2025年暑期新初三数学人教新版学困生专题复习《轴对称》

第25页（共25页）2025年暑期新初三数学人教新版学困生专题复习《轴对称》一．选择题（共10小题）1．（2025春•陕西期中）如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，点D在AC边上，连接BD，AB＝10，CD＝2，则AD的长度等于（）A．7 B．8 C．10 D．63．（2025•青羊区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）4．（2025•西陵区模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是（5，4），则它的对称点A的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（5，﹣4） D．（4，5）5．（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm6．（2024秋•曲阳县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=12AB B．BD=13AB C．BD=14AB7．（2025•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）8．（2025春•龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm9．（2025春•荆州期中）已知点A(a，3)和点B（3，b）关于xA．3 B．23 C．-23 10．（2025•海南模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°二．填空题（共5小题）11．（2025春•祁东县期中）在平面直角坐标系xOy中，作点P（1，﹣1）关于y轴的对称点P1，再将点P1向上平移3个单位，得到点P2，则点P2的坐标为．12．（2025春•铁西区期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝50°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连接AD，则∠ADC的度数为．13．（2025春•城步县期中）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为．14．（2025春•皇姑区校级期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，过点A作MN∥BC，点E为直线MN上一动点，作点A关于直线CE的对称点A′，当点A′落在AB的垂直平分线上时，AE的长为．15．（2025春•礼泉县期中）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D，CF∥AD．若AC＝3cm，则AF＝．三．解答题（共5小题）16．（2025•织金县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．17．（2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．（1）求证：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度数．18．（2025春•北京校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使CD＝BC，延长CA到点E，使AE＝2CA；连接AD，BE．求证：AD＝BE．19．（2025春•碑林区校级期中）如图，AB∥CD，∠ACD的平分线交AB于点E．求证：△ACE是等腰三角形．20．（2025春•南京期中）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N．（1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数；（2）若CD＝4，△PMN的周长为．

