现代控制理论：直流电机模型

I.直流电机...........................................3

2•状态空间表达式....................................6

3•对角标准型及相关分析..............................7

4.系统状态空间表达式求解............................8

5.系统能控性和能观性.................................8

6.系统输入输出传递函数..............................9

7.两种方法判断开环稳定性............................9

&闭环极点配置........................................10

9.全维状态观测器设计................................13

10.带状态观测器的状态反馈控制系统的相关跟踪图......17

10­带状态观测器的闭环状态反馈系统相关分析...........21

II.结束语...........................................22

现代控制理论基础

选题：直流电机模型

结课作业

姓名：班级：y则控ioo3

学号：0313

第I条1直流电动机的介绍

节1.01研究的意义

直流电机是现今工业上应用最广的电机之一，直流电机具有良好的调速特性、较大的启动

转矩、功率大及响应快等优点。在伺服系统中应用的直流电机称为直流伺服电机，小功率

的直流伺服电机往往应用在磁盘驱动器的驱动及打印机等计算机相关的设备中，大功率的

伺服电机则往往应用在工业机器人系统和CNC

铳床等大型工具上。口］

节1.02直流电动机的基本结构

直流电动机具有良好的启动、制动和调速特性，可以方便地在宽范围内实现无级调

速，故多采用在对电动机的调速性能要求较高的生产设备中。

直流伺服电机的电枢控制：直流伺服电机一般包含3个组成部分：

图

1磁极：

电机的定子部分，由磁极N-S级组成，可以是永久磁铁（此类称为永磁式直流伺服电机），

也可以是绕在磁极上的激励线圈构成。

2电枢：

电机的转子部分，为表面上绕有线圈的圆形铁芯，线圈与换向片焊接在一起。

3电刷：

电机定子的一部分，当电枢转动时，电刷交替地与换向片接触在一起。

直流电动机的启动

电动机从静止状态过渡到稳速的过程叫启动过程。电机的启动性能有以下几点要求：

1）启动时电磁转矩要大，以利于克服启动时的阻转矩。

2）启动时电枢电流要尽可能的小。

3）电动机有较小的转动惯量和在加速过程中保持足够大的电磁转矩，以利于缩短启动时

间。

直流电动机调速可以有：

（1）改变电枢电源电压；

（2）在电枢回路中串调节电阻；

（3）改变磁通，即改变励磁回路的调节电阻Rf以改变励磁电流。

本文章所介绍的直流间服电机，其中励磁电流保持常数，而有电枢电流进行控制。

这种利用电枢电流对直流伺服电机的输出速度的控制称为直流伺服电机的电枢控制。如图

激励线圈

RaLa

图

Ea——定义为电枢电压（伏特）。

4一一定义为电枢电流（安培）。

Ra—定义为电枢电阻（欧姆）。

La——定义为电枢电感（亨利）。

Eb一定义为反电动势（伏特）。

If一一定义为励磁电流（安培）。

h定义为电机产生的转矩（牛顿-米）

Bm—定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效粘带摩擦系数（牛顿・米/度•秒口

%—定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效转动惯量（千克・米2）。

节1.03建立数学模型

电机所产生的转矩正比于电枢电流I与气隙磁通①的乘积，即：

Tm=Kila（D（1J）

而气隙磁通①又正比于激励电流If,故式（1・1）改写为

Tm=KiKsIfla二Kia。⑵

对于激磁电流If为常数，KLK小合并为一个常数K,称为电机力矩常数。电枢电流I

的正负即代表电机的正反转。

当电枢转动时，在电枢中感应出与电机转轴角速度成正比的电压，称为反电动势，

即

d

Eb=KbG）m二Kb可（1-3）

其中Kb称为反电动势常数。

电机的速度是由电枢电压E控制，应用基尔霍夫可压定律导出电枢电流I的微分方程

式为：

dl,!、

La赢+RI+Eb=Ea

（1-

4）

电枢电流I产生力矩，用来克服系统含负载的惯性和摩擦，可得

¥目.d目m

(1-5)

J时+细寸:T二KI由式（1-3）与式（1-4）合并移

项后可得：dlaRaKb1

土田

出二「uL〒五月(1-6)

Lar

式（1・5）移项后可得：

d3mK

GT二匚4一儿(1-7)

将式（1—6）与式（1・7）以状态方程式来表示如下:

Ra

LpJ，U

dl.3逾K

Jm

y(t)-[0i]+[O]Ea(1-8)

令R=1、L=.Kb=1.J«F5、K=t[l]P229，代入式（1-8）可得:

R

a55

„0.10.02B-

ni

°l

y=[0l]x

1-9

1、系统状态空间表达式

--5

A=C二[01]D二[0]

0.1-0.02

5

0.1-0.02X+

y二10小

MATLAB相关源程

序

»G二ss(A,B,C,D)a=

xlx2

xl—5-5

x2

b=

ul

xl5

x20

c=

xlx2

ylO1

d=

ul

ylO

2＞化为对角标准型并分析

2+55

系统特征方程:|/il-A|==0

-0.12+0.02

系统特征根：A2=

-0.99980.7158

特征向量：尸=门

0.0205_0.6983.

