自动控制原理 教案 项目7 线性离散控制系统的分析

项目名称项目七线性离散控制系统的分析

离散控制系统的相关概念及其特点，采样的过程和采样信号的保持。离散控制

系统中应用到的Z变换方法及Z变换的基本定理。差分方程及其求解方法，脉冲

教学内容传递函数的定义及其求取方法。离散控制系统的动态性能分析，闭环极点位置与动

态响应的关系，离散控制系统的稳定性判据及稳态误差。应用MATLAB对离散控制

系统进行数学模型处理，动态响应分析和稳定性分析的方法。

授课时间授课学时

1.了解离散控制系统的基本概念及信号的采样与保持过程。

2.掌握差分方程和脉冲传递函数的定义及其求解方法。

学习目标3.掌握离散控制系统的动态性能分析方法。

4.掌握离散控制系统的稳定性判据和稳态误差的求取方法。

5.掌握应用MATLAB对离散控制系统进行分析的基本方法。

1.具备Z变换求解、差分方程求解和脉冲传递函数求解的能力，

教学目标

技能目标2.具备离散控制系统的动态性能分析和稳定性分析的能力。

3.具备应用MATLAB对离散控制系统进行分析的能力。

1.培养持续学习的能力，学会独立思考，勇于创新，树立与时俱进的思

素养目标想观念。

2.培养灵活的思维能力，树立自信，勇于挑战，做最优秀的自己。

通过对本项目的学习，理解离散控制系统的相关概念及其特点，采样的过程和

采样信号的保持。掌握离散控制系统中Z变换方法及Z变换的基本定理。掌握差

分方程及其求解方法，脉冲传递函数的定义及其求取方法。掌握离散控制系统的动

学情分析

态性能分析，闭环极点位置与动态响应的关系，离散控制系统的稳定性判据及稳态

误差。熟练应用MATLAB对离散控制系统进行数学模型处理，动态响应分析和稳定

性分析的方法。

学生通过课前预习、查阅相关资料，课堂上紧跟着老师的思路，做好随堂笔记，

对老师所讲的底容要理解，课后要勤加练习、反思总结等方法进行本章节的学习。

教学方法

学生可以通过电脑根据在课堂上所学习的内容，反复的操作实践验证；实训课上要

加强训练，同学之间要相互讨论。

教学媒介教材、配套的PPT课件、多媒体教案等

教学过程

教学环节教学内容

在控制工程中，根据系统中信号的性质不同，控制系统通常分为连续时间控制

系统(简称连续控制系统)和离散时间控制系统(简称离散控制系统)两大类。在前面

几个项目中所研究的控制系统，各个变量都是连续型的时间函数，它们在任何时刻

教学引入，▼一

都有确定的值，这样的系统称为连续控制系统。离散控制系统与连续控制系统相比

较，在研究方法上既有相似之处，又有自己的特点。本项目主要介绍离散控制系统

的基本概念、线性定常离散控制系统的数学模型、离散控制系统的动态性能分析和

稳定性分析。

一、明确教学目标

二、教学内容“线性离散控制系统的分析”

