高等数学（工科类专业适用）教案 6.1 随机事件与概率3

6.1随机事件与概率（3）教学目标：（1）掌握全概率公式、贝叶斯公式，能使用贝叶斯公式进行概率计算；（2）*了解事件的独立性及贝努里概型；教学重点： 全概率公式、贝叶斯公式； 教学难点： 全概率公式、贝叶斯公式。授课时数：2课时.教学过程过程备注4．全概率公式新知识在概率的计算中，我们往往希望由已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率．为此，经常把一个复杂事件分解成若干个互斥的简单事件的和的形式来进行计算．这就要运用下面的全概率公式（证明略）．设是两两互斥的事件，且，（），则对任意事件B有（6.7）讲授10′知识巩固例12两台机床加工同样的零件，它们的废品率分别为3%，2%．其加工出来的零件放在一起，且第一台机床加工的零件比第二台机床加工的零件多一倍，现从它们加工好的零件中任取一件，求该零件是合格品的概率．解设={任取一零件是第台机床的产品}（）；={任取一零件是合格品}．显然，互斥，，且，，．故由全概率公式得：．引领讲授20′5．贝叶斯公式新知识利用全概公式，可以得到下面的定理（证明略）．设是两两互斥的事件，且，（），对任意事件A若，则(6.8)式(6.8)叫做贝叶斯公式．说明当已知，及()时，称()为先验概率，即它是在发生之前就已知的，通常是经验的总结，需要求的则是在发生条件下发生的概率，这叫做后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的重新认识．讲授30′知识巩固例13根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：如果以表示事件“试验反应为阳性”，如果以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求．解由题设知：，，，．由贝叶斯公式得：．说明本题的结果表明，虽然，，这两个概率都比较高，但若将此试验用于普查，则有，亦即其正确性只有8.7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症)．如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断．这也说明，若将和搞混了会造成不良的后果．讲授40′6.1.4事件的独立性及贝努里概型 1．事件的独立性新知识设事件与事件中一个事件对另外一个事件的条件概率不受另外一个事件发生与否的影响，即或，则称事件，相互独立．可以证明，事件与事件相互独立的充要条件是．可以看到，在四组事件；；；中，如果有一组事件相互独立，那么其余三组事件也相互独立．讲授45′知识巩固例14甲、乙两人同时向一架敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率．解记={甲击中敌机}，={乙击中敌机}，={敌机被击中}．由加法公式，．显然甲击中（或乙击中）并不影响乙击中（或甲击中）的概率，即，是相互独立的．因此有．于是，．讲授55′2．n重贝努里试验探究先看一个问题．在相同的条件下，某篮球运动员连续投篮4次，每次投篮只有两个结果：“投中”与“投不中”，并且每次投中的概率都是90%，那么，“投篮4次恰好投中2次”的概率是多少？这类问题就是重独立试验．讲授60′新知识如果随机试验在相同的条件下可以重复进行n次，每次试验都是独立的，并且试验的结果只有和两个，又在每次试验中保持不变，那么，这种试验叫做重贝努里试验．前面的投篮问题是4重贝努里试验．设={第次投篮投中}()，={第次投篮投不中}()，{恰好投中两次}，则，．“投篮4次恰好投中2次”共有下列种情况：由事件的独立性知．进行同样的计算可以知道，这6种可能的概率是相等的，即．所以“投篮4次恰好投中2次”的概率为．一般地，在重贝努里试验中，事件A发生的概率为，事件发生次的概率为．(6.9)并且有．讲授75′知识巩固例15设某批产品的次品率为5%，现从中用取后放回的方法抽取20件样品进行检验，求其中恰有两件次品的概率．解该试验是20重贝努里试验，且．设{20件样品中恰有两件次品}