-1.0217-1.0473

其逆矩阵为：P-'

--0.0300-1.4628

-4.89750

A=P^AP=

0-0.1225

-5.1084

B=P^[B=

-0.1500

c=CP=[0.0205-0.6983]

变换后状态空间表达式:

.-4.89750■-5.1084

X=0-0,1225-0.1500

y=[0.0205-0.6983]x

由于线性变换矩阵P是非奇异的，因此，状态空间表达式中的系统矩阵A与区是相似

矩阵，具有相同的基本特征，行列式相同、秩相同、迹相同、特征多项式相同、特征值相

同。

MATLAB相关源程序

»[P,d]=eig(A)求A的特征值和特征向量

P=

d=

0

0

»inv(P)*A*P化A为对角线标准型

ans=

»P*d*inv(P)

ans=

3、系统状态空间表达式的求解

在第2个处理中已将系统矩阵A转换为对角线标准型，且矩阵A的特征值互异，则

状态转移矩阵①⑴为：

1•0”・8975『-0・02严」225(1.05尸妙勺+1(?5严®

■0.02严897勺40・02严匕2勺・0・02厂处975,+]血厂。心,

设初始时间心二0,则

线性定常非齐次状态方程的解为：x(t)=O(t)x(0)4-jA(t-r)Bu(r)d

4、系统的能控性和能观性

(1)能控性：若系统能空性矩阵U广［BAB的秩为m则系统状

A矩阵是2*2矩阵，即n二2

5-25

U=[BAB]=

C00.5

rank(Uc)=2满秩，故系统可控。

C

CA

(2)能观性：若系统能观测性矩阵Vo=的秩为n,则系统状态能观。

态完全能控。

ra/ik(V())=2满秩，故系统可观。

-0.02

5、系统的输入输出传

递函数

0.5

G(s)=C(s/-AfB=—

s〜+5.025+0.6

MATLAB相关源程序

»[num,den]=ss2tf(A.B,C,C)求系统传递函数

den

6、系统开环稳定性分析

（1）特征根方法

在经典控制理论中，对系统稳定性的分析基于特征方程的所有根是否分布在根平面

的左半部分。所有特征根都分布在左半平面则系统稳定：如果至少有一个特征根分布在右

半平面则系统不稳定；如果没有右半平面的根，但在虚轴上有根（即有纯虚根），耻系统是

临界稳定的。

在以上处理过程中已求出系统特征根为2产22=这两个特征根均分布在根平面的左半

部分，故系统稳定。

（2）Lyapunov第二法

研究系统的稳定性时，可令u二。。显然A>0,故原点是系统的平衡状态。

「一5-514=-5xj_5人2

'：।得系统的状态方程为

=O.Lv|-0.02x2

选取李氏函数为tX-v)=-Vi2+50x22>0（正定）

则沿任意轨迹u（x）对时间的导数：

说0=2“打+10（匕2丘2=_10八2_2；：22Vo（负定）

又由于当卜Ils时，U（X）TS,故根据相关定理知，平衡点（xi=0,X2=0）是大范围内渐

进稳定的。

8、闭环极点配置

（1）闭环极点配置的目的

控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布，所以通过极点配置改变极

点的分布，使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短，从而

获得所希望的动态性能。

（2）闭环极点配置的方法

通过选择状态反馈矩阵K,通过状态反馈u=，•心使闭环系统的极点恰好配置在根

平面上所期望的位置。

(3)充要条件：系统完全能控。

状-反蹄制律-

x=Ax+Buypi=(A-BK)X+Br

原控制系统V

=Cx

(4)分析过程

(5)配置过程

反馈控制期望闭环极点：21=-1529=-0.4(原始极点：2,=-4.8975

入=-0.1225)

加状态反馈后特征方程：九⑸=|刃一(q-BK).................................①

期望的闭环特征方程:户⑸=(£-/l]Xr).............②

使以上①②两式S多项式对应项的系数相等，得到2个代数方程，即可求

出状态反馈阵不二[价灼卜[2.07610.3848]

(6)闭环极点配置后系统的传递函数

G(s)=C(s/-(A-BK、尸B=...................

