衔接点04几何图形（原卷版）

衔接点04几何图形TOC\o"13"\h\z\u学习要求 1知识衔接 2题型探究 3题型1、割补法求面积（一）平移与对称 3题型2、割补法求面积（二）旋转 5题型3、和差法求面积 8题型4、整体代换法 11题型5、等积变换法求面积（体积） 12题型6、差不变思想（原理） 15题型7、容斥原理（韦恩图） 16题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 18题型9、立体图形的拼切重组问题 21基础通关 24拓展提优 29小学阶段初中阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的观察上，而要转入对其性质较为系统的研究。初中数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。衔接指引在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。1、基本公式圆柱体、圆锥体（:高；：面积；:底面半径）2、求几何图形面积常见方法及运用：1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合等面积法的思想能让我们的思维理念得到很大提升。和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或任意求出直角边的平方。差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲S空白=S乙S空白。容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。题型1、割补法求面积（一）平移与对称【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2024·甘肃·小升初模拟）下图是由两个边长是2分米的正方形拼成的，图中阴影部分的面积是（

）平方分米。A．2 B．4 C．8A．50.24 B．18.24 C．32 D．16例3．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知正六边形ABCDEF的面积是314平方厘米，那么阴影部分面积总和是()。（取3.14）变式1．（2024·黑龙江·小升初模拟）求阴影部分的面积。(1)图1中阴影部分的面积是()。(2)图2中阴影部分的面积是()。变式2．（2025·全国·小升初模拟）求下图中涂色部分的面积。变式3．（2025·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm）变式4．（2024·北京·小升初模拟）如图，四个半径均为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为。题型2、割补法求面积（二）旋转【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，正方形ABCD的面积为16cm2，则阴影部分的面积是（

）cm2。（π取3）A．4 B．6 C．7.5 D．9例2．（2024·河北·小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米。大三角形ABC的面积是()平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程）例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？变式1．（2024·陕西·小升初模拟）两个边长是4厘米的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个的中心上，阴影部分是重叠面积，求不重叠部分面积。变式2．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（取）变式3．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是()cm2。（π取3.14）变式4．（2024·甘肃·小升初模拟）如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米？题型3、和差法求面积【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2024·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm）例3．（2023·陕西西安·小升初真题）下图中正方形的边长是6厘米，分别以正方形的边长为半径和直径，作扇形、圆，求阴影部分的面积。（π取3.14）变式1．（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？变式2．（2024·湖北·小升初模拟）求下面阴影部分的面积。变式3．（2425六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？变式4．（2425六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。题型4、整体代换法【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。例1．（2024·浙江·小升初模拟）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（

）cm2。A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256例2．（2025六年级下·全国·专题练习）如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是()平方厘米，圆的面积是()平方厘米。例3．（2024·全国·小升初模拟）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？变式1．（2024·福建·小升初模拟）如下图，正方形的面积是50cm2，阴影部分的面积是()cm2。变式2．（2024·山东·小升初模拟）图中部分的面积是16平方厘米，半圆环的面积是()平方厘米。变式3．（2425六年级上·浙江杭州·期末）有三个大小不一样的正方形叠放在一起，它们有一个公共顶点。这样大正方形被分成了正方形区域甲、L形区域乙和L形区域丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比4∶5∶6，并且丙的面积为22，则甲的面积是。题型5、等积变换法求面积（体积）【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积、体积之间的关系。例1．（2024·浙江·小升初模拟）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？例2．（2024·全国·小升初模拟）如图是一张三角形ABC的硬纸块，D、E分别为边AC、BC上的点，且AE＝EC，CD＝2BD，连接BE、AD使得BE、AD相交于点F，已知三角形BDF的面积为5cm2，那么这张硬纸块的面积为()cm2。例4．（2024·江苏常州·小升初真题）如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是()厘米。例5．（2024·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为()。（结果保留）变式1．（2024·全国·小升初模拟）如图所示，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，且四边形EDFB的面积是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是()平方厘米。变式3．（2024·江苏·小升初模拟）在平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB，AG＝2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD面积。变式4．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？变式5．（2024·河南·小升初模拟）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？题型6、差不变思想（原理）【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差是多少？（单位：厘米）例2．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？例3．（2024·辽宁·小升初模拟）如图，长方形ABCD的长是10厘米，宽是8厘米。三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，涂色部分的面积是多少平方厘米？变式1．（2025·全国·专题练习）如图，大圆半径是5厘米，小圆半径是2厘米，涂色部分重叠在一起。大圆、小圆没有重叠的部分的面积相差多少平方厘米？变式2．（2024·四川·小升初模拟）如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。题型7、容斥原理（韦恩图）【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。重点要理解容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。例1．（2024·全国·小升初模拟）如图，正方形的边长为4厘米，分别以正方形的四边为直径作半圆，那么阴影部分的面积是．例2．（2024·全国·小升初模拟）如图，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝AC，以BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积．例3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。例4．（2324六年级·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

