四川省2024–2025学年高三数学上学期11月月考试题【含答案】

/(满分:150分时间：120分钟）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，由交集运算即可求解.【详解】解：所以故选：A．2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解.【详解】由得，则.故选：C.3.已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.【详解】因为，所以，.故选：D.4.已知为奇函数，则曲线在点处切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的定义求出，求出导数并利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】由函数为奇函数，且定义域为，得，解得，函数，，是奇函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：D5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解.【详解】由条件可知，，即，得，所以.故选：D6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断.【详解】函数的定义域为，且，，是奇函数，排除选项C和D，当时，，排除选项B.故选：A．7.设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，则问题等价于时，hx只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可；【详解】令，得，即，设，则问题等价于时，hx只有一个零点，由函数的单调性可得hx在时单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是0,3.故选：A.8.已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，先探求必要条件，再证明当时在恒成立，通过先放缩再构造函数，对函数，分和两种情况讨论，研究函数的单调性和最值即可求解.【详解】当时，不等式恒成立，设，所以在恒成立，所以，解得，下面证明：当时，恒成立．因为，所以.设，，其中.则，其中，（i）当时，由知恒成立，即在为增函数，所以成立；（ii）当时，设，可得，由知恒成立，所以，即在上单调递增．所以，即在上单调递减，所以成立，综上所述，当时，恒成立，即不等式恒成立.所以若不等式恒成立，则实数的取值范围是.故选：A.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：（1）通过运算对不等式进行等价变形，从而构造新函数转化为函数的最值问题求解.利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）分离参数法.不等式中参数易于分离，且分离后具体函数的导数运算及性质研究都可求解，则先分离再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）若参数与变量分离后并不易求解，可以考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是（）．A.命题“，”的否定是“，”B.的最小值是2C.若，则D.的最小正周期是【答案】ACD【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断选项A；由基本不等式使用的条件可判断选项B；在单调递增，即可判断选项C；由正弦型函数的最小正周期公式计算即可判断选项D.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“，”否定是“，”，故A正确；当时，，的最小值是2，当时，，的最大值是，故B错误；单调递增，若，则，故C正确；的最小正周期为：，故D正确.故选：ACD10.中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（）A. B.为定值C. D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A选项；由中线的性质和向量数量积的运算有，求值判断B选项；C选项，由，结合余弦定理求的值；D选项，中，余弦定理得，结合均值不等式求解.【详解】A．，故A正确；B．，故B正确；C．，，由余弦定理知，，即，化简得，故C错误；D．，当且仅当时等号成立，由于，所以的最大值为，故D正确；故选：ABD．11.已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.不可能是的零点C.若在区间上有且仅有2个对称中心，则D.若在区间上单调递减，则【答案】ABD【解析】【分析】根据对称性可得，即可求解A，根据即可求解B，利用对称性与周期的关系可得即可求解C，利用单调性与周期的关系即可求解D.【详解】直线是函数图象的一条对称轴，则，解得，又，则的最小值为，故A正确；假设是的零点，则，解得，与，矛盾，假设不成立，故B正确；设函数的周期为直线是函数图象的一条对称轴，在区间上有且仅有2个对称中心，，即，解得，又，故C错误；在区间上单调递减，则必有，即，此时符合题意，故D正确.故选：ACD三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.在中，若，且，则的外接圆的面积为________________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，设，，，由余弦定理和同角的平方关系求出，再利用正弦定理和圆的面积公式计算即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，设，，，，则，由正弦定理得，（为外接圆半径），得，则外接圆面积为，故答案为：13.已知函数，若，，且，则的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以函数单调递增，又，所以，所以，即，所以，当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数.表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位)【答案】0.84【解析】【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解.【详解】令，则，，，，故，由麦克劳林公式得，，所以.故答案：0.84.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在等比数列中，公比，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法可得数列的前项和．【小问1详解】由及，得，两式相减，得，即，所以，由，得，所以，解得，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1），得，

所以.16.如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．（1）证明：；（2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；（2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.小问1详解】因为三角形是等边三角形，且E是中点，所以，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因为面，所以，因为，，所以，，所以，即，因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以；【小问2详解】设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知得，设，则、设平面的法向量为，则，令，有，设直线与平面所成的角，所以，当且仅当时取等号，当时，直线与平面所成角最大．17.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．（1）求抛物线E的方程；（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线【小问1详解】设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，故抛物线的标准方程为：；【小问2详解】设直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，即，设Ax1,y1因为点A、B在第一象限，所以，故，设B关于x轴的对称点为，则直线的方程为，令得：．直线过定点．【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线18.已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况；（2），定义域为0,+∞，求导，得到φx的单调性及，根据得到实数a的取值范围.【小问1详解】，定义域为0,+∞，则，因为函数在处取得极大值，所以，解得或2，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在12,1上单调递减，此时为极小值点，不合要求，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，满足要求，综上，，有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】，定义域为0,+∞，则，因为，所以，令φ'x>0得，令φ'故φx在上单调递减，在上单调递增，则，令得，，解得，故实数a的取值范围是.19.某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表:质量指标值质量指标等级废品合格废品为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图:（1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值;（2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表:质量指标值利润（万元）以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解.（2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围.【小问1详解】由中位数为87.5，得，则，由平均值为8