必修第8章 立体几何初步单元测试含答案

绝密★启用前第八单元立体几何初步单元测试卷高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：人教必修二2019第八单元立体几何初步。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】【分析】对于A：由m，n的位置关系是相交，平行或者异面即可判断；对于B:举反例：m是平面外的直线，当时，满足，不满足.即可判断；对于C：由可能相交，可能平行即可判断；对于D：利用线面垂直的性质可以证明.【详解】对于A：时，m，n的位置关系是相交，平行或者异面.故A错；对于B:若，m是平面外的直线，当时，满足，不满足.故B错；对于C：若，则可能相交，可能平行.故C错；对于D：由，则，又，由线面垂直的性质可得：.故D正确.故选：D2．（2022·河北张家口·一模）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.故选：D.3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【详解】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.故选：D4．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则该球的半径为(

)A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】A【解析】【分析】作出球的正视图，根据已知条件构造直角三角形，列关于球半径R的方程求解即可．【详解】如图为球的一个正视图，AB长度等于正方体棱长，AB中点为M，则MB＝4，球面恰好接触水面时测得水深为，cm，设球的半径为R，则CM＝R－2，CB＝R，∴在Rt△BCM中，，解得.故选：A.5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）用一平面截圆柱，得到如图所示的几何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为和，圆柱的底面直径为，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为的圆柱和高为的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果.【详解】作出几何体的轴截面如下图所示：则所求几何体是由一个底面直径为，高为的圆柱与一个底面直径为，高为的圆柱的一半构成，所求几何体体积.故选：A.6．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中假命题是（

）A．存在点F，使得平面B．存在点F，使得平面C．对于任意的点F，四边形均为平行四边形D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变【答案】B【解析】【分析】对于A，根据线面平行的判定判断即可；对于B，可知与平面一定相交，从而可知不正确；对于C，由面面平行的性质可判断；对于D，由体积公式可判断.【详解】对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，平面，平面，故A为真命题；对于B，因为平面，由正方体性质知与相交于一点，所以平面不可能，故B为假命题；对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，故C是真命题；对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故D是真命题.故选：B.7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））如图，在矩形中，，E为中点，把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，推导可得两两垂直，再补形成长方体，求出长方体的体对角线即可计算作答.【详解】依题意，，，平面，则平面，又，即有，则，因此可将三棱锥补形成以为相邻三条棱的长方体，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上，设球的半径为，则该长方体的体对角线长为，即，所以球O的表面积为.故选：C8．（2022·河南·模拟预测（理））已知球面被平面所截得的部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，若球的半径是R，球冠的高是h，则球冠的面积为．某机械零件的结构是在一个圆台的底部嵌入一颗小球，其正视图和侧视图均如图所示，已知圆台的任意母线均与小球的表面相切，则小球突出圆台部分的球冠面积为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知条件分别求出球冠的,，再根据球冠的面积公式求值即可.【详解】依题意，,,因为为等边三角形，所以，所以，因为，所以，所以，在中，，所以，所以在中，，，所以，所以，故选：.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9．（2022·全国·高一单元测试）有下列命题，其中错误的命题为（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面体【答案】ABD【解析】【分析】按照棱柱和直四棱柱、直平行六面体的定义判断即可.【详解】A选项，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，错，B选项，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定平行，错，C选项，它符合棱柱的定义，对，D选项，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，错，故选：ABD.10．（湖南省邵阳市、郴州市2022届高三下学期3月二模数学试题）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（

）A．平面EGHF B．平面ABCC．平面EGHF D．直线GE，HF，AC交于一点【答案】AD【解析】【分析】由条件可得，FH与AC为相交直线，即可判断ABC，EG与FH必相交，设交点为M，然后可证明，即可判断D正确.【详解】因为，所以.又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则.易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误.因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，所以平面ABC，平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确.故选：AD11．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，正确命题的序号是（

）A．与是异面直线； B．与平行C．与成角； D．与平行【答案】ABC【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．【详解】解：将正方体的展开图还原为正方体后，可得，异面；，平行；所以选项AB正确；连接，，可得为，所成角，且为；所以选项C正确；因为，，平面，可得平面，可得，所以选项D错误.故选：ABC．12．（2021·江苏省高淳高级中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（

