2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《一次函数》

第42页（共42页）2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《一次函数》一．选择题（共10小题）1．（2025春•兴隆县期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象分别为l1，l2，下列结论正确的是（）A．bn＞0 B．km＜0 C．y1＞y2 D．关于x的方程kx+b＝mx+n的解是一个负数2．（2025春•迁安市期中）琪琪同学家住3楼，每两个楼层之间的台阶数是20阶，台阶的高度为15cm/阶．每次琪琪都要爬楼梯回家，她上升的垂直高度y（cm）与走过的台阶阶数x（阶）之间的关系下列说法不正确的是（）A．常量是3楼、20阶、15cm B．当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为150cm C．y（cm）与x（阶）的函数关系式：y＝15x D．琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为60阶3．（2025春•泌阳县期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k24．（2025•哈尔滨模拟）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，张华从家出发匀速骑行到画社，在画社停留了一段时间，之后匀速骑行到文化广场，在文化广场停留了一段时间后，再匀速步行返回家，如图所示的图象反映了这个过程中张华离家的距离y（单位：km）与时间x（单位：min）之间的对应关系．根据提供信息得出以下四个结论：①张华在画社停留19分钟；②张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同；③张华步行返回家的速度为75m/min；④张华离家的距离为300m时，张华离家的时间为47min．以上四个结论正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45．（2025•潍坊二模）如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4.4 B．4.8 C．5 D．66．（2025•高青县二模）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A． B． C． D．7．（2025春•闽清县期中）小明家、学校、书店在同一条直线上．某日小明骑车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校．如图反映了这个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系．根据图象，下列判断正确的是（）A．小明家到学校的路程是1500m B．小明在书店停留了2min C．小明一共行驶了2100m D．在整个上学的途中小明骑车的最快速度是300m/min8．（2025•常州模拟）骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距15cm，测量档部离地面的距离x（单位：cm），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的AC长度（由长度为48cm的立管AB和可调节的坐杆BC组成，如图所示）．设AC长度最合适时坐杆BC的长度为ycm，则下列说法不正确的是（）A．若某人裆部离地面的距离为100cm，则他骑行最合适的AC长是88.3cm B．当x＝100时，y＝40.3 C．y与x的关系式为y＝0.883x﹣48 D．若某人裆部离地面的距离为110cm，某山地车坐杆BC的最大调节长度为45cm，那么他适合骑该山地车9．（2025•南阳一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（）A．客人距离厨房门口450cm B．慧慧比聪聪晚出发15s C．聪聪的速度为15cm/s D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm10．（2025•兴隆台区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2二．填空题（共5小题）11．（2025春•邯郸期中）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为，a的值为．12．（2025•莱西市模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为．13．（2025•市中区二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为x（h），货车、轿车与甲地的距离为y1（km），y2（km），图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．两车出发后第二次相距120km时，货车的行驶时间为h．14．（2025•台江区校级三模）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为．15．（2024秋•阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：出水速度v（T/h）108542…t（h）11.2522.55…用式子表示t与v的关系是．三．解答题（共5小题）16．（2025春•陕西期中）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，金花茂盛，菌香四溢，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店同时购进了甲、乙两种茯茶共200盒，其进价和售价如表，设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元．