变式1．（2024·全国·小升初模拟）已知如图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示）变式2．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？变式3．（2025六年级下·全国·竞赛）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？变式4．（2024.广东六年级期中）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。例1．（2024·四川乐山·小升初真题）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种。三位同学的想法中，（

）。甲：（上底＋下底）×高÷2＝梯形面积乙：4÷2＝2（cm）（3＋5）×2＝16（cm2）丙：3×4÷2＝6（cm2）5×4÷2＝10（cm2）6＋10＝16（cm2）A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对例2．（2024·山东·小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这个长方形的长是cm，圆的面积是cm2。例4．（2024·浙江杭州·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是()平方厘米。例5．（2425六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。仔细观察这个等式，想一想：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？（1）请举2个例子验证：①102－62＝（

）×（

）

②

（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（

）×（

）（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（

）变式1．（2025·浙江·小升初模拟）把一个半径为5cm的草编圆形茶杯垫按下图所示的方法剪开，得到三角形的底是()cm，高是()cm，面积是()。变式2．（2024·江苏·小升初模拟）有一个正方形，如果先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形，那么面积比原来减少194平方分米。原来正方形的边长是多少分米？变式3．（2024·全国·小升初真题）如图，等边△ABC的边长是5，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在处，且点在△ABC外部，则阴影图形的周长等于()．变式5．（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长厘米。（π＝3）题型9、立体图形的拼切重组问题【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。例1．（2024·河北保定·小升初真题）用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加平方厘米。但无论怎样切，体积都是立方厘米。例2．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。例3．（2024·山东·小升初模拟）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是立方分米。例4．（2024·辽宁·小升初模拟）用个棱长的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色（如下图），剩下的几何体中三面涂色的小正方体个数是（

）。A．个 B．个 C．个 D．个例5．（2023·浙江宁波·小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。（1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（

）立方米和（

）立方米之间。”②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”请根据小锋的方法计算该泳池的容积。（2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（

）（3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（

）小时。变式1．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（

）。（圆周率取3）A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定变式2．（2024·海南·小升初模拟）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少()立方厘米。变式3．（2024·福建·小升初模拟）有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？变式4．（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有()cm2是蓝色的。变式5．（2025·全国·小升初模拟）把如图所示的正方体分成三个长方体，长方体A的表面积是长方体B表面积的，长方体C的表面积是长方体B表面积的，则长方体A的体积是长方体C体积的几分之几？1．（2024六年级·全国·竞赛）如图，已知大圆半径为6cm，四个小圆的面积相等。阴影部分面积是多少平方厘米？（分合割补法）2．（2025六年级下·河北·专题练习）求阴影部分的面积。（单位：厘米）3．（2024·新疆·小升初模拟）如图所示，阴影部分的面积是cm2。4．（2024·浙江·小升初模拟）ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（的值取3.14）5．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。6．（2425六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？7．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米）8．（2024·浙江宁波·小升初真题）下图中阴影部分面积为25平方厘米，∠AOB为直角，环形（两个圆之间的部分）的面积是()平方厘米。（π取3.14）9．（2024·江苏·小升初模拟）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降()厘米。10．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是()平方厘米。11．（2425六年级上·广东江门·期中）三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点，求阴影面积。12．（2024·江苏·小升初模拟）一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？13．（2024·河南南阳·小升初真题）将700毫升果汁倒入瓶子中，拧紧瓶盖。分别将瓶底朝下和朝上放置，如图所示。求瓶子的容积。15．（2324六年级·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。16．（2024六年级·全国·竞赛）如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米。阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？17．（2024六年级·全国·竞赛）三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？18.（2024六年级·北京·期末）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了()平方厘米。19．（2024·福建福州·小升初真题）聪聪在探究圆柱体积时，先把圆柱体拼成一个近似长方体，再把这个长方体侧放，他发现了一种更巧妙的方法（如图）。如果圆柱的底面半径是4厘米，侧面积是251.2平方厘米，这个圆柱的体积是立方厘米。20．（2024·江苏·小升初模拟）一个表面涂满红漆的圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米。若沿虚线（如图）切开后得到一些完全一样的小木块，这些小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增