s”+15.4?+6

原系统开环阶跃响应

StepResponse

0.9

极点配置后阶跃响应

StepRespo

05Time(sec)1015

0.09

由图4曾出，极点配置后阶跃响应上升肘间比原系统上升时间缩短了三倍左右，故极点配置达到

预期效果。

0.07

MATLAB相关源程序

»T=[-15)期望闭环极点

T=

»K=acker(A.B,T)求状态反馈阵

K=

»eig(A-B*K)极点配置验证

ans=

»[num.den]=ss2tfD)求闭环传递函数

num=

o

den

8、全维状态观测器设计

⑴目的

在现代控制理论中，按各种最优原则建立起来的最优控制系统、解耦系统都离不开

状态反馈，然而系统的状态变量不是都能用物理方法量测得到的，有些根本无法量测，因

而给状态反馈的物理实现造成了困难，故通过设计一个全维状态观测器实现状态重构，从

而获知系统的状态变量。

(2)原则

a、观测器以被观测系统的输入和输出为其输入量，其输出量即为原系统的一个状态

渐进估计。

b、被观测系统应是完全能控的。

(3)分析过程

原系统状态方程攵=4什Bit

观测器状态方程f=(A-LC)x+Bu+Ly

(4)设计过程

观测器期望极点：=・2022=-10

求反馈阵L：

观测器特征多项式:f/s)=\sI-(A-LC).............①

期望的特征多项式：&)=($—/Ids・兄2).........................②

使以上①②两式$多项式对应项的系数相等，得到2个代数方程，即可求出反馈阵乙

=[\]『45

J2.[24.98」

(5)验址配置结果

观测器特征多项式：

10故，么阵求取正确

求得特征根兄1=-20

MATLAB相关源程序：

Po二[-20・J0]

-20-10

»L=acker(A'•C,Po)

L=ans=

»eig(A-L*C)验证观测器极点是否配置在期望极点

-10

(6)形成系统状态估计器

»est=esiim(G,L)

a=

xlx2

xl-5-750

x2-25

b=

ul

xl745

x2

c=

xlx2

yi01

y210

y301

d=

ul

yi0

y20

y30

Inputgroups:

NameClianne1s

Measurement

Ouipuigroups:

NameChannels

OutputEstimate1

StateEstimate2,3

Continuous-iimemodel.

(7)阶跃响应

0.1

»step(est)

(8)分别得到输出和观测状态的传递函数

TranSfeufunctionfrominputtooutput…

3

o

2s+

#1：-----------------------------

_*2+30s+200

「二o

745s-110

#2•

©

m

o

o52+30s+200

L

0.20.30.40.50.6

Time(sec)

s2+30s+200

Inputgroups：

NameChannels

Measurement1

Outputgroups：

NameChannels

OutputEstimate

StateEstimate

9、带状态观测器的状态反馈控制系统的状态变量图

跟踪正弦波

»T=1：300；plot(T/50,y(1：300,：))；ylabcl(y)；legend('系统’观测

,)；

»T=1:300；plot(T/50,xl(1：300,：))；ylabelCxi1)；legend。系统'「观

测J；

»T=1:300；plot(T/50,x2(1：300i：))；ylabclCx2,)；1egcndC系统'「观

测')；

跟踪阶跃信号

»T=l:500；plot(T/50,y(1:500,:))；ylabel(Ay!)；legend(「系统；观测〉

T=l：500；plot(T/50,xl(1:500,：))；ylabelCxif)；legend

'系统观测’）；

T=1:500；plot(T/50,x2(1：500,：))；ylabel(x21)；legend

'系统观测’）；

10、带状态观测器的闭环状态反馈控制系统的相关分析

带状态观测器的状态反馈系统由原系统、观测器和控制器三部分组成。

(1)'状态空间表达式

，一(x=Ax+Bu

设能控能观测的受控系统为..................①

[y=Cx

状态反馈控制律为u=r・Kk..................②

状态观测器方程为i=(A-LC)x+Bu+Ly..................③

由以上三式得整个闭环系统的状态空间表达式为：

'x=Ax-BKx+Br

<x=LCx+(A-LC-SC)x+Br即

y=Cx

15.38-56.92410.3851.9245

0.1-0.0200r-v0

-750[x-x+八

-00-50

000.1-250

X

y=[0100|A

1x-x

(2).闭环传递函数

带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵与是否采用观测器反馈无关，即等于直接

状态反馈闭环系统的传递函数阵，即，观测器渐进给出左并不影响组合系统的特性0

故，闭环传递函数G(s)=C(SZ-U-B7C)r'B=---------------------

s〜+13.45+5.2

(3)、闭环稳定性分析

由观测器构成状态反馈的闭坏系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式

和观测部分的特征多项式的乘积，两者相互独立。故可知其特征值即为状态反馈部分和观

测部分的特征根，即2|=-2022=・10几3=15久4=-°4均位于根平面的左半平面，故由

观测器构成状态反馈的闭环系统是稳定的，

五、结束语

(1)所作工作和内容总结

本次大作业我选择的是直流电机模型，通过对直流电机的结构与原理分析，从而构

造数学模型，把实际动态问题抽象出来，建立线性动态系统在状态空间的模型，然后运用

现代控制理论研究该系统在输入作用下状态运动过程的规律和改变这些规律的可能性与

措施；建立和揭示系统的结构性质、动态行为和性能之间的关系。

主要的处理内容有①列出状态空间表达式，化为对角标准型状态空间表达式并进行

分析。对于线性定常系统，若系统的特征值互异，则必存在非奇异变换阵P,经过x=的变

换，可将状态方程化为对角线标准型。②系统状态空间表达式的求解。求解一个系统的状

态空间表达式首先得求状态转移矩阵，线性定常系统在状态空间中任意时刻的状态是通过

状态转移矩阵由初始状态在某一时刻内的转移。③系统的能控性和能观性判断。状态方程

描述了输入引起状态的变化

过程，输出方程则