甲乙进价（元/盒）6532售价（元/盒）8050（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，求该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润．17．（2025春•金牛区校级期中）平面直角坐标系中，直线y=34x+3分别交x轴、y轴于点A、C，将直线AC沿x轴翻折得直线AB（点B在y轴上），点D（﹣2，﹣2），点P是x（1）求直线AB的函数表达式；（2）将直线AC绕点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点M，求直线AM的函数表达式．（3）以PD为斜边作等腰直角三角形PDE，是否存在t的值，使点E落在线段AC或BC上？直接写出所有满足条件的t的值．18．（2025春•锦江区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+b（b＞0）分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．（1）若b＝3，连接BC交x轴于点D．①求直线AC的解析式；②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，点A到直线PC的距离为3，求此时直线PC的解析式．19．（2025•郑州模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且yA=25x；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且yB=6(0＜x≤10)（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．20．（2025•雷州市校级三模）综合与探索【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，（1）直接写出OA＝，OB＝；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为；（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；【拓展应用】（4）如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《一次函数》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDABCBADCC一．选择题（共10小题）1．（2025春•兴隆县期中）如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象分别为l1，l2，下列结论正确的是（）A．bn＞0 B．km＜0 C．y1＞y2 D．关于x的方程kx+b＝mx+n的解是一个负数【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．【答案】D【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程、不等式的关系求解．【解答】解：A、由图象得：b＞0，n＜0，所以bn＜0，故A不符合题意；B、由图象得：k＞0，m＞0，所以km＞0，故B不符合题意；C、l1，l2有交点，故C不符合题意；D、l1，l2的交点在第三象限，关于x的方程kx+b＝mx+n的解是一个负数，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（2025春•迁安市期中）琪琪同学家住3楼，每两个楼层之间的台阶数是20阶，台阶的高度为15cm/阶．每次琪琪都要爬楼梯回家，她上升的垂直高度y（cm）与走过的台阶阶数x（阶）之间的关系下列说法不正确的是（）A．常量是3楼、20阶、15cm B．当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为150cm C．y（cm）与x（阶）的函数关系式：y＝15x D．琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为60阶【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】D【分析】A．根据常量的定义判断即可；BC．根据上升的垂直高度＝台阶的高度×走过的台阶阶数计算即可；D．从1楼上到3楼，上了2层，从而计算走过的台阶数即可．【解答】解：常量是3楼、20阶、15cm，∴A正确，不符合题意；当琪琪走过10阶台阶时，上升的高度为15×10＝150（cm），∴B正确，不符合题意；y（cm）与x（阶）的函数关系式为y＝15x，∴C正确，不符合题意；琪琪每次上楼回到家时，走过的台阶数最少为20×（3﹣1）＝40（阶），∴D不正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握常量的定义和各个量之间的关系是解题的关键．3．（2025春•泌阳县期中）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1≥k2【考点】一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】A【分析】依据题意，利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．【解答】解：如图所示，在两个图象上分别取横坐标为mm＜0，的两个点A和B，则A（m，k1m），B（m，k2m），∵k1m＜k2m，∴k1＞k2，当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2．故选：A．【点评】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．4．（2025•哈尔滨模拟）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，张华从家出发匀速骑行到画社，在画社停留了一段时间，之后匀速骑行到文化广场，在文化广场停留了一段时间后，再匀速步行返回家，如图所示的图象反映了这个过程中张华离家的距离y（单位：km）与时间x（单位：min）之间的对应关系．根据提供信息得出以下四个结论：①张华在画社停留19分钟；②张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同；③张华步行返回家的速度为75m/min；④张华离家的距离为300m时，张华离家的时间为47min．