任务一离散控制系统概述

一、离散控制系统的相关概念与特点

(一)相关概念

(1)连续信号。连续信号是指在整个时间范围内均有定义的信号，它的幅值可以

是连续的，也可以是断续的。

(2)模拟信号。模拟信号是指在整个时间范围内均有定义的信号，它的幅值在某

一时间范围内是连续的。模拟信号是连续信号的一个子集，在大多数场合与很多文

教授新知献中，二者均指模拟信号。

(3)离散信号。离散信号是指仅在各个离散时间瞬时上有定义的信号，在时间上

是离散的。而它的幅值可以是离散的，也可以是连续的。

(4)采样信号。采样信号是指取模拟信号在离散时间上的值构成的信号序列。在

很多场合，我们提及的离散信号就是采样信号。

(5)数字信号。数字信号是指在时间上和幅值上都是离散的信号，它是幅值整最

化的离散信号。

(6)采样。采样是指将模拟信号按一定时间通过采样装置转化成离散信号的

过程。

(7)量化。量化是指采用一组数码来逼近离散信号的幅值，并将其转化成数字信

号的过程。

1.连续控制系统

连续控制系统是指控制系统中所有的信号都是时间变量的连续函数。

2.离散控制系统

离散控制系统是指控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列形式或数字序列形

式。通常，若离散信号为脉冲序列形式，则该离散控制系统称为采样控制系统。

(二)离散控制系统的特点

1.采样控制系统的特点

采样控制系统的特点如下。

(1)在连续控制系统中的一处或几处设置取样开关，对被控对象进行断级控制。

(2)通常采样周期远小于被控对象的时间常•数。

(3)采样开关合上的时间远小于其断开的时间。

(4)采样周期通常是相同的。

2.数字控制系统的特点

数字控制系统具有以下特点。

(1)它是由数字计算机构成的数字控制器，其控制规律由软件实现。因此，与

连续控制系统中的模拟控制装置相比，其控制规律修改调整方便，控制灵活。

(2)数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高系统的抗干扰能力。

(3)可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。

(4)可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，且经济性好。

二、采样过程与采样定理

(一)采样信号的数学表示

一个理想采样开关可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列57(/)的幅值调制

器，即理想采样开关的输出信号e")是连续输入信号e")调制在载波37⑺上的结果。

信号的采样过程如下图。

当/V0时，e(z)=O,用数学表达式描述上述调制过程，则有

e(%)=e(Z)3T(i)=e⑴2-nT)

n=0

(二)采样信号的拉氏变换

对采样信号e(f)进行拉氏变换，可得

X8

『(.$)二=L[2"仃)仇一仃)]=

（三）连续信号与采样信号频谱的关系

连续信号破。的频谱E（j“）是频域中的非周期连续信号如下图

采样信号e⑺的频谱£。①）如下图，它是连续信号e”）的频谱£（jc。）以采样角

|£（加）「

/、/、八八八/、

-----------_K_i<->---------►

C・2%-3.一/053.2叫3

（C）当3<小时采样信号频谱

（四）香农采样定理

香农采样定理指出，如果采样开关的输入信号e（。具有有限带宽，即具有最大

角频率为例的频率分量，若要从采样信号e⑺中不失真地恢复信号e（。，则采

样角频率5必须满足条件：C0s>2（0ho

（五）采样展期的选取

采样周期7越小，即采样角频率3s越高，控制过程的信息则获得越多，控制

效果也会越好。但是，采样周期T选得过小，将增加不必要的计算负担，而且采样

周期r小到一定的程度时，再减小就失去实际意义了。反之，采样周期T选得过

大，会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，甚至有可能导致整个控

制系统失去稳定。

三、采样信号的保持

零阶保持器将前•一采样时刻nT的采样值e（nT）一直保持到下一采样时刻

（般+1）7到来之前。

（一）零阶保持器的传递函数

设零阶保持器的传递函数为5G），给零阶保持器输入一个理想单位脉冲况/）,

则其单位脉冲响应函数gh（t）是幅值为1、持续时间为T的矩形脉冲。

对单位脉冲信号力Q）和单位脉冲响应函数外⑺分别取拉氏变换，得到的零阶

保持器的传递函数为

/、,、L[gh（z）]1e-n1-e-n

C,1（$）=£[3（0]丁丁

（二）零阶保持器的特性

零阶保持器的频率特性为

=2e3/2（eam・e3"）=小九叫四,

凡（地）二

jw2jwT（o/2

零阶保持器的幅频特性为

27rsinir（①/①、）|sinF（3/”）|

G（汝）I=-----------------=T-------------------

TT（a）/a））or（a）/a）j

零阶保持器的相频特性为

（I）

4GW）=-仃

零阶保持器具有低通特性和相角滞后特性。

任务二离散控制系统的数学模型

一、数学基础

在离散控制系统中，需要通过Z变换来对系统的数学模型进行转化。Z变换是

研究线性离散系统的重要数学工具，它是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，也

称采样拉氏变换。

（一）z变换的定义

采样信号e（/）的拉氏变换为

X

E*（s）=£e（"?L

n=0

采样信号。匚⑺的z变换定义为

E(z)=Z[e()]=E*(5),=

"J■感n=0

式中，E(z)就是离散时间函数e(/)的Z变换。

(二)Z变换方法

1.级数求和法

Z变换定义有明确的物理意义，即变量z-n的系数代表连续时间函数在采样时

刻nT上的采样值。根据Z变换的定义，并将连续信号e(t)按周期T进行来样，，

可得

E(z)=e(O)+e(T)z_,+e(2r)z-2+…e(nT)z-K+•••

最后求出上式的闭合形式，即可求得月(z)。

2.部分分式法(查表法)

