第15讲重难点专题拓展二次函数综合之六种存在性问题（6知识点6大核心考点过关测）

第15讲重难点专题拓展：二次函数综合之六种存在性问题（6知识点+6大核心考点+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01：等腰三角形存在性根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．知识点02：直角三角形存在性在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．知识点03：相似三角形的存在性寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。根据相似三角形的性质列方程求解：导边处理：若已找到一组相等角，可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。导角处理：根据“有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A=∠D，则讨论∠B=∠E或∠B=∠F的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。知识点04：平行四边形的存在性1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解常见设问:已知A、B，求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形分类讨论:当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可知识点05：矩形、菱形、正方形存在性1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。知识点06：梯形存在性问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。【题型一：等腰三角形存在性】(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(2)是正方形，理由见解析；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键．(1)求b、c的值；【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）由待定系数法即可求解；作点D关于直线的对称点，交于点T，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键．(1)求该抛物线的函数表达式；【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式（2）如图：点M是新抛物线对称轴上的一点，【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．(1)求抛物线的顶点M的坐标；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合)【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（3）连接，设与x轴相交于点K，【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键．【题型二：直角三角形存在性】(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合)【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；∵点B平移后得到的点C在x轴上，∴抛物线向上平移了3个单位，∴，【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键．(1)求点A、点B的坐标．【知识点】用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．(1)求抛物线的解析式；【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解（3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)求抛物线的表达式；(2)直角三角形，见解析(3)D【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键．（2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定；【详解】（1）解：依题意得：如图：故答案为D．【题型三：相似三角形存在性】(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）由待定系数法即可求解；【详解】（1）解：由题意得：又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，∴点O与点C对应，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键．(1)求此抛物线的表达式及点坐标；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求角的正弦值、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)【分析】（1）根据抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可；本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．②存在点在射线上，

(1)求抛物线的表达式；【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键．(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；①当t为何值时，线段的长最大；【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合如图1，（3）解：存在．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质．【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、公式法解一元二次方程、特殊四边形(二次函数综合)【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（）利用待定系数法即可求解；【题型四：平行四边形存在性】(1)求抛物线的解析式；(2)当点位于的中点时，求点M的坐标；(3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）将点A，点B坐标，利用对称性可求抛物线的对称轴；（2）先求出直线解析式，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．点位于的中点，（3）解：若为边，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点与点重合，若为对角线，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等：（1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标；(2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）．【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可；∵是的垂直平分线，②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，∵点E在抛物线上，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值(3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标(2)【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键．∵点B的横坐标为2．∴线段的长为整数；∴点的横坐标为，【题型五:矩形、菱形、正方形存在性】

(1)求该抛物线的表达式；(2)0或1【知识点】待定系数法求二次函数解析式、正方形性质理解、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；【详解】（1）解：根据题意得：综上所述，m的值为0或1．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)求该抛物线的表达式；【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，如图，【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离；【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可；（2）解：如图，被y轴平分，∴为对角线，设点D到的距离为h，【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．(1)求点A、B的坐标；【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、正方形性质理解、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式（2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可．（2）解：存在，理由如下：【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．(1)求这条抛物线的表达式；(2)【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）用待定系数法即可求解；【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点问题、一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．(2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点．【答案】(1)【知识点】y=a（xh）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键.【题型六：梯形的存在性】(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）．【答案】(1)y＝﹣x2+3x；(2)（0，4）；(3)（2，1）或（2，﹣1）．【知识点】待定系数法求二次函数解析式、梯形、利用平行四边形的判定与性质求解、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．【详解】（1）解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），∴16a+12＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x；（2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D的坐标为（2，3）．∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，∴B（4，2）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（0，4）；（3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．分两种情况：①如图1所示，∵DMBC，∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝BC，∴3﹣y＝2，解得y＝1，∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，∴OM＝AD，又∵AODM，AO≠DM，∴四边形AOMD是等腰梯形；②如图2所示，

∵DMAO，∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝AO，∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，∴CM＝BD，又∵BCDM，BC≠DM，∴四边形BCMD是等腰梯形．综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．(1)求点的坐标；①求点的坐标：【知识点】高次方程和无理方程、反比例函数与几何综合【点睛】本题考查了反比例函数与一次二次函数的综合，等腰梯形的性质，凸四边形的定义，高次方程的求解．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．(1)求，的值．①求的值；【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求角的正弦值【分析】（1）利用待定系数法求解即可；【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．(1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式；(2)1【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）由待定系数法即可求解；则为上述方程的两个根，(1)求该抛物线的表达式和对称轴；(3)；、；的条件是错误的，理由见详解【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等；【详解】（1）解：由题意得（2）解：如图，（3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，答案的个数为个，没用的是、；故答案为：；、；的条件是错误的，理由如下：(1)求这条抛物线的表达式；①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离；②如果点在这条抛物线上，求点的坐标．【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合)此时、、重合，舍去，【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标．(1)求直线的解析式以及点的坐标；①求顶点的坐标；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．（2）①由待定系数法的即可求解；直线上有且只有一个倒数点，4．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A．B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t(1)求点A的坐标和抛物线的表达式;(2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标;(3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值．【答案】(1)y=x2x3；(2)E(1，4)；(3)4【知识点】特殊四边形(二次函数综合)【分析】(1)依据抛物线的对称性可得到A、B的坐标,利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式(2)过点P作PF∥y轴,交x轴与点F,则△AEG∽△APF,从而可得到AF=6,然后可求得PF的长,从而可得到EG的长,故此可得到点E的坐标;(3)先证明∠ADO=∠CME,然后,再求得点C和点M的坐标,从而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,最后求得直线AP与抛物线的交点坐标即可【详解】(1)∵AB=4,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1∴点A到对称轴的距离为2,∴A(1,0),B(3,0),∴y=(x+1)(x3)整理得:y=x2x3(2)如下图所示:过点P作PF⊥z轴,垂足为F∵EG∥PF,AE:EP=1:2又∵AG=2,∴AF=6∴F(5,0)当x=5时,y=12∴EG=4,∴E(1，4)(3)∵CD∥EM∴∠ADO=∠AEM.又∵四边形CDEM是等腰梯形,∴∠ADO=∠CME∴y=x2x3∴C(0,3),M(1,4)∴tan∠DAO=tan∠CME=1.∴OA=OD=1.∴直线AP的解析式为y=x+1.把y=x+1代入y=x2x3得x+1=x2x3解得:x=4或x=1(舍去)∴点P的横坐标为4,即t=4.【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线5．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．

【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质证明、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合)【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解；【详解】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，连接BC，如下图，∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，

∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，故点C的坐标为（0，），则抛物线的表达式为y＝x2+；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝，故直线CD的表达式为y＝x+②，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝yD＝，故点F的坐标为（0，）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．【知识点】判断中心对称图形的对称中心、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形