2024-2025学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1i的虚部等于(

)A.1 B.i C.−1 D.−i2.如果向量a，b是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是(

)A.a=1 B.a=b C.a3.某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为(

)A.400件 B.600件 C.1000件 D.1200件4.甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A=“甲元件故障”，事件B=“乙元件故障”，且P(A)=15，P(B)=16，则A.13 B.23 C.1305.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|aA.2 B.8 C.2或22 D.6.在△ABC中，∠C=π2，AC=3，BC=4，现以AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为(

)A.845π B.12π C.16857.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<πA.ω=23

B.φ=−π3

C.盛水筒出水后至少经过503秒就可到达最低点

D.盛水筒P在转动一圈的过程中，8.某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是(

)A.出现点数5 B.出现点数6 C.出现点数1 D.出现点数2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是(

)A.若复数z=(3+4i)⋅i，则|z|=5

B.若复数z1=2−i，z2=3+4i，则复数z1+z2在复平面内对应的点在第一象限

C.b≠0是复数a+bi(a,b∈R)为虚数的充分不必要条件10.下列论述正确的是(

)A.若事件M⊆N，则P(M)<P(N)

B.必然事件Ω与任意事件相互独立

C.若事件M，N互斥，且P(M)>0，P(N)>0，则P(M−∪N−)=1

D.若事件M，N相互独立，且P(M)>0，11.如图，正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是A.B1C⊥平面ACC1A1

B.直线AA1与底面A1B1C1所成的角为60°

C.正三棱台ABC−A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是______．13.设z∈C，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足1≤|z|≤2条件点Z的集合构成图形的面积为______．14.已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，则△ABC的周长的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=CC1=2．

(1)求证：直线DB//16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为217.(本小题15分)

一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同．

(1)若m=2，n=3，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；

(2)若m=4，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是47，求n；

(3)若m+n=10，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是P(n)，求P(n)的最大值．18.(本小题17分)

从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

(1)求x的值；

(2)若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119(kW⋅ℎ)；

(Ⅰ)估计105户居民用户月用电量落在[125,225)中的可能性；

(Ⅱ)将原来的100户与新增的5户分成两组，估计10519.(本小题17分)

在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为棱B1C1的中点，F为棱BB1的动点，连接AE、EF、AF．

(1)证明：AE⊥BC；

(2)线段BB1上是否存在点F，使得二面角A−EF−C的正切值为2，若存在，请求出BF的长度；若不存在，请说明理由；

(3)平面AEF与棱A1C1交于点

参考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.BCD

12.19

13.π

14.(1,15.(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//CC1//DD1，BB1=CC1=DD1，

则四边形BDD1B1是平行四边形，BD//B1D1，而BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，

所以直线DB//平面AB1D1；

(2)在长方体ABCD−A16.(1)因为m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n，

所以asinB−3bcosA=0，即asinB=3bcosA，

由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，

因为0<B<π，所以sinB≠0，所以sinA=3cosA，

显然cosA≠0，所以tanA=sinAcosA=3，

又因为0<A<π，所以A=π3；

(2)因为△ABC的面积为23，A=π3，

所以12bcsinA=117.(1)记2个红球为a1，a23个白球为b1，b2，b3，依次取出2个球的样本空间Ω，

Ω=|a1a2，a1b1，a1b2，ab3，a2a1，a2b1，a2b2，a2b3，b1a1，b1a2，b1b2，b1b3，b2a1，b2a2，b2b1，b2b3，b3a1，b3a2，b3b1，b3b2}共2018.(1)根据题意可得(0.0024+0.0036+0.006+x+0.0024+0.0012)×50=1，解得x=0.0044；

(2)若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119(kW⋅ℎ)，

(Ⅰ)因为100户居民用户中月用电量落在[125,225)内的用户数为100×(0.006+0.0044)×50=52，

所以估计105户居民用户月用电量落在[125,225)中的可能性为52+2105≈51%；

(Ⅱ)根据题意可得来的100户的月用电量的平均数估计为：

50×0.12+100×0.18+150×0.3+200×0.22+250×0.12+300×0.06=161(kW⋅ℎ)，

又新增加5户居民用户的月用电量的平均数为74+112+174+221+1195=140(kW19.(1)证明：连接AC1，AB1，由题意可得四边形ACC1A1，四边形ABB1A1都是边长为2的正方形，

则AC1=AB1，又E为棱B1C1的中点，

则AE⊥B1C1，

又BC/​/B1C1，故AE⊥BC；

(2)取BC中点O，连接AO，CF，过点O作OH⊥EF于点H，连接AH、OE，

由△ABC为正三角形，则AO⊥BC，又BB1⊥底面ABC，

AO⊂平面ABC，故BB 1⊥AO，

又BC∩BB1=B，BC、BB1⊂平面EFC，

故AO⊥平面EFC，又OH、EF⊂平面EFC，

故AO⊥OH，AO⊥EF，又OH⊥EF，OH∩AO=O，OH、AO⊂平面AHO，

故EF⊥平面AOH，又AH⊂平面AOH，

故EF⊥AH，

故∠AHO即为二面角A−E