已知连续信号的拉氏变换双$),将E(s)展开成各部分分式之和，即

£(s)=E|(s)+&(s)+…+区(s)

每一个部分分式E(s)都是Z变换表中所对应的标准函数，其Z变换可查表

得出

E(z)="z)+&(z)+…+"z)

(三)Z变换的基本定理

应用Z变换的基本定理，可以使Z变换的应用变得更为方便，常用的Z变换

定埋如卜。

1.线性定理

2.实数位移定理

3.复数位移定理

4.终值定理

5.卷积定理

(四)Z反变换

已知表达式£(z),求相应离散序列e(nT)的过程，称为Z反变换，记为

e(nT)=Z-l[E(z)]

1.部分分式法(查表法)

部分分式法先将已知的E(z)分解为部分分式，再通过查Z变换表找出相应的

e⑺，或者考虑到Z变换表中，所有Z变换函数E(z)在其分子上都有因

子z,因此，通常先将&z)/z展成部分分式之和，然后将等式左边分母中的z乘到

等式右边各分式中，再逐项查表进行Z反变换。

示例可参考书中【例7-3】。

2.某级数法(长除法)

由于变量z-”的系数代表连续时间函数在时刻上的采样值，因此，若£(z)

是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷项基级数的展开式，再根

据花的系数便可以得出时间序列e(nT)的值。

示例可参考书中【例7-4】。

二、离散系统的数学模型

(一)差分方程

1.差分的定义

离散函数两数之差为差分。差分乂分为前向差分和后向差分。

一阶前向差分定义为

4/U)=/U+1)

二阶前向差分定义为

A——A[4/W]=/(/+2)-纨A+1)+/(*)

〃阶前向差分定义为

Nf(k)=V(k+1)-A"-，")

一阶后向差分定义为

WW=/U)-1)

二阶后向差分定义为

V7(A-)=V[Vf(A-)]=/(A)-2f(A-1)+/U-2)

n阶后向差分定义为

VTU)=v"7U)-—1)

2.差分方程的定义

n阶后向差分方程为

c(k)=-Xaic(k-t)+fbjMk-j)

i=I；=0

也称为〃阶线性常系数差分方程，它在数学上代表•个线性定常离散系统，也

可以用〃阶前向差分方程来描述，即

nm

c[k+n)=-2aic(k+n-i)+，bj(k+m-j)

3.差分方程的解法

工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和Z变换法。

(1)迭代法c

若已知差分方程，并且给定输入序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机

上通过迭代一步一步地算出输出序列，称为迭代法。

示例可参考书中【例7-5】。

(2)Z变换法。

用Z变换求解差分方程与用拉氏变换求解微分方程类似，即将时域内的差分方

程转换为Z域内的代数方程，求出代数方程的解后，再进行Z反变换，求出系统在

各采样时刻的输出响应。

示例可参考书中【例7-6】o

(二)脉冲传递函数

1.脉冲传递函数的定义

如果系统的初始条件为零，输入信号为/V)，采样/•⑺后的Z变换函数为

R(z),系统连续部分的输出为c⑺,采样后c⑺的Z变换函数为C(z),则线性

定常离散控制系统的脉冲传递函数定义为：系统输出采样信号的Z变换与输入采样

信号的Z变换之比，即

Z[c*(/)]C(z)

G(z)=-------------=-

Z[r*(O]R(z)

2.开环系统的脉冲传递函数

当开环离散系统由多个环节串联组成时，由于采样开关的数目和位置不同，求

出的开环脉冲传递函数也不同。

(1)串联环节之间有采样开关。

(2)串联环节之间无采样开关。

(3)零阶保持器与环节串联。

3.闭环系统的脉冲传递函数

闭环离散系统的脉冲传递函数为

//、C(z)C(z)