以上四个结论正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；应用意识．【答案】B【分析】①由图象中数据直接得出结论；②分别求出张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度即可；③用路程、速度、时间之间的关系，求出张华步行返回家的速度即可；④张华离家的距离为300m时有两种情况，路程、速度、时间之间的关系计算即可．【解答】解：由图象可知，张华在画社停留的时间为：19﹣4＝15（分钟），故①错误；张华从家出发匀速骑行到画社的速度为：0.64=0.15（km/张华从画社匀速骑行到文化广场的速度为：1.5-0.625-19=0.15（km/∴张华从家出发匀速骑行到画社的速度与从画社匀速骑行到文化广场的速度相同，故②正确；张华步行返回家的速度为：1.551-31×1000＝75（m/min），故张华离家的距离为300m时，张华离家的时间为：0.60.15=4（min）或51-30075=47故选：B．【点评】本题考查了函数图象，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键．5．（2025•潍坊二模）如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4.4 B．4.8 C．5 D．6【考点】动点问题的函数图象．【专题】几何动点问题；函数及其图象；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；模型思想．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．【解答】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，连接AC，根据图2知：当点P与点B重合时，AP＝AB＝3，当P与E重合时，AB+BP＝4.8，∴BP＝BE＝1.8，∴AE=A当点P到达点C时，AP＝AC＝4，∴EC=A∴BC＝BE+EC＝1.8+165故选：C．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．6．（2025•高青县二模）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】B【分析】根据所给三个点的坐标特征，结合函数图象的性质依次进行判断即可．【解答】解：由题知，∵点B坐标为（﹣2，m），点C坐标为（2，m），∴B，C两点关于y轴对称．故AC不符合题意．又∵﹣4＜﹣2，且m﹣2＜m，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大．故D选项不符合题意，B选项符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的图象，熟知一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质是解题的关键．7．（2025春•闽清县期中）小明家、学校、书店在同一条直线上．某日小明骑车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校．如图反映了这个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系．根据图象，下列判断正确的是（）A．小明家到学校的路程是1500m B．小明在书店停留了2min C．小明一共行驶了2100m D．在整个上学的途中小明骑车的最快速度是300m/min【考点】函数的图象．【答案】A【分析】选项A根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程；选项B观察图象即可得小明在书店停留的时间；选项C观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间；选项D在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度．【解答】解：小明家到学校的路程是1500米，故选项A符合题意；小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟），故选项B不符合题意；本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500﹣600）＝2700（米），故选项C不符合题意；在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：1500-60014-12=450（米/分），故选项故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用．8．（2025•常州模拟）骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距15cm，测量档部离地面的距离x（单位：cm），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的AC长度（由长度为48cm的立管AB和可调节的坐杆BC组成，如图所示）．设AC长度最合适时坐杆BC的长度为ycm，则下列说法不正确的是（）A．若某人裆部离地面的距离为100cm，则他骑行最合适的AC长是88.3cm B．当x＝100时，y＝40.3 C．y与x的关系式为y＝0.883x﹣48 D．若某人裆部离地面的距离为110cm，某山地车坐杆BC的最大调节长度为45cm，那么他适合骑该山地车【考点】一次函数的应用；二元一次方程的解．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】D【分析】A．根据AC＝0.883×档部离地面的距离列式计算即可；BC．将AC用含x的代数式表示出来，再将AC、AB和BC分别代入BC+AB＝AC，将把y表示为x的函数即可得到y与x的关系式；将x＝100代入y与x的关系式，求出对应y的值即可；D．将x＝110代入y与x的关系式，求出对应y的值并与45比较，若y的值大于45，则说明他不适合骑该山地车，否则，则说明他适合骑该山地车．