西理工水力学课件14恒定平面势流

14平面恒定势流

14.1恒定平面势流的流速势及流函数

14.3流网法解平面势流

14.2势流叠加法解平面势流

14.4平面势流的其他解法

14.5平面势流的数值解法算例14.1恒定平面势流液体运动：实际液体理想液体有涡流无涡流=势流从静止开始运动的理想液流是势流（涡量守恒，静止时涡量为零）涡量守恒定理：涡管断面大处，角速度小；断面小处，角速度大。涡管断面小到零时，其角速度将趋于无穷。这在物理上是不可能的。所以，涡管断面不能小到零。涡管不能在液体内中断。其只能起、止于液面、容器边壁，或自身形成一个封闭的涡环。涡量守恒定理涡管不能在液体内中断。其只能起、止于液面、容器边壁，或自身形成一个封闭的涡环。在某些情况下，如雷诺数较大的流动，惯性作用占主导地位，粘滞性对水流运动影响可忽略，则实际液体简化为理想液体，用势流理论求其近似解。可见，势流在现代水力学中有一定的实用价值。例如，下列流动都可用势流理论求解，其正确性已经证实。孔口流动，内插管嘴闸孔出流，深式底孔流动渗流高坝溢流波浪运动水力机械，航空工程中绕翼流动势流＝无旋流＝存在流速势函数由液体三元运动理论流速与流速势流关系为不可压缩液体的势流连续方程上式是拉普拉斯方程。可见流速势为调和函数可见，流速势函数决定势流的流速场和压强场若能求出流速势函数，就可求出流速和压强场。而求解势流就是求解满足边界条件的拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程的方法有流网法势流叠加法复变函数法数值计算法本章介绍：平面势流的流网法和势流叠加法14.1.1平面势流的流速势和流函数1流速势

平面势流，有2等势线平面势流中，势函数φ（x,y）值相等的点P(x,y,z)连成的曲线等势线方程14.1.2流函数及其性质

任意时刻t，流场任一流线上的点（x,y）满足1．流函数定义2流函数存在的充分必要条件

流动满足连续方程证明：充分条件满足连续方程，则流函数存在二元流动（实际、理想液体）满足连续方程，则根据全微分定义必要条件若流函数存在，流动满足连续方程若流函数存在，则比较上式中dy和dx

，则流函数存在充分必要条件：满足连续方程因为液体运动遵循的物质守恒定律－连续方程，所以不可压缩流体平面流动，都存在流函数，无论是否有旋。3．流函数性质（1）沿同一流线3．流函数性质（1）沿同一流线，证明：在任意时刻t

流场中任意一条流线上点（x,y）满足上式表示满足的点连成的曲线就是流线（2）两条流线间通过的单宽流量等于两条流线的流函数值之差，即dxMdyyxOabψaψbuxuyyxOabψaψbds在平面流场中，任意两条流线上ψa

和ψb

上取两点a,buxuyyxOabψaψbds通过a，b连一条曲线ab，在曲线上任取一点M（x，y），其流速为uxuyyxOabψaψbds通过ab间的单宽流量可表示为（3）平面势流的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数流函数与流速的为若流动为有势流动，则：（4）流函数和流速势是共轭调和函数。流函数和流速势应满足下列关系：并且两者都满足拉氏方程：满足上式的两个调和函数称为共轭调和函数满足上式的两个调和函数称为共轭调和函数可见，已知流速分量、或者流函数和势函数中的一个，便可求得另一个。（5）流线与等势线相正交，等势面为过流断面。由流线方程得流线任意点斜率为yxOaψaφa流线任意点斜率为由等势线方程该点的等势线斜率k2为yxOaψaφa如图所示为一个平行于x轴的均匀等速运动，各点流速为U0

（1）证明该平面为势流（2）求流线方程（3）求等势线方程yxψ1ψ2ψ3ψ4ψ0φ1φ2φ3φ4φ0U（1）ux=U0,uy=0,ω=0（2）dψ=ux

dy–uydx

Ψ=Uy+c=const（3）dφ=ux

dx+uydy

φ=Ux+c=const14.1.3流函数的极坐标表示方法有时候用极坐标分析液体流动十分方便drrdθBAdθθCψBψAxyruruθ直角和极坐标之间的关系drrdθBAdθθCψBψAxyruruθ直角和极坐标之间的关系为drrdθBAdθθCψBψAxyruruθ直角和极坐标之间的关系为drrdθBAdθθCψBψAxyruruθdrrdθBAdθθCψBψAxyruruθ同理可得综上分析，则

14.1恒定平面势流的流速势及流函数

14.3流网法解平面势流

14.2势流叠加法解平面势流

14.4平面势流的其他解法

14.5平面势流的数值解法算例对于平面势流，由流速与流函数和流速势之间的关系可知，已知其中一个，可求出外一个。因而，平面势流问题可转化为拉普拉斯方程的求解。拉普拉斯方程具有一个最重要的性质就是它的解可以叠加。14.2势流叠加原理解平面势流势函数叠加的性质设φ1和φ2满足则φ=φ1+φ2满足流函数叠加的性质若△2ψ1＝0，△2ψ2＝0，则△2（ψ1+ψ2）＝0

势流叠加原理势流叠加原理可推广到两个以上的流速势和流函数 拉普拉斯方程在复杂边界条件下不易求解，但对一些简单平面势流，例如均匀流动、点源（汇）流动等。其流速势和流函数可方便得出。将简单势流叠加，可得到复杂势流解。这对于研究复杂流动具有重要的实用意义。另外，也是研究复杂平面势流的一种方法。14.2.1几个简单的平面势流

