黑龙江省哈尔滨南岗区五校联考2024-2025学年九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．2．如图，小明将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（）A． B．C． D．3．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm24．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4 C．6 D．45．已知函数的部分图像如图所示，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．7．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，3） B．若x＞1，则﹣3＜y＜0C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大8．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（）A． B． C． D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（）A． B． C． D．10．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米11．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（）A． B．6 C．6.3 D．10.512．如图，要测量小河两岸相对两点、宽度，可以在小河边的垂线上取一点，则得，，则小河的宽等于()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．设x1，x2是一元二次方程7x2﹣5=x+8的两个根，则x1+x2的值是_____．14．如图，在边长为2的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动(任何一个点到达停止)，在运动过程中，则线段的最小值为________．15．将二次函数化成的形式，则__________．16．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知_____的成绩更稳定．17．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为____．18．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求点A和B的坐标；(2)连结OA,OB,求△OAB的面积.20．（8分）如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为60°.点在直线上，，直线，垂足为点且，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任一点.发现：的最小值为_________，的最大值为__________，与直线的位置关系_________.思考：矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积.

21．（8分）如图，在正方形中，，点在正方形边上沿运动（含端点），连接，以为边，在线段右侧作正方形，连接、.小颖根据学习函数的经验，在点运动过程中，对线段、、的长度之间的关系进行了探究.下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点在、边上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如下表：位置位置位置位置位置位置位置在、和的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数.（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图像，解决问题：当为等腰三角形时，的长约为22．（10分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=1．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．23．（10分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.（1）填空：，.（2）如图1，已知，过点的直线与抛物线交于点、，且点、关于点对称，求直线的解析式.（3）如图2，已知，是第一象限内抛物线上一点，作轴于点，若与相似，请求出点的横坐标.24．（10分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．（1）甲去A公园游玩的概率是；（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）25．（12分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．26．已知二次函数的图象经过点.（1）当时，若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；（2）已知点，在该二次函数的图象上，求的取值范围；（3）当时，若该二次函数的图象与直线交于点，，且，求的值.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=﹣×（-）=，故选C．本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.2、C【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．【详解】设含有角的直角三角板的直角边长为1，则斜边长为，将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，此圆锥的底面周长为：，圆锥的侧面展开图是扇形，，即，∴，∵，∴图C符合题意，故选：C．本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．3、B【解析】试题分析：∵底面周长是6π,∴底面圆的半径为3cm，∵高为4cm，∴母线长5cm，∴根据圆锥侧面积=底面周长×母线长，可得S=×6π×5=15πcm1．故选B．考点：圆锥侧面积．4、B【分析】由已知条件可得,可得出,可求出AC的长．【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以，根据“相似三角形对应边成比例”，得，又AD是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=,故选B.本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．5、C【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为（−3，1），然后观察函数图象，找出抛物线在x轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．【详解】∵y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝−1，与x轴的一个交点为（1，1），∴抛物线与x轴的另一个交点为（−3，1），∴当−3＜x＜1时，y＞1．故选：C．此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x轴的交点.6、A【分析】轴对称图形:平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形;中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】解：A选项：是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B选项：是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C选项：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D选项：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A.本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7、D【解析】A.

∵(−1)×3=−3,∴图象必经过点(−1,3)，故正确；B.

∵k=−3<0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；C.

∵x=1时，y=−3且y随x的增大而而增大，∴x>1时，−3<y<0，故正确；D.函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故错误．故选D.8、B【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】设，则DE=（6-x）cm，由题意，得，解得.故选B．本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．9、D【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴，，，所以A、B、C正确；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴，∴，所以D错误．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．10、C【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选C．考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．11、D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，，DE＝4.2，∴，即，解得：EF＝6.3，∴DF＝DE+EF＝10.1．故选：D．本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．12、C【分析】利用∠ABC的正切函数求解即可．【详解】解：∵AC⊥CD，，，∴小河宽AC=BC·tan∠ABC=100tan50°（m）．​故选C．本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可．【详解】把方程7x2-5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0，