【解答】解：若某人裆部离地面的距离为100cm，则他骑行最合适的AC＝100×0.883＝88.3（cm），∴A正确，不符合题意；BC+AB＝AC，∵AC＝0.883x，AB＝48cm，∴y+48＝0.883x，∴y＝0.883x﹣48，∴C正确，不符合题意；当x＝100时，y＝0.883×100﹣48＝40.3，∴B正确，不符合题意；当x＝110时，y＝0.883×110﹣48＝49.13，∵49.13＞45，∴他不适合骑该山地车，∴D不正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并写出y与x的关系式是解题的关键．9．（2025•南阳一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（）A．客人距离厨房门口450cm B．慧慧比聪聪晚出发15s C．聪聪的速度为15cm/s D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm【考点】一次函数的应用．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】C【分析】根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解．【解答】解：A、由图象知，客人距离厨房门口450cm，A选项正确，不符合题意；B、慧慧比聪聪晚出发15s，B选项正确，不符合题意；C、慧慧提速前的速度是3017-15=15(cm/s)故提速后慧慧行走所用时间为：450-3030∴m＝31，∴聪聪的速度为31031=10(cmD、由条件可知OD表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，设OD的解析式为y1＝kx（k≠0），图象经过点（31，310），∴310＝31k，解得，k＝10，∴OD的解析式为y1＝10x，当0≤x≤15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，∴当x＝15（s）时，y1＝10×15＝150（cm），当15＜x≤31时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，∵当x＝31时，y1＝310（cm），y2＝450（cm），∴y2﹣y1＝450﹣310＝140（cm）＜150（cm）；∵n=∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为150cm，∴D选项正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．10．（2025•兴隆台区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．【答案】C【分析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜2，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＜2，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．二．填空题（共5小题）11．（2025春•邯郸期中）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为3，a的值为152【考点】动点问题的函数图象．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】3；152【分析】根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可求出答案．【解答】解：根据点（5，a）可以得到BC＝5，S△ABC＝a，∴12AB×∴AB=当P在CD上时，S不变，∴CD＝8﹣5＝3，∵ABCD为长方形，∴AB＝CD＝3，∴2a∴a=故答案为：3，152【点评】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握该知识点是关键．12．（2025•莱西市模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（325，245）【考点】动点问题的函数图象．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN＝CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】解：连接CP，如图，∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴BC2+AC2＝36+64＝100，AB2＝100，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴四边形MPNC为矩形，∴MN＝CP．∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y＝MN取得最小值．过点C作CP⊥AB于点P，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△ACP∽△ABC，∴ACAB∴810∴CP=245，AP∴当t=325时，y取得最小值为∴函数图象最低点E的坐标为（325，24故答案为：（325，24【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．13．（2025•市中区二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为x（h），货车、轿车与甲地的距离为y1（km），y2（km），图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．两车出发后第二次相距120km时，货车的行驶时间为4.6h．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】4.6．【分析】根据题意先分别求出OA解析式y1＝75x，DE解析式y2＝﹣125x+800，再利用相距作减法列出一元一次方程75x﹣（﹣125x+800）＝120，然后求解即可．