高中数学必修一1.3.2《奇偶性》习题

《奇偶性》习题一、选择题1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，22．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()Af(－25)＜f(11)＜f(80)Bf(80)＜f(11)＜f(－25)Cf(11)＜f(80)＜f(－25)Df(－25)＜f(80)＜f(11)3．若函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x)(a∈R)，则下列结论正确的是()A任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数B任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数C存在a∈R，函数f(x)为奇函数D存在a∈R，函数f(x)为偶函数A(－2，0)∪(0，2)B(－∞，－2)∪(0，2)C(－∞，－2)∪(2，＋∞)D(－2，0)∪(2，＋∞)Af(π)>f(3)>f(2)Bf(π)>f(2)>f(3)Cf(π)<f(3)<f(2)Df(π)<f(2)<f(3)二、填空题7.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.三、解答题10.(14分)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋2|－2)11．(15分)设函数y＝f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，求证：f(x)是偶函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围

一、选择题1.A2.D解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(x)在[0，2]上恒大于等于0.又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－2，0]上也是增函数，且f(x)在[2，0]上恒小于等于0.易知x∈[2，4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4，6]上为减函数且f(x)≤0.如图．∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11)．3.C解析：当a＝1时，函数f(x)在(0，1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在．4.A解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2<x<0时，f(x)>0；x<－2或0<x<2时，f(x)<0.<0，即<0，可知－2<x<0或0<x<2.5.A二、填空题7.0解析：因为函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋2m(－x)＋3＝(m1)x2＋2mx＋3，整理，得m＝08.－1解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x<0时，f(x)＝x(1－x).当<0时，f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)．当0时，即，无解.9.－0.5解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，故f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.故f(6.5)＝－0.5.三、解答题10.解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1，}，不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．∴f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋2|－2)为奇函数．11.证明：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1，则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0又令x1＝x2＝－1，则f［－1×(－1)］＝2f()＝0∴(－1)＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝0＋f(x)＝f(x)，即f(x)为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．12.解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2