专题08不等式的性质（知识梳理5对点集训基础过关拓展提优）

专题08不等式的性质（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优）1.学生能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​3.学会利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。知识点01：作差比较法不等式：用不等号将两个表达式连接起来【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推；知识点02：不等式性质（3）乘法性质设、、均为实数，(不等式的移项法则)(同向可加性)【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；（3）性质（8）表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向；知识点03：不等式性质（定理）1、有关不等式的“定理”对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立；2、有关不等式的“定理”的拓展（1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均值；（2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立；【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；2、两个不等式a2＋b2≥2ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。对点集训一：由已知条件判断所给不等式是否正确典型例题【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】取特殊值，结合不等式性质判断.故选：C【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.故选：D【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据绝对值的定义对分类讨论，首先对有一个为0进行分析，然后按同号、异号进行分析可得．故选：D．【答案】①②④【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.故答案为：①②④.精练【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果.故选：C.2．（2425高一上·上海·阶段练习）下列命题是真命题的为（

）【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质，对选项逐个分析即可.故选：C3．（2425高一上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（

）【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用不等式的基本性质可判断D选项.故选：D.【答案】①②③⑥【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案.故答案为：①②③⑥对点集训二：由不等式的性质比较数（式）大小典型例题【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】利用不等式的基本性质即可判断．故选：C【答案】D【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D.故选：D【答案】（1）（2）（3）【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】根据不等式的基本性质判断即可.故答案为：（1）（2）（3）.精练【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】根据不等式的基本性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.故选：C.2．（2425高一上·上海·期中）下列结论成立的是（

）【答案】D【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】由不等式的性质及特例逐个判断即可.故选：D【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小综上，正确的为.故选：.对点集训三：作差法比较代数式的大小典型例题【答案】D【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】根据作差法判断各选项的真假.故选：D【答案】【知识点】作差法比较代数式的大小故答案为：.【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】根据作差比较法即可得解.精练【答案】C【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法判断各选项的准确性.故选：C【答案】【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】借助作差法后配方即可得.故答案为：.【知识点】作差法比较代数式的大小对点集训四：由不等式的性质证明不等式典型例题【知识点】由不等式的性质证明不等式【分析】利用不等式的性质求证即可.【知识点】由不等式的性质证明不等式【分析】由不等式的性质直接证明即可.【知识点】由不等式的性质证明不等式【点睛】本题考查利用不等关系完成证明，主要考查学生灵活运用不等式性质的能力，难度较易.【知识点】由不等式的性质证明不等式【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得.精练【知识点】由不等式的性质证明不等式【点睛】此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题【知识点】由不等式的性质证明不等式（2）上文下用，反复利用（1）的结论即可证明不等式.【知识点】由不等式的性质证明不等式【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.对点集训五：利用不等式求值或取值范围典型例题【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围.【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件.（3）的取值范围是；（4）的取值范围是.【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可．【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可.精练1．（2425高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[2，1]的区间内，则xy的取值范围为.【知识点】利用不等式求值或取值范围【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质得解.【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质直接得出结果.4.已知2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）ab；（4）2a3b．【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】(1)利用绝对值的意义求解即得；(2)利用不等式加法法则求解即得；(3)先由不等式性质求出b的范围，再用不等式加法法则求解即得；(4)先由不等式性质求出2a和3b的范围，再用不等式加法法则求解即得.【详解】（1）因2<a≤3，则当2<a<0时，|a|=a∈(0，2)，当0≤a≤3时，|a|=a∈[0，3]，所以|a|∈[0，3]；（2）因2<a≤3，1≤b<2，由不等式加法法则知，1<a+b<5，所以1<a+b<5；（3）因1≤b<2，则2<b≤1，又2<a≤3，由不等式加法法则知，4<ab≤2，所以4<ab≤2；（4）由2<a≤3得4<2a≤6，由1≤b<2得6<3b≤3，将两个不等式相加得，10<2a3b≤3，所以10<2a3b≤3.一、单选题【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】ABD选项，由不等式的性质得到；C选项，可举出反例.故选：C【答案】D【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可.故选：D【答案】D【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法比较大小即可.故选：DA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小【分析】根据不等式的性质一一判断即可.故选：AA．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.故选：A二、填空题【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质求得正确答案.【答案】充要【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小【详解】因为是正实数，故答案为：充要三、解答题【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论.【知识点】作差法比较代数式的大小、分类讨论解绝对值不等式【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系.【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明【分析】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；一、单选题【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立.由以上分析知，C不一定成立，ABD成立.故选：C【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件【分析】根据不等式的性质逐项分析判断；故选：C.【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立.故选：C.二、填空题【知识点】利用不等式求值或取值范围【知识点】利用不等式求值或取值范围三、解答题6．（2425高一上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题：(2)命题正确，证明见解析【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明（2）利用反证法，假设都不成立，化简后和已知条件发现矛盾，即可证明；（2）命题正确用反证法证明如下