【解答】解：设OA解析式为y1＝kx，由条件可得：600＝8k，解得：k＝75，∴OA解析式为y1＝75x，由条件可得D（4，300），∵轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，∴轿车行驶300km需要2.4h，∴E（6.4，0），设DE解析式为y2＝mx+n，由条件可得，4m+n∴DE解析式为y2＝﹣125x+800，∵两车出发后第二次相距120km，∴y1﹣y2＝120，∴75x﹣（﹣125x+800）＝120，解得：x＝4.6，故答案为：4.6．【点评】本题考查了，从函数图象获取信息，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键，14．（2025•台江区校级三模）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2．若当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣2，则k的值为5或﹣1．【考点】一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝2时，y＝﹣2或x＝﹣1时，y＝﹣2，分别代入函数解析式得出k的值即可．【解答】解：当k﹣1＞0时，函数y随x的增大而增大，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴﹣2＝﹣（k﹣1）+2，解得：k＝5；当k﹣1＜0时，函数y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y＝﹣2，∴﹣2＝2（k﹣1）+2，解得：k＝﹣1；∴k的值为5或﹣1．故答案为：5或﹣1．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．15．（2024秋•阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：出水速度v（T/h）108542…t（h）11.2522.55…用式子表示t与v的关系是vt＝10．【考点】函数关系式．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】vt＝10．【分析】根据表格中变量的变化规律解答即可．【解答】解：由表格可知，vt＝10．故答案为：vt＝10．【点评】本题考查函数关系式，找到变量之间的变化规律是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•陕西期中）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，金花茂盛，菌香四溢，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店同时购进了甲、乙两种茯茶共200盒，其进价和售价如表，设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元．甲乙进价（元/盒）6532售价（元/盒）8050（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，求该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y＝﹣3x+3600；（2）该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润是3450元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；（2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元，依题意得：y＝（80﹣65）x+（50﹣32）（200﹣x）＝﹣3x+3600；（2）由（1）知：y＝﹣3x+3600，∵﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∵该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，∴依题意得：65x+32（200﹣x）≥8050，解得x≥50，∴x＝50时，y取得最大值，此时y＝3450，答：该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润是3450元．【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．17．（2025春•金牛区校级期中）平面直角坐标系中，直线y=34x+3分别交x轴、y轴于点A、C，将直线AC沿x轴翻折得直线AB（点B在y轴上），点D（﹣2，﹣2），点P是x（1）求直线AB的函数表达式；（2）将直线AC绕点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点M，求直线AM的函数表达式．（3）以PD为斜边作等腰直角三角形PDE，是否存在t的值，使点E落在线段AC或BC上？直接写出所有满足条件的t的值．【考点】一次函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）直线AB的函数表达式y=-34x（2）直线AM的解析式为y＝﹣7x-4（3）t=-407或0【分析】（1）解方程得到A（﹣4，0），C（0，3），求得B（0，﹣3），设直线AB的函数表达式y＝kx+b（k≠0），解方程组得到直线AB的函数表达式y=-34x（2）如图，过C作CH⊥AM于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝CH=22AC，求得AC=42+32=5，得到AH＝CH=522，设M（0，m），得到OM＝﹣m，根据相似三角形的性质得到m=-47，设直线AM的解析式为（3）当点E在线段AC上，过E作GH∥x轴，过D作DG⊥GH于G，过P作PH⊥GH于H，如图1，根据全等三角形的性质得到PH＝EG，HE＝GD，设E（a，34a+3）（﹣4≤a≤0），求得E（-207，67），解方程得到t=-407；当点E在线段BC上，过D作DG⊥y轴于G，如图2，同理可证△PEO≌△EDG，得到PO＝EG，EO＝DG，设E（0，n）（﹣4≤n