人教A版高中数学必修二学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1

2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90°.梳理定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°类型一直线与平面垂直的定义例1如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．跟踪训练1如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于F，求证：PB⊥平面AEF.证明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.类型二直线与平面所成的角例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．解(1)∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O,A1B)＝eq\f(1,2)，又∠A1BO∈[0°，90°]，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.反思与感悟求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2如图，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，求直线AS与平面SBC所成的角．解因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此，AB＝AC.如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a，则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°.1．下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行 B．相交C．异面 D．垂直答案A解析若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°答案A解析∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.故选A.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．4B．2C．3D．1答案B解析对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．3．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l⊂α B．l⊥αC．l∥α D．l⊂α或l∥α答案D解析结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.4．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC答案C解析∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC.5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°答案C解析由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故选B.二、填空题9．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)10．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．答案2解析因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△PAC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M.又C1M⊂平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.三、解答题12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，求证：AD⊥平面PAB.证明在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2eq\r(2)，可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．(1)证明∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面ABCD.∵又AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．∴三棱锥C－BDB1的体积为eq\f(4,3).四、探究与拓展14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则