）A．直线直线B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】对于：只需证明平面即可得到直线与直线不垂直；对于B：取，的中点，，根据题意得出平面截正方体所得的截面为，从而只需求三角形的周长即可；对于C：过构造平面与平行，过作，即为到直线的距离的最小值；对于D：构造两次线面垂直，得到点的轨迹为，由此能求出与平面成角正切的取值范围.【详解】对于：，，，，平面，平面，假设，又因为，，，平面，所以平面，此与平面矛盾，所以直线与直线不垂直，故选项错误；对于B：如图，取，的中点，，连接，，，．因为≌，所以，因为，所以，所以因为在正方体中，，所以因为，所以三垂线定理得，，，所以平面，所以截正方体所得的截面为，故周长为，故B正确；对于C：如图取则平面与平行，过作，因为面，面，所以，又因为，所以面，所以即为到直线的距离的最小值，，故正确；对于D：如图，取的中点，由证明选项B可知，面，又面，面，所以，，又因为在正方体中，分别为棱的中点，所以，，所以，，又因为，所以平面，故点轨迹为．在正方形中，当与重合时，最大；当时，最小．所以，因为平面，所以为与平面所成的角，，则与平面成角正切的取值范围是，故D正确．故选：BCD．第Ⅱ卷三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.【答案】【解析】【分析】先利用梯形面积公式得到直观图的面积，再利用直观图与原图形面积的倍数关系进行求解.【详解】直角梯形ABCD的面积，设原图形面积为，则，则这个平面图形的实际面积故答案为：14．（2022·江西·新余四中高三阶段练习（文））如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】法1：根据平面，得到，又，得到，进而得到平面，则，取PC的中点O，连接OA，OB，易知O为三棱锥外接球的球心求解；.法2：将三棱锥扩展为长方体，由外接球的直径为长方体的对角线长求解.【详解】法1：因为平面，平面，所以，，，又，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，如图所示：取PC的中点O，连接OA，OB，则，故O为三棱锥外接球的球心.而，故三棱锥的外接球的半径为，所以球的表面积为.法2：根据题意三棱锥可以扩展为如图的长方体.则为长方体的对角线，也是三棱锥外接球的直径.因为，，所以，故三棱锥的外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：15．（2021·河北·石家庄市第十七中学高三期中）如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】【解析】【分析】设，则，结合已知条件可求，从而可求底面半径，从而可求侧面积.【详解】连接AC．设，则为锐角且，又，所以圆锥的底面半径，圆锥的高，则该圆锥的体积为，解得，所以，，即母线长，所以侧面积．故答案为：.16．（2022·河南·三模（理））祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示.利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________.【答案】##【解析】【分析】构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可.【详解】构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边为2，1若底面积相等，则，解得：，下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，所以，所以截面面积为，由右图得到，所以，所以截面面积为，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体积，故答案为：四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用圆锥的体积公式直接求解即可；（2）连接，根据位置关系可知异面直线与所成的角即为或其补角，根据线段长度即可计算出的值，即可求解出异面直线所成角的大小.(1)由已知得圆锥的底面半径为，高为所以圆锥的体积为：；(2)连接，因为为的中点，为的中点，所以且，所以异面直线与所成的角即为或其补角，因为，，，所以平面，因为平面，所以，所以，所以异面直线与所成的角的大小为：.18．（2022·全国·高一单元测试）在如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，，点、分别为、的中点.(1)若，求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】【分析】（1）证明，，可证得平面，从而可得，再利用勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据求得的面积，再根据结合已知求得的值，即可得出答案.(1)证明：∵四边形是正方形，是的中点，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，而，∴，当时，，，，∴，∴，又，平面，∴平面；(2)解：由（1）可知，平面，，∴，∴，∴.19．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可求得剩余部分的体积，（2）利用等体积法求解即可(1)因为所以剩余部分的体积，(2)由（1）知，设三棱锥的高为，由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则，所以，解得.所以三棱锥的高为20．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））如图，半圆柱中，平面过上、下底面的圆心，O，且，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点.(1)在线段上是否存在点M使平面，若存在，给出证明；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)存在，证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取的中点P，连接NP，，根据题意可证得四边形是平行四边形，进而得出，结合线面平行的判定定理即可证明；(2)利用三棱锥的等体积法可得，结合三棱锥的体积公式直接计算即可.(1)存在，是的中点取的中点P，连接NP，，∵N是CO的中点，∴∵M是的中点，∴．∴四边形是平行四边形，∴．∵平面，平面，∴平面．(2)因为C是的中点，所以，又，所以，由，所以平面，所以，所以.21．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG，满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF．(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由；(2)若BC＝2AB＝4，∠BCF＝120°，设M是线段FC上一点，连结EM与DM．判断平面EDM与平面BCFD是否垂直？并求三棱柱ABC－EDF的侧面积.【答案】(1)四点共面，理由见解析；(2)垂直，.【解析】【分析】（1）由题可得，即得；（2）由题可得平面BCFD，进而可得ED⊥平面BCFD，即可判断，再利用面积公式可求侧面积.(1)A，C，F，E四点共面，证明如下：∵，，