高等数学（第五版）课件 1.2函数的极限

第1章函数、极限与连续1.2

函数的极限1.2.1函数的极限1.2.2左极限与右极限1.2.3无穷小量与无穷大量1.2.4极限的性质本节小结1.2.1函数的极限我们先从图形上观察一个具体的函数对应的函数f(x)的值无限接近于确定的常数0（如图）当

x无限增大时，先给出几个符号表示：

由前面的观察可知称0是当时，函数的极限，记作：

拓展自变量趋于无穷大时函数的极限的数学定义定义2

设函数f(x)当|x|

大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数

(不论它多么小)，总存在正数X

，不等式|x|>X

时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)–A|<

，那么常数A

就叫做函数f(x)当x

时的极限，记作或f(x)

A(当x

).使得当x

满足定义2可简单在表达为：

>0，X>0，当|x|>X

时，有|f(x)–A|<.

类似地可定义：

>0，X>0，当x<–

X

时，有|f(x)–A|<.

>0，X>0，当x>X

时，有|f(x)–A|<

.无穷远处函数极限的几何解释yxX-XA+A-O

不存在！

问结论yx

观察下图可知1.2.1函数的极限2.数列的极限战国时代庄周极限思想

把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···，这样继续分割下去,所得多边形的面积就无限接近于圆的面积.

三国时刘徽“割圆术”思想2.数列的极限

记为

例2观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限．解

通过下表列出的有限项，分析以后各项随n增大而

n12345

…⟶∞1

……

0………跳跃…表1由（5）、（6）可以看出：并不是所有的数列都有极限.

数学定义设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数

(不论它多么小)，总存在正整数N

，使得当n>N

时，不等式|xn–a|<

都成立，那么就称常数a

是数列{xn}的极限，或称数列{xn}

收敛于

a，记为或xn

a(n),否则称数列{xn}

发散.

>0,正整数N,当n>N时,有|xn–a|<.的几何解释设数列为整标函数由前面的讨论知，

>0,正整数N,当n>N时,有|xn–1|<,即1

-

<xn<1

+,所以，当n>N时，点(n,xn)都在直线y=1

-

与y=1

+

之间.例如，=0.6=0.4=0.2=0.1=0.051.2.1函数的极限

意思是|

x－x0|→0，但x≠x0，

表示动点x无限接近于点x0，但永远不等于x0的过程，如图．

定义5’

设函数f(x)在点x0

的某一去心邻域内有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数

(不论它多么小)，总存在正数

，使得当x

满足不等式0

<|x–x0|<

时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)–A|<

，那么常数A

就叫做函数f(x)当x

x0

时的极限，记作或f(x)

A(当x

x0).注意定义中的0

<|x–x0|<

表示x

x0

,也即x

x0

时函数f(x)有没有极限，与f(x)在点x0

是否有定义没有关系．

>0，

>0，当0

<|x–x0|<

时，有|f(x)–A|<.

的几何解释A–

A+

Ax0x–

x+

y=f(x)xyO当x无限趋近于定值x0时，有两个方向，为此给出下面的记号：当x从x0的左侧趋近于x0时，记为x→x0-；当x从x0的右侧趋近于x0时，记为x→x0+;x→x0-，x→x0+此时x>x0

且趋近于x0此时x<x0

且趋近于x0左极限与右极限

左、右极限统称为函数的单侧极限．

x0的左、右极限都存在且相等．即

解1.2.3无穷小量与无穷大量

二者的共同点是什么？

观察思考

在自变量的某种变化趋势

1.无穷小量

简称无穷小.定义7若函数f(x)在x的某种变化趋势下以0为极例如，1.无穷小量是一个变量，是以0为极限的函数，不能2.零是可以作为无穷小量的唯一的常数．是无穷小量时，一定要指明自变量的变化趋势.说明把它与绝对值很小的常数或负无穷大混为一谈．3.不能笼统地说某个函数是无穷小量，说某个函数

2．函数极限与无穷小的关系一般地，函数、函数极限与无穷小三者之间有如下关系：定理

具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个常数的极限．即

说明这里的

性质1有限个无穷小（自变量同一变化趋势下）3．无穷小的性质性质2有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小量．性质3有限个无穷小量（自变量同一变化趋势下）之积为无穷小量．推论常数与无穷小量之积为无穷小量.的代数和仍然是无穷小量．

解

因为

由性质2有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小可知

在自变量的某种变化趋势下，

二者的共同点是什么？

观察思考

4.无穷大量

简称无穷大.趋势下的无穷大量，limf(x)＝∞.记作定义8若函数f(x)的绝对值在x的某种1.无穷大量不是一个很大的数,它是一个变化的量.说明：2.函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时，才能称为无穷大量．值可以无限增大但不是越来越大（因为函数图像与x轴的

交点无数，这些点的函数值等于0），所以不是无穷大量．3.说一个函数是无穷大量时，必须同时指明

4.我们借用极限的符号来表示无穷大，但事实上无穷大量的极限不存在．简言之，极限为无穷的变量叫做无穷大量.

定义

有时无穷大量具有确定的符号.例如,

或负无穷大，分别记为limf(x)＝+∞，

5．无穷大于无穷小的关系定理2在自变量的相同变化趋势下，若，则反之，设若，则说明这里的

解

根据无穷大量与无穷小量的关系可知：

解

根据无穷大量与无穷小量的关系可知：

1.2.4.函数极限的性质

性质1（唯一性）若，则性质2(局部有界性)若，

例如

24性质3(局部保号性)若

例如由函数的图像，在内y不都大于0.但故在1的某个邻域内，如，恒有性质3(局部保号性)若

性质3(局部保号性)的推论

且

.性质4(夹逼准则)若在x0的某一个去心邻域内，有，则，且.如右图所示函数的极限函数的极限无