2025年暑期新初三数学人教新版学困生专题复习《轴对称》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBDABCDBBD一．选择题（共10小题）1．（2025春•陕西期中）如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；B、图形是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是轴对称图形，符合题意；D、图形是轴对称图形，不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键．2．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，点D在AC边上，连接BD，AB＝10，CD＝2，则AD的长度等于（）A．7 B．8 C．10 D．6【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】由等角对等边得到AC＝AB＝10，即可求出AD的长．【解答】解：∵∠ABC＝∠C，∴AC＝AB＝10，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边．3．（2025•青羊区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】D【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，可知点B与点A的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点B的坐标，再根据点的平移规律可得点C的坐标．【解答】解：∵点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，∴点B的坐标为（3，2），∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握对应点的坐标是求解本题的关键．4．（2025•西陵区模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是（5，4），则它的对称点A的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（5，﹣4） D．（4，5）【考点】轴对称图形；坐标确定位置．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】A【分析】根据点A、B关于y轴对称作答即可．【解答】解：∵点A、B关于y轴对称，A（5，4），∴A（﹣5，4），故答案为：A．【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及轴对称图形，熟练掌握关于y轴对称的两点的坐标特征是解题的关键．5．（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm【考点】等腰三角形的性质．【答案】B【分析】分两种情况：①底为2cm，腰为4cm时，求出三角形的周长即可；②底为4cm，腰为2cm时；2+2＝4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形．【解答】解：分两种情况：①底为2cm，腰为4cm时，等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）；②底为4cm，腰为2cm时，∵2+2＝4，∴不能构成三角形；∴等腰三角形的周长为10cm；故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（2024秋•曲阳县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=12AB B．BD=13AB C．BD=14AB【考点】含30度角的直角三角形．【答案】C【分析】由直角三角形性质，以及角与边的关系，借助CD即可得出AB与BD的关系．【解答】解：根据题意，∵CD是高，∠A＝30°，∴在Rt△ACD中，AD=3CD∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴在Rt△CDB中有CD=3BD∴AD＝3BD，∴AB＝4BD，即BD=14故选：C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，要熟练掌握特殊角与边的关系，是基础题．7．（2025•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】D【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【解答】解：点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．（2025春•龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，∴DA＝DC，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝19cm，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．（2025春•荆州期中）已知点A(a，3)和点B（3，b）关于xA．3 B．23 C．-23 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】B【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，然后可得a﹣b的值．【解答】解：∵A（a，3）和点B（3，b）关于x轴对称，∴a=3，b=∴a﹣b=3故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．10．（2025•海南模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC＝25°，则∠CDA＝25°+25°＝50°，∵CD＝AC，∴∠A＝∠CDA＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•祁东县期中）在平面直角坐标系xOy中，作点P（1，﹣1）关于y轴的对称点P1，再将点P1向上平移3个单位，得到点P2，则点P2的坐标为（﹣1，2）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】（﹣1，2）．【分析】利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出P1的坐标，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵点P（1，﹣1）关于y轴的对称点P1，∴P1的坐标为（﹣1，﹣1），∴将点P1向上平移3个单位，得到点P2，则点P2的坐标为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键．12．（2025春•铁西区期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝50°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连接AD，则∠ADC的度数为110°．【考点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】110°．【分析】由直角三角形的性质求出∠B＝40°，由等腰三角形的性质得到∠BDA＝∠BAD＝70°，由邻补角的性质即可求出∠ADC的度数．【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠C＝50°，∴∠B＝90°﹣∠C＝40°，由题意得到：AB＝DB，∴∠BDA＝∠BAD=12×（180°﹣40∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝110°．故答案为：110°【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠BDA＝∠BAD．13．（2025春•城步县期中）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为20°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】20°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，根据直角三角形的性质求出∠BAC＝55°，再根据角的和差计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝35°，∵∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2025春•皇姑区校级期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，过点A作MN∥BC，点E为直线MN上一动点，作点A关于直线CE的对称点A′，当点A′落在AB的垂直平分线上时，AE的长为53或1【考点】轴对称的性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】53或1【分析】先求出AC=5，A′F⊥AB，AF＝BF＝1，再分两种情况：①当点E在射线AN时，过点C作CD⊥A′F于点D，过点E作EG⊥A′F于点G，连接A′E，A′C，求出A′F＝3，EG＝1，设A′E＝AE＝FG＝x（x＞0），则A′G＝3﹣x，利用勾股定理求解即可得；②当点E在射线AM时，过点C作CD⊥A′F于点D，连接A′C，证出点F在AA′的垂直平分线CE上，再证出△AEF≌△【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴AC=设AB的垂直平分线交AB于点F，∴A′F⊥AB，AF=∵BC＝1，∴BF＝BC，∵MN∥BC，∴∠BAN＝180°﹣∠ABC＝90°，即MN⊥AB．①如图，当点E在射线AN时，过点C作CD⊥A′F于点D，过点E作EG⊥A′F于点G，连接A′E，A′C，∴CD＝DF＝BF＝1，EG＝AF＝1，FG＝AE，由轴对称的性质得：A'C=AC=5，∴A'∴A′F＝A′D+DF＝2+1＝3，设A′E＝AE＝FG＝x（x＞0），则A′G＝A′F﹣FG＝3﹣x，∵A′G2+EG2＝A′E2，即（3﹣x）2+12＝x2，∴x=∴AE=②如图，当点E在射线AM时，过点C作CD⊥A′F于点D，连接A′C，∴四边形BCDF是正方形，∴CD＝DF＝BF＝1，由轴对称的性质得：A'C=AC=∴A'∴A′F＝A′D﹣DF＝2﹣1＝1，∴A′F＝AF，∴点F在AA′的垂直平分线CE上，在△AEF和△BCF中，∠EAF∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC＝1．故答案为：53或1【点评】本题考查了勾股定理、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．15．（2025春•礼泉县期中）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D，CF∥AD．若AC＝3cm，则AF＝3cm．【考点】等腰三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】由AD平分∠CAE，得到∠EAD＝∠CAD，由于CF∥AD，于是得到∠AFC＝∠EAD，∠ACF＝∠CAD，等量代换得到∠AFC＝∠ACF，于是得到结论．【解答】解：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD，∵CF∥AD，∴∠AFC＝∠EAD，∠ACF＝∠CAD，∴∠AFC＝∠ACF，∴AF＝AC＝3cm，故答案为：3cm．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•织金县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°；（2）△PBC的周长＝BP+PC+BC，＝AP+PC+BC，＝AC+BC，＝AB+BC，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴△PBC的周长＝5+3＝8cm．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．（1）求证：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解；（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，∴∠E＝∠APE，∴AE＝AP，∴△AEP是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠E＝∠CAD＝45°．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．18．（2025春•北京校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使CD＝BC，延长CA到点E，使AE＝2CA；连接AD，BE．求证：AD＝BE．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】取AE的中点F，连接BF，由线段垂直平分线的性质可求得BF＝BC＝CD，进一步可证明△BFE≌△DCA，可证明AD＝BE．【解答】证明：如图，取AE的中点F，连接BF，∵AE＝2AC，∴AF＝EF＝AC，∵∠BAC＝90°，∴BA垂直平分CF，∴BF＝BC＝CD，∴∠BFA＝∠BCA，∴∠BFE＝∠DCA，在△BFE和△DCA中，EF=∴△BFE≌△DCA（SAS），∴AD＝BE．【点评】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定和性质，证明△BFE≌△DCA是解题的关键．19．（2025春•碑林区校级期中）如图，AB∥CD，∠ACD的平分线交AB于点E．求证：△ACE是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】证明见解答过程．【分析】根据平行线的性质求出∠AEC＝∠DCE，根据角平分线定义求出∠ACE＝∠DCE，则∠ACE＝∠AEC，根据“等角对等边”即可得证．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∴△ACE是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．20．（2025春•南京期中）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N．（1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数；（2）若CD＝4，△PMN的周长为4．【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】（1）2α；（2）4．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．【解答】解：（1）∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∵∠AOB＝α，＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α；（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM＝PM，∵点P关于OB对称点是D，∴DN＝PN，∵CD＝4，∴CM+MN+DN＝4，∴PM+MN+PN＝4，即△PMN的周长为4．故答案为：4．【点评】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键．

考点卡片1．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．6．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．7．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上