∵x1，x2是一元二次方程7x2-5=x+8的两个根，

∴x1+x2=.故答案是：.主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．14、【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形的判定定理与性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而得出点P的运动轨迹，然后根据圆的性质确认CP取最小值时点P的位置，最后利用勾股定理、线段的和差求解即可．【详解】由题意得：由正方形的性质得：，即在和中，，即点P的运动轨迹在以AB为直径的圆弧上如图，设AB的中点为点O，则点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上连接OC，交弧AB于点Q由圆的性质可知，当点P与点Q重合时，CP取得最小值，最小值为CQ，即CP的最小值为故答案为：．本题是一道较难的综合题，考查了三角形全等的判定定理与性质、圆的性质（圆周角定理）、勾股定理等知识点，利用圆的性质正确判断出点P的运动轨迹以及CP最小时点P的位置是解题关键．15、【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：，，．故答案为：．本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．16、甲【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为甲；本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17、【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1可得：抛物线与x轴交于（3，0）和（-1，0）即当y=0时，x=3或-1∴ax2＋bx＋c＝0的根为故答案为：本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x轴的交点坐标是本题的解题关键.18、m≥﹣1【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤1，解得m≥﹣1．三、解答题（共78分）19、（1）A(1,1)，B(-3,9)；（2）6.【分析】（1）将直线与抛物线联立解方程组，即可求出交点坐标；（2）过点A与点B分别作AA1、BB1垂直于x轴，由图形可得△OAB的面积可用梯形AA1B1B的面积减去△OBB1的面积，再减去△OAA1得到.【详解】（1）∵直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交，∴将直线与抛物线联立得，解得或，∴A（1，1），B（-3，9）；（2）过点A与点B分别作AA1、BB1垂直于x轴，如下图所示，由A、B的坐标可知AA1=1，BB1=9，OB1=3，OA1=1，A1B1=4，梯形AA1B1B的面积=，△OBB1的面积=，△OAA1的面积=，∴△OAB的面积=.故答案为6.本题考查了求一次函数与二次函数的交点和坐标系中三角形的面积计算，求函数图像交点，就是将两个函数联立解方程组，坐标系中不规则图形的面积通常采用割补法计算.20、,10,；,.【分析】发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM=1，当点M在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线1的位置关系．

思考：连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据弧长公式可求得弧EG的长，利用扇形面积减去三角形面积即可得到面积.【详解】解：发现：由题意可知OM=OF=1，AF=8，EF⊥l，

∴OA=．

当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为=．

当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=．

如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．

∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，

∴∠BAG=10°．

∴GB=AB=1．

∴OF=BG=1，

又∵GB∥OF，

∴四边形OBGF为平行四边形，

∴OB∥FG，即OB∥l．故答案为：，10，；思考：如图2所示：连结，过点作，∵，∴，∴，∴，∴，弧的长，∴半圆与矩形重合部分的周长，∴.本题考查了求弓形的周长和面积，考查了弧长公式，垂径定理，10°直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握题意，得到重合的图形是弓形，利用所学的知识求出弓形的周长和面积.注意了利用数形结合的思想进行解题.21、（1）；（2）画图见解析；（3）或或【分析】（1）根据表格的数据，结合自变量与函数的定义，即可得到答案；（2）根据列表、描点、连线，即可得到函数图像；（3）可分为AE=DF，DF=DG，AE=DG，结合图像，即可得到答案.【详解】解：（1）根据表格可知，从0开始，而且不断增大，则DG是自变量；和随着DG的变化而变化，则AE和DF都是DG的函数；故答案为：，，.（2）函数图像，如图所示：（3）∵为等腰三角形，则可分为：AE=DF或DF=DG或AE=DG，三种情况；根据表格和函数图像可知，①当AE=DG=时，为等腰三角形；②当AE=时，DF=DG=5.00，为等腰三角形；③当AE=DF=时，为等腰三角形；故答案为：或或.本题考查了函数的定义，自变量的定义，画函数图像，以及等腰三角形的定义，解题的关键是掌握函数的定义，准确画出函数图像.22、（1）y=﹣，y=﹣2x+1（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．【详解】（1）由已知，OA=6，OB=1，OD=4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=把点A（6，0），B（0，1）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+1（2）当=﹣2x+1时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．23、（1），;（2）直线;（3）点的横坐标为或【分析】（1）把，代入解析式即可求出a,b的值；（2）设直线MN为y=kx-，根据二次函数联立得到一元二次方程，设交点、的横坐标为x1,x2,根据对称性可得x1+x2=5,根据根与系数的关系求解k，即可求解.（3）求出OD,OB，设P（x,），得到HP=x,DH=-1=,根据与相似分两种情况列出比例式即可求解.【详解】（1）把，代入得解得故答案为：-4；3；（2）设直线MN为y=kx+b，把代入得b=-∴直线MN为y=kx-，联立二次函数得kx-=整理得x2-(k+4)x++3=0设交点、的横坐标为x1,x2,∵点、关于点对称，∴x1+x2=5故k+4=5解得k=1∴直线；（3）∵D（0,1），B（3,0）∴OD=1,OB=3，设P（x,），则HP=x,DH=-1=,当∽时，,即解得x=当∽时，,即解得x=∴点的横坐标为或.此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、函数与方程的关系及相似三角形的性质.24、（1）；（2）【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找两位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）甲去A公园游玩的概率为；故答案为：.（2）列树状图如下：共有9种等可能