≤3），求得n＝2或﹣2，当n＝2时，E（0，2），此时PO＝EG＝4，得到P（4，0），得到t＝4；当n＝﹣2时，E（0，﹣2），此时PO＝EG＝0【解答】解：（1）当y＝0时，34x+3＝0解得x＝﹣4，当x＝0时，y＝3，∴A（﹣4，0），C（0，3），将直线AC沿x轴翻折得直线AB（点B在y轴上），∴B（0，﹣3），设直线AB的函数表达式y＝kx+b（k≠0），∴-4解得k=∴直线AB的函数表达式y=-34x（2）如图，过C作CH⊥AM于H，则△AHC是等腰直角三角形，∴AH＝CH=22∵AC=42∴AH＝CH=5设M（0，m），∴OM＝﹣m，∵∠AOM＝∠CHM＝90°，∠CMH＝∠AMO，∴△AOM∽△CHM，∴AOCH∴45解得m=-∴M(0设直线AM的解析式为y＝ax+c，∴0=-∴a=∴直线AM的解析式为y＝﹣7x-4（3）存在t的值，使点E落在线段AC或BC上；t=-407或0当点E在线段AC上，过E作GH∥x轴，过D作DG⊥GH于G，过P作PH⊥GH于H，如图1，∴∠EHP＝∠EGD＝90°，∴∠HEP+∠HPE＝90°，∵∠PED＝90°，∴∠HEP+∠DEG＝90°，∴∠HPE＝∠GED，又∵∠EHP＝∠EGD＝90°，PE＝DE，∴△PHE≌△EGD（AAS），∴PH＝EG，HE＝GD，设E（a，34a+3）（﹣4≤a≤0又∵D（﹣2，﹣2），P（t，0），∴34a+3＝|a﹣2|解得a=-207或a∴E（-207，∵HE＝GD，∴-207-t=解得t=-当点E在线段BC上，过D作DG⊥y轴于G，如图2，同理可证△PEO≌△EDG，∴PO＝EG，EO＝DG，设E（0，n）（﹣4≤n≤3），∴|n|＝2，∴n＝2或﹣2，当n＝2时，E（0，2），此时PO＝EG＝4，∴P（4，0），∴t＝4；当n＝﹣2时，E（0，﹣2），此时PO＝EG＝0，∴P（0，0），∴t＝0．综上，t=-407或0【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．18．（2025春•锦江区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+b（b＞0）分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．（1）若b＝3，连接BC交x轴于点D．①求直线AC的解析式；②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，点A到直线PC的距离为3，求此时直线PC的解析式．【考点】一次函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）①直线AC的解析式y=-13②点F的坐标为（﹣8.5，0）或（6.5，0）或（11.5，0）；（2）直线PC的函数表达式为y＝x-9【分析】（1）①由直线y＝3x+3可得A（﹣1，0）、B（0，3），由旋转得AB＝AC，过点C作CH⊥x轴于H，证明△ABO≌△CAH，根据全等三角形的性质得CH＝OA＝1，AH＝BO＝3，得点C的坐标，可求直线AC的解析式；②求出直线BC、AC的解析式，设点E（x，-13x-13），分三种情况：Ⅰ点E在x轴上方，Ⅱ点E在x轴下方，Ⅲ（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′、PB′，x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，PB﹣PC的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点C、B′的坐标即可求出直线CB′的解析式，令其y＝0求出x即可找出点P′的坐标，可得OB′＝OP′＝b，∠AP′B′＝45°，AP′＝OA﹣OP′＝b，由点A到直线PC的距离AM为3，可得AP′＝AM＝b＝3，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵b＝3，∴直线y＝3x+3，∴A（﹣1，0）、B（0，3），∴OA＝1，BO＝3，如图1，过点C作CH⊥x轴于H，∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO，∴∠AHC＝∠BOA＝90°，由旋转得AB＝AC，∴△ABO≌△CAH（AAS），∴CH＝OA＝1，AH＝BO＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴点C的坐标为（2，﹣1）；设直线AC的解析式y＝kx+b，∵A（﹣1，0）、C（2，﹣1），∴-k+b∴直线AC的解析式y=-13②同理：直线BC的解析式y＝﹣2x+3，∴D（1.5，0），设点E（x，-13x分三种情况：Ⅰ．点E在x轴上方，如图2：∵四边形BDFE是平行四边形，∴BE∥x轴，∴-13x-∴x＝﹣10，∴E（﹣10，3），∵D（1.5，0），∴F（﹣8.5，0）；Ⅱ．点E在x轴下方，如图3：过点E作EG⊥x轴于G，∴∠EGF＝∠BOD，∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD∥EF，BD＝EF，∴∠EFG＝∠CDF，∵∠CDF＝∠BDO，∴∠EFG＝∠BDO，∴△EFG≌△BDO（AAS），∴EG＝BO＝3，FG＝OD＝1.5，∴-13x-∴x＝8，∴E（8，﹣3），∵D（1.5，0），∴F（6.5，0）；Ⅲ．BD为对角线时，如图4，∵BE∥DF，∴-13x-∴x＝﹣10，∴E（﹣10，3），∵D（1.5，0），∴F（11.5，0）；综上所述，点F的坐标为（﹣8.5，0）或（6.5，0）或（11.5，0）；（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′、PB′，延长B′C交x轴于点P′，如图5所示．∵直线y＝3x+b（b＞0），∴点B（0，b），A（-b3，由（1）得C（23b，-∵点B和B′关于x轴对称，∴PB＝PB′，P′B′＝P′B，∵在△CPB′中，CB′＞PB′﹣PC，∴P′B′﹣P′C＝CB′＞PB′﹣PC＝PB﹣PC，∴当点P与点P′重合时，PB﹣PC最大．设直线CB′的解析式为y＝mx+n，∵点B（0，b），∴点B′（0，﹣b），∴23bm+∴直线CB′的解析式为y＝x﹣b．令y＝x﹣b中y＝0，则x﹣b＝0，解得：x＝b，∴点P′（b，0）．