=-----=--------;---

R(z)l+GH(z)

闭环离散系统的误差脉冲传递函数为

叱«)=需1+C1H(z)

任务三离散控制系统的性能分析

一、动态性能分析

分析离散控制系统的动态性能，通常先求取离散控制系统的阶跃响应序列，再

按动态性能

指标的定义来定量计算。

(-)离散控制系统的动态响应分析

设离散控制系统的闭环脉冲传递函数3(z)=C(z)/A(z)，则系统单位阶跃响应的

Z变换为

C(z)=/?(z)0(z)=-^—0(z)

(z-1)

通过Z反变换，可以求出输出信号的脉冲序列C⑺。若离散控制系统时域指

标的定义与连续控制系统相同，则根据单位阶跃响应序列C(/)，可以对离散控制

系统的动态性能定量计算。

示例可参考书中【例7-7】o

(-)闭环极点位置与动态响应的关系

离散控制系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布，对•系统的动态响应

具有重要的影响。明确它们之间的关系，对离散系统的定性分析具有指导意义。

二、稳定性与稳态误差

与线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差是线性定常离散系统分

析的重要内容。

(­)S平面与Z平面的关系

在Z平面上分析离散系统的稳定性，可以借助于连续系统在S平面上稳定性

的分析方法。

S平面与Z平面存在如下映射关系。

(1)QVO,S平面上闭环极点位于虚轴左侧，系统稳定，对应在Z平面上，z<\,

闭环极点在单位圆内。

(2)o=0,S平面上闭环极点位于虚轴.匕系统临界稳定，对应在Z平面上，

2=1,闭环极点在单位圆上。

(3)0>0,5平面上闭环极点位于虚轴右M，系统不稳定，对应在Z平面上，z>l,

闭环极点在单位圆外。

左半S平面映射到Z平面上为单位圆内，如下图。

(二)Z平面内的稳定条件

由S域到Z域的映射关系及连续系统的稳定判据，可知：

(1)S左半平面映射为Z平面单位圆内的区域，对应稳定区域。

(2)S右半平面映射为Z平面单位圆外的区域，对应不稳定区域

(3)S平面上的虚轴，映射为Z平面的单位圆周，对•应临界稳定情况，属不稳

定。

线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：系统闭环脉冲传递函数的全部极点

分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内，或者系统所有特征根的模小于lo

(三)离散系统的稳定性判据

1.W变换与力域中的劳斯稳定判据

经过w变换之后，判别特征方程1+G”(z)=0的所有根是否位于Z平面上

的单位圆内，就转换为判别特征方程1+GH(w)=0的所有根是否位于延左半平

面。这与在S平面上应用劳斯稳定判据的情况一样，因此根据％域中特征方程的

系数，可以直接应用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性，称为匹域中的劳斯稳

定判据。

2.二次项特征方程稳定性的Z域直接判别法

当离散系统的特征方程最高为二次项时，不必进行力变换，也不必求其根，

可以直接在Z域判别系统稳定性。

设系统的特征方程为

2

Z)(z)=z+QR+a0

式中，m,a。均为实数，当同时满足下列三个条件时，系统是稳定的。

(1)\D(z)\=["。<lo

(2)D(l)=1+a,+a0>0o

(3)D(-1)=1-4+a0>0o

(四)离散系统的稳态误差

稳态误差是分析和设计控制系统的一个主要性能指标。在连续控制系统中，稳

态误差的计算可以通过两种方法进行，一种是建立在拉氏变换终值定理基础上的计

算方法，另一种是从系统误差传递函数出发的静态误差系数法。

1.一般方法(利用终值定理)

2.静态误差系数法

任务四应用MATLAB进行离散控制系统分析

MATLAB可用于对离散控制系统进行数学模型处理、系统稳定性分析等。

一、数学模型处理

(-)Z变换和Z反变换

MATLAB符号工具箱中的函数ztrans和iztrans分别用于求符号表达式的Z变

换和Z反变换，其调用格式为

F=ztrans(f)

F是缺省独立变景〃的关于符号向