2019-2020学年人教A版 必修一 函数的应用 单元测试

函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．．函数的零点所在的区间为A．B．C．(D．【答案】C【解析】解：因为函数的零点所在的区间两端点的函数值异号可以判定当x=1/4,x=1/2时函数值异号，因此选C2．已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为A．(-∞,0］B．［0,1)C．(-∞,1)D．［0,+∞)【答案】C【解析】试题分析：根据题意从而得到函数f(x)=的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根故选：C考点：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断.点评：解决方程根的问题，一般来说，可以直接法求解方程，也可以采用分离为两个函数对应相等，利用图像的交点情况来说明。将方程f（x）=x+a根的个数，转化为求函数零点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键．3．已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围（）A．（0，）B．（）C．（1，）D．0,1【答案】D【解析】【分析】作出函数和程的图象，结合图象即可求得答案【详解】作出函数程和程的图象，如图所示由图可知当方程有两不等实数根时，则实数的取值范围是0,1故选【点睛】本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题。4．方程有解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】可化为，即，当时，方程显然无解；当时，方程化为，，，即，解得.考点：复合方程的解的个数.5．若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由得，其所表示的区域如图阴影部分所示.xxy通过做出函数的图象可知，只有的图象分布在阴影部分，故选D.考点：1.函数的图像；2.对新概念的理解.6．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于的方程解得个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[﹣2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象可得y＝f（x）与y＝log8（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点．【详解】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f[2+（x+2）]＝f[（x+2）﹣2]＝f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T＝4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（6）＝1，则函数y＝f（x）与y＝log8（x+2）在区间（﹣2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得y＝f（x）与y＝log8（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点．故选：C．【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考查数形结合思想，属于中档题．7．已知是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】【分析】由题可知函数周期为2，作出函数数和在区间上的的图像。即可得到答案.【详解】由，知关于点中心对称，又是定义在R上的奇函数，则函数的周期为2，已知，，作出函数和在区间上的的图像如图所示，已知，所有零点之和为【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与对称性性的应用，属于中档题．8．设函数f(x)=x2,x≥1或x≤−1x，−1<x<1，g(x)=ax2+bx+c(a≠0)A．[1,+∞)B．[0,+∞)C．(−∞,−1]∪[1,+∞)D．(−∞,−1]∪[0,+∞)【答案】B【解析】【分析】作出分段函数f(x)的图象，f[g(x)]的值域是[0,+∞)，则g(x)的值域为[0,+∞)。【详解】作出函数f(x)的图象，因为f[g(x)]的值域为[0,+∞)，所以g(x)的值域为[0,+∞)，故选B【点睛】外重复合函数的定义域为里重函数的值域，复合函数的定义域为里外两重函数定义域的交集。9．已知函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】确定定义域后，可知函数在定义域内单调递增；根据零点存在定理，求得的取值范围.【详解】①当时，在上单调递增又，只需，函数存在零点即②当时，在上单调递增函数值域为，函数存在零点综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查函数的单调性与零点问题，关键在于通过对于函数单调性的判断，得到函数值域，从而根据零点存在定理解决问题.10．已知与分别是函数与的零点，则的值为A．B．C．4D．5【答案】D【解析】【分析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解．【详解】解：由，化简得，设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立得；，由中点坐标公式得：，所以，故选：D．【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.11．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)，(0,8)，(0,16)内，则下列命题中正确的是（）A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间[2,16)上无零点C．函数f(x)在区间(1,16)内无零点D．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点【答案】B【解析】【分析】由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其他不能确定．【详解】由题意函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)，可确定零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其中A和C不能确定，由题意零点可能为1，故D不正确，故选：B．【点睛】本题考查对函数零点的判定定理的理解，属基础知识的考查．属基础题．12．函数零点的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】解：因为函数零点的个数的判定可以转化为研究函数y=|lgx|与函数y=(1/2)x的交点个数即可。作图可知选C.二、填空题13．方程的解在区间（k，k+1）（）上，则k=_______．【答案】2【解析】令，则方程的近似解即函数f(x)的零点，在（k,k+1）上，k故答案为214．若实数满足方程组，则__________．【答案】1【解析】因为，由②化简得：8y3−2(1+cos2y)+2y+3=0，整理得：−8y3+cos2y−2y−2=0,即(−2y)3+cos(−2y)+(−2y)−2=0，设t=−2y,则有t3+cost+t−2=0，与方程①对比得：t=x，即x=−2y，∴x+2y=0，则cos(x+2y)=1.故答案为：1.15．已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．【答案】【解析】试题分析：首先根据偶函数定义可得a=−1,b=−2,c=1，其次有A、B在y轴左边，由于以及对称性，知xA=3xB，把y=t代入f(x)表达式，有−x2−2x+1=t，即x2+2x+t−1=0，所以xA考点：偶函数的定义，二次方程根与系数的关系．16．已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意，给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号是.xxy11O【答案】③④【解析】略三、解答题17．已知f(x)=2x（1）若f(x)>k的解集为{x|x<−3或x>−2}，求k的值；（2）若对任意的x>0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．【答案】（1）－25（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k＝－2(2)∵x>0，f(x)＝2xx2+6＝2x+6x≤226＝66，当且仅当x＝6时取等号．由已知f(x)≤t对任意x18．（本题满分10分）一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进（如图），现在小船在水平面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车与小船本身的大小）.（第23题图）图（第23题图）图【答案】解：设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图）…………1分则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，…………3分设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为β,记∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l，又PQ⊥水面，即PQ⊥，作AC∥PQ，则AC⊥.连结CB，则AC⊥CB.再由AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，…………5分∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,…………8分t=2时AB最短，最短距离为30m.…………10分【解析】略19．（本题满分14分）甲、乙两地相距12km.A车、B车先后从甲地出发匀速驶向乙地.A车从甲地到乙地需行驶15min；B车从甲地到乙地需行驶10min.若B车比A车晚出发2min：（1）分别写出A、B两车所行路程关于A车行驶时间的函数关系式；（2）A、B两车何时在途中相遇？相遇时距甲地多远？【答案】（1）（2）A、B两车在A车出发时途中相遇，相遇时距甲地。【解析】试题分析：匀速行驶的路程与时间关系是：路程=速度时间；首先分析车的速度为，于是行驶的路程与行驶的时间之间的函数关系为,即；再分析车的速度为，由于车比车晚出发2min,当时，车行驶路程关于车行驶时间的函数关系为；车从甲地到达乙地需10min,当时，，当时，车已经到达乙地，而车还在路上行驶，试题解析：（1）设车行驶时间为x（min），车、车所行路程分别为.则车所行路程关于行驶时间的函数为,即；车所行路程关于车行驶时间的函数关系式为（2）设两车在车出发时途中相遇，则.于是，，即两车在A车出发6min时途中相遇，相遇时距甲地.考点：1.根据实际问题，建立函数模型；2.借助函数思想解题20．设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。试题解析：解：当2分,.5分当时7分，10分综上.12分考点：分段函数，指数、对数不等式。21．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt∆FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ.（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域；（2）若sinθ+cosθ=，求此时管道的长度L；（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.【答案】解：（1）EH=，FH=EF=分由于BE=10tanθ≤10,AF=≤10故≤tanθ≤,θ∈[,]分L=++，θ∈[,](2)sinθ+cosθ=时，sinθ•cosθ=,