∴OB′＝OP′＝b，∴∠AP′B′＝45°，AP′＝OA+OP′=43∵点A到直线PC的距离AM为3，∴AP′=2AM∴43b＝32∴b=9∴直线PC的函数表达式为y＝x-9【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，找出点P的位置是解题的关键．19．（2025•郑州模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且yA=25x；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且yB=6(0＜x≤10)（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元；（2）选择B品牌共享电动车更省钱，理由见解析；（3）当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．【分析】（1）根据函数图象可得交点P的坐标，结合x，y所表示的实际意义即可解答；（2）依据题意，先利用待定系数法，求出y2的解析式，然后根据“时间＝路程÷速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；（3）分两种情况讨论：当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3；当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3．以此列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，P（20，8），交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元．（2）由题意，设当x＞10时，y2＝k2x+b，将点（10，6），（20，8）代入得，10k∴k=0.2∴当x＞10时，y2＝0.2x+4．∴y2=6(0又由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9000÷300＝30（min），∴A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元），∵12＞10，∴选择B品牌共享电动车更省钱．（3）由题意，当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3，∴6﹣0.4x＝3，∴x＝7.5．当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3，∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3，∴x＝5（舍去）或x＝35．综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题．20．（2025•雷州市校级三模）综合与探索【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，（1）直接写出OA＝4，OB＝2；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为（﹣4，6）；（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；【拓展应用】（4）如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．【答案】（1）4，2；（2）（﹣4，6）；（3）y=13x（4）存在，（﹣12，4）、（﹣8，12）、（2，2）．【分析】（1）在y＝2x+4中，分别令x＝0，y＝0即可求得A，B的坐标，从而求得OA，OB的长；（2）过点E作EM⊥y轴于M，构造“k型全等”即可求得点E的坐标；（3）过点A作AD⊥y轴，过点C与AD交于点D与x轴交于点N，这样构造了“k型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线l₂的函数表达式；（4）分情况考虑，构造“k型全等”即可求得点D的坐标．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，分别令x＝0，y＝0，得y＝4，x＝﹣2，即点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣2，0），∴OA＝4，OB＝2，故答案为：4，2；（2）过点E作EM⊥y轴于M，如图2，则∠AEM+∠EAM＝90°，∵EA⊥AB，∴∠EAM+∠BAO＝90°，∴∠AEM＝∠BAO，∵AB＝AE，∠EMA＝∠AOB＝90°，∴△EAM≌△ABO（ASA），∴EM＝OA＝4，AM＝OB＝2，∵OM＝OA+AM＝4+2＝6，∴点E的坐标为（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）；（3）过点A作AD⊥y轴，过点C与AD交于点D与x轴交于点N，如图3，易证△ACD≌△CNB，设CD＝x，则BN＝x，AD＝2+x，∴CN＝2+x，∴2+x+x＝4，解得x＝1，∴C（﹣3，3），设直线AC解析式为y＝kx+b，代入3=-解得k=∴l2的函数表达式为：y=13x（4）存在，理由如下：①当正方形为ADCB时，如图4，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO，∴DN＝OA＝4，AN＝OB＝8，∴ON＝OA+AN＝12，∴D（﹣12，4），②当正方形为ADCB时，如图，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△BDN≌△ABO，∴BN＝OA＝4，DN＝OB＝8，∴ON＝OB+BN＝12，∴D（﹣8，12），③∵点C在第二象限，以AB为对角线．∴正方形为ACBD，如图，过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M，易证△ADN≌△DBM，设ON＝x，则BM＝x，AN＝OA+ON＝4+x，DN＝BM＝x，∴MN＝OB＝MD+DN＝4+x+x＝8，∴x＝2，∴D（2，2），综上，点D的坐标为：（﹣12，4）、（﹣8，12）、（2，2）．【点评】本题考查