—匕2n，^ac—42,由余弦定理可得，「《c/>',J.,i"，

2M

因为0<B<7T,所以0<B4I

6

~^<B所以_/<sin(B_§(一：

JJuZ5Z

所以f(B)=sin(B*)

所以〃B)的取值范围为(-年,-品

17.(1)由正方形可得说DC=0

所以丽•DC=(BC+CD)-DC=-CD2=-4；

(2)因为直线1过中心。且与两边48、CD分别交于交于点M、N.

所以。为“、N中点，

所以丽-QN=(Q0+0M)-(Q0+而)=Q02-~0M2.

因为Q是BC的中点，

所以|而|=1,14\0M\<72,

所以一1<Q02-0M2<0,

即丽•丽的取值范围为［一1,0］；

(3)令而=2而，由讨=2淀=2南+(1->I)沅知点7在BC上，又因为。为M、N中点,

所以西|>1,从而|函

~PM-~PN=(P0+0M~)­(P0+ON)=~P02-OM2

因为1<\0M\<72,

所以丽.丽=9_丽2=

44

即西•丽的最小值为-]

4

18.【答案】

解：(1)证明：如图：

在三棱柱ZBC-ABiCi中，因为_L底面&B1Q,

所以三棱柱ABC-&B1Q是直三棱柱，因此四边形441GC是矩形.

又因为点E是C&的中点，所以连接AC1，贝归是4G的中点.

连接因为F是4B的中点，所以EF〃BC「

因为Bqu平面8CGB1，£T仁平面BCGB1，所以EF〃平面

(2)解：由(1)知：三棱柱ABC-4/1的是直三棱柱，

所以A4i1AC,AArLAB,

因此NC48是二面角C--B的平面角.

又因为力Cl4B,所以NQ4B=3

因此平面C44i1平面44/.

由(1)知：四边形4。QC是矩形，

如下图：取441的中点H,连接EH.

因为点E是C4的中点，所以E”144「

AB

因为平面C441平面力&B交于A4i，EHu平面C44,

所以£7/1平面44把,

而B/u平面44tB,因此EH1B#.

过H在平面24B1B内，作HG1B]F于G,连接EG.

因为£HCHG=H,u平面EGH,所以B/_1_平面承7/1,

而EGu平面EG”,因此B】F1EG,

因此NEGH是二面角E-B#-4的平面角.

因为AC=2,所以EH=1.

又因为45=4,44i=6,F是4B的中点，

所以在矩形内，利用面积等量得：

S矩形4BB1&=S三角形4FH+5三角形FBBI+5三角形//4％+$三角形FHBI

11

24=5(3x2+6x2+3x4)+泗FXGH,

而B]F=V62+22=2A/10,因此G”=

在RtAEG”中，tan