均匀等速流流速为流速势和流函数为yxψ1ψ2ψ3ψ4ψ0φ1φ2φ3φ4φ0U均匀等速流动2．源和汇流线是指向或背离中心点的一簇射线流动若流速方向背离中心点，称源；若流速指向中心点，称汇。OyxM（r,θ）rθurψ1ψ2ψ3ψ4ψ5ψ6ψ7ψ8φ1φ2φ3φ4φ5源OyxM（r,θ）rθurψ1ψ2ψ3ψ4ψ5ψ6ψ7ψ8φ1φ2φ3φ4φ5汇设中心点流动的流量为Q，Q称源强度。则距源中心点距离为r处的径向流速为：OyxM（r,θ）rθurψ1ψ2ψ3ψ4ψ5ψ6ψ7ψ8φ1φ2φ3φ4φ5源OyxM（r,θ）rθurψ1ψ2ψ3ψ4ψ5ψ6ψ7ψ8φ1φ2φ3φ4φ5汇14.2.2势流叠加原理举例工程上常利用势流叠加原理求解一些复杂平面势流。例如，钝形物体线流，圆柱线流等。这种方法的关键问题在于如何选择简单势流，并加以组合，使叠加后的势流满足给定边界条件。则叠加后的势流就是给定边界条件的势流解。举例如下。源均匀等速流叠加后的平面势流流函数和流速势为1．源和均匀等速流的叠加yψ=0xQ/2Uψ=0.5Qψ=0.5QAO水平线OA

是零流线的一个解yψ=0xQ/2Uψ=0.5Qψ=0.5QAOBSCDyψ=0xQ/2Uψ=0.5Qψ=0.5QAOBSCDyψ=0xQ/2Uψ=0.5Qψ=0.5QAOBSCD流线将流动分成：内部流动与外部流动。用一固体边界代替分界线，平面势流为一个绕钝形物体的绕流流场，就像均匀流绕桥墩的流动图形。内部流动外部流动2．等强度源和汇叠加－源汇设有强度相等的源Q和汇-Q，位于不同的两点A和B，AB间距为2ξ源和汇对称分布于原点两侧的x轴上源汇yP(x,y)θ1θ2r1r2ξξxABO源汇yP(x,y)θ1θ2r1r2ξξxABO源汇叠加后势流流速势和流函数为yP(x,y)θ1θ2r1r2ξξxABO源汇叠加后势流流速势和流函数yP(x,y)θ1θ2r1r2ξξxABOyxBA由高等数学可知：z0由高等数学可知：ξ

03．偶极子将源与汇无限接近于原点，称为偶极点，而其强度Q→∞，则

式中，M称偶极矩

yx偶极子流动图形偶极点（坐标原点）是源，又是汇yx偶极子流动图形偶极点（坐标原点）是源，又是汇等势线yxU4．圆柱绕流yxU4．圆柱绕流+yxU4．圆柱绕流+14平面恒定势流

14.1恒定平面势流的流速势及流函数

14.3流网法解平面势流

14.2势流叠加法解平面势流

14.4平面势流的其他解法

14.5平面势流的数值解法算例平面势流存在流速势函数和流函数。等势线与流线正交。等势线和流线两组曲线构成的正交网格叫流网。

流网法：由给定边界条件绘制出流网，再根据流网特性，计算出网点流速。其方法简单，不需复杂数学理论。14.3.1流网的特性流线等势线Oyxψ1φ1ψ4ψ2ψ3φ2φ3φ4流线等势线Oyxψ1φ1ψ4ψ2ψ3φ2φ3φ4（1）组成流网的流线与等势线正交

将流速方向逆时针旋转90度后的方向为流函数增值方向OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu（2）流速势的增值方向与流速的方向一致OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu（3）取每个网眼相邻两流线间的流函数差与相邻等势线间的流速势差相等，每个网眼则为正交方格。OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu实用上绘制流网时，不可能绘制无数多的流线及等势线。因此，上式应改为差分形式。OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu取Δφ＝Δψ

，则Δn＝Δm，则每个网眼为正交曲线方格，Δn＝Δm

是网眼对边中点的距离。OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu

Δn＝Δm

应看作是网眼对边中点的距离。OyxΨ+dΨφψΦ+dΦ

dn

dmθu若边界轮廓为已知，使每一网眼接近正交曲线方格，用手试描几次就可绘出流网。这是近似法绘流网原理。AC△m试描时一般均先绘流线，然后再绘等势线沿边界液体质点的流速方向必与边界相切，上下两边界都是流线，所有等势线应与边界相正交。AC△m因流线不能转折，图中的C点必为驻点，此处网格并非方格（网格分成无穷小时，则该处应为方格）AC△mAC△m因流线不能转折，图中的C点必为驻点，此处网格并非方格（着网格分成无穷小时，则该处应为方格）试描等势线时应先绘C点两侧的等势线，然后再分别向上下游描绘其他等势线、AC△m若水流方向系自左向右，根据儒可夫斯基法则，流速势的增值方向为自左至右，流函数的增值方向为自下向上。AC△m若流线有五根，流线之间的间隔有四个，若流量为q时，则若取Δφ＝Δψ＝0.25qAC△mψ1=a;ψ2=ψ1+Δψ=a+0.25qψ3=ψ2+Δψ=a+0.5qψ4=ψ3+Δψ=a+0.75qψ5=