2024-2025学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,6,7,8}，A={1,2,3,6}，B={2,3,6,8}，则∁U(A∩B)=(

)A.{1,7} B.{1,7,8} C.{2,3,8} D.{1,2,3,6,8}2.已知p：a=b,q：2aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.对变量x，y有观测数据(xi,yi)(i∈N∗)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i∈N∗)A.变量x与y呈现正相关，且|r1|<|r2| B.变量x与y呈现负相关，且|r1|>|r2|

C.变量x4.下列函数中是偶函数的是(

)A.f(x)=x3−3x2 B.f(x)=|25.已知a=20.2,b=log23,c=log9A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c6.已知投篮一次命中的概率为p，每次投篮的结果相互独立，设投篮六次命中的次数为随机变量X，若P(X=1)=P(X=2)，则p=(

)A.14 B.13 C.127.由如表所示的变量x，y之间的一组数据，得x，y之间的线性回归方程为y=−0.5x+10.5，则(

)x681012y7t5.54.5A.点(8,t)一定在回归直线上

B.x每增加1个单位，y大约增加0.5个单位

C.t=7

D.去掉(12,4.5)这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大8.已知在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球.从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子，在摸出白球的条件下，白球放入A盒的概率是(

)A.14 B.13 C.129.如图，多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC=BC=2，∠ACB=120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为(

)A.263

B.63

二、填空题：本题共6小题，共30分。10.i为虚数单位，若复数z满足z⋅i=3+i，则共轭复数z−11.在(x2−4x)12.设随机变量X～N(0,1)，且P(X<1)=0.7，则P(X<−1)=______(用数字作答)．13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为

，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

．14.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M是BC的中点，AN=23AC，设AM与BN相交于点P，若BP=μBN，则μ=

，15.已知函数f(x)=log2x,1+4x>lo三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5sinA=4sinB,cosC=18，csinA=372．

(1)求a的值；

(2)求c的值；17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D，E分别在棱.AA1、CC1上，CE=A1D=2AD，M为棱A1B1的中点．

(1)求证：C1M/​/平面B1ED；

(2)若CC1⊥18.(本小题15分)

晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式.某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查.得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人．

(1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生1040女生60合计100(2)计算χ2，并依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？

(3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

参考公式及数据：χ2α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形，PD=2，底面四边形ABCD满足，AB⊥AD，AB//CD,AB=AD=12CD=1．

(1)求证：平面PBD⊥ABCD；

(2)求三棱锥P−ABD外接球的体积；

(3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC所成角的大小为20.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+π6)+cos(ωx−π6),ω>0．

(1)将函数f(x)化简为Asin(ωx+φ)的形式(其中A>0，ω>0)；

(2)若ω=1，求函数y=f(x)在x∈[0,π]的取值范围；

(3)a>π(a∈R)，f(x)的最小正周期为参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.A

10.1+11.−84

12.0.3

13.0.0525；314.35；315.(1,2)

16.(1)根据题意可知，csinA=372，由正弦定理得asinC=372=a×1−cos2C=a×378，∴a=4；

(2)∵5sinA=4sinB，由正弦定理得5a=4b，∴b=5且cosC=18，

∴由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=16+25−2×4×5×17.(1)证明；取B1D中点N，连接MN，NE，

因为M，N分别是A1B1，B1D中点，

所以MN/​/A1D，且MN=12A1D，

因为CE=A1D=2AD，所以C1E=12A1D，

所以C1E//NM，且C1E=NM，

所以四边形C1ENM是平行四边形，

所以C1M//EN，

又因为C1M⊄平面B1ED，EN⊂平面B1ED，

所以C1M/​/平面B1ED；

(2)解：①建立如图所示空间直角坐标系：

则C1(0,0,3)，M(1,1,3)，E(0,0,2)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，

所以B1D=(2,−2,−2)，B1E=(0,−2,−1)，

设平面B1ED的一个法向量为：m=(x,y,z)，

则B1D⋅n=0B1E⋅n=0，即2x−2y−2z=0−2y−z=0，

令z=2，则x=1，y=−118.(1)根据题干补全2×2列联表如下所示：喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生301040女生303060合计6040100(2)将(1)中数据代入公式可以求得：χ2=100×(30×30−10×30)260×60×40×40=254=6.25<6.635，

依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，可以得出推断喜欢晨跑与性别无关；

(3)由题易知抽取10的名学生中，

男生为4040+60×10=4人，女生为6040+60×10=6人，

则X的所有可能取值为0，1，2，3，X01234P18341将表格数据代入期望公式可得：E(X)=0×119.(1)证明：因为四边形PDCE为矩形，

所以PD⊥CD，因为平面PDCE⊥平面ABCD，

平面PDCE∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PDCE，

所以PD⊥平面ABCD，又PD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面ABCD；

(2)解：由(1)知PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，

所以Rt△PBD的外心O为BD的中点，则OG//PD，所以OG⊥平面ABCD，

因为AB⊥AD，所以Rt△ABD的外心G为BD的中点，

所以点为O三棱锥P−ABD外接球的球心，

又PD=2,BD=1+1=2，

所以外接球的半径R=12PB=122+2=1，

则三棱锥P−ABD外接球的体积为4π3；

(3)解：因为AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，

所以以D为原点，以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

所以A(1,0,0),P(0,0,2),F(12,0,22),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,2,2)，

设线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的大小为π6，

设Q(x1,y1,z1),PQ=λFE,λ∈[0,1]，

则(x1−12,y1,z1−22)=λ(−12,2,20.(1)由题意得f(x)=sinωx+cosωxcosπ6−