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专题19角内容导航——预习三步曲第一步:学析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习练题型强知识:8大核心考点精准练第二步:记串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步:测过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01角的概念1.角的定义:(1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.如图1所示,角的顶点是点O,边是射线OA、OB.(2)定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示,射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时,形成的图形叫做角,起始位置OA是角的始边,终止位置OB是角的终边.注意:(1)两条射线有公共端点,即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角.2.角的表示法:角的几何符号用“∠”表示,角的表示法通常有以下四种:注意:用数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.3.角的画法(1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角.(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.知识点02角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒,把一个周角平均分成360等份,每一份就是1°的角,1°的为1分,记作“1′”,1′的为1秒,记作“1″”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″.注意:在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减,不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于60时要向高一位进位.知识点03钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.知识点04方位角在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60°;射线OB的方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角,就叫做方位角.注意:(1)正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示.(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”.(3)在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向.(4)图中的点O是观测点,所有方向线(射线)都必须以O为端点.知识点05角平分线从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图所示,OC是∠AOB的角平分线,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=∠AOB.注意:由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.知识点06角的运算如图所示,∠AOB是∠1与∠2的和,记作:∠AOB=∠1+∠2;∠1是∠AOB与∠2的差,记作:∠1=∠AOB∠2.注意:(1)用量角器量角和画角的一般步骤:①对中(角的顶点与量角器的中心对齐);②重合(一边与刻度尺上的零度线重合);③读数(读出另一边所在线的度数).(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外,根据角的和、差关系,还可以画出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.知识点07角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似,方法有两种:方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小.方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小:如下图,由图(1)可得∠AOB<∠A′O′B′;由图(2)可得∠AOB=∠A′O′B′;由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′.【题型1角的概念和表示】例题:(2425七年级上·全国·单元测试)下列说法错误的是()A.由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角B.角是由始边绕着端点旋转形成的图形C.角是由两条直线相交形成的图形D.角的两边是射线【变式训练】A.B.C.D.2.(2324七年级下·山东淄博·期末)下列图中的也可以用表示的是()A.B.C.D.A.B.C.D.【题型2角的单位与角度制】【变式训练】【题型3钟面角】例题:(2425七年级上·全国·单元测试)自习课上,一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为,此时时针与分针的夹角是.【变式训练】1.(2324七年级上·湖南永州·期末)若此时时钟表上的时间是分,则时针与分针的夹角为度.2.(2324七年级下·山东日照·开学考试)2点分钟时,钟表的时针与分针形成的夹角的度数是.3.(2324六年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图是一个时钟的钟面,此时钟面上的时间是下午1点30分,时钟的分针与时针所成的钝角的度数为度.【题型4与方位角有关的计算题】【变式训练】(1)射线的方向是________;【题型5角的比较】例题:(2324七年级上·江苏扬州·期末)如图,用同样大小的三角板此较和的大小,下列判断正确的是(
)【变式训练】1.(2324七年级上·河北保定·期末)如图,下列各式中不一定正确的是()3.(2324六年级下·山东淄博·期中)如图,正方形网格中每个小正方形的边长都为1,则与的大小关系为(
)【题型6三角板中角度计算问题】【变式训练】
(1)如图1,三角板在直线上方.【题型7角平分线的有关计算】【变式训练】
【题型8角n等分线的有关计算】A. B. C.或 D.或【变式训练】一、单选题2.(2425七年级上·广东佛山·阶段练习)钟表8时30分时,时针与分针所成的角的度数为(
)3.(2425七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)在航行、测绘等工作中,经常以正北、正南方向为基准,描述物体的运动方向,如图所示,射线的方向是(
).A.北偏西 B.东北方向 C.北偏东 D.北偏东55.(2425七年级下·山东青岛·期中)将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置,使它们的直角顶点重合,则,,三个角的数量关系是(
)6.(2425七年级上·天津宁河·期末)如图,点为线段外一点,,,,为上任意四点,连接,,,,下列结论:①以为顶点的角有15个;A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题三、解答题13.(2425七年级上·湖北孝感·期末)计算:(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方?(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明
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