2018-2019学年人教A版必修二 第一章 空间几何体 单元测试

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是()A.棱柱 B.棱台C.圆柱 D.球答案C2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是()解析由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选D.答案D3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB的面积是()A.6 B.32 C.62 D.12解析△OAB是直角三角形,其两条直角边分别是4和6,则其面积是12.答案D4.若圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的12,则圆锥的体积(A.缩小为原来的12 B.扩大为原来的2C.不变 D.缩小为原来的1解析设原圆锥的高为h,半径为r,体积为V,则V=13πr2h;变化后圆锥的体积为V'=13π12r2·2h=1答案A5.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是()A.6π B.12π C.18π D.24π解析该几何体是两底面半径分别为1,2,母线长为4的圆台,则其侧面积是π(1+2)×4=12π.答案B6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的全面积为()A.32π B.(5+32)πC.5+323π D.解析由题意被截去圆锥的高为1,母线长为2,圆台的母线长为2,∴圆台的全面积为π(12+22+1×2+2×2)=(5+32)π.故选B.答案B7.(2018全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217 B.25 C.3 D.2解析如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN在Rt△MCN中,MN=MC2+N答案B8.已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形,则该四棱锥的体积为()A.24 B.80C.64 D.240解析由已知中的棱锥的俯视图,可得该四棱锥的体积V=13×6×8×5=80.故选B答案B9.如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且AB=BC=1,则此几何体的体积是()A.12 B.C.22 D.解析由三视图可知该几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图.根据正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2,∴棱锥的高为1.又底面直角梯形的底边长分别为1,2,高为1,∴底面面积为1+22×1=32,∴几何体的体积V=13×32×1答案A10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=13,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为()A.30 B.18C.15 D.12解析VBB=S△ABC×6-13S△ABC·A1F-13S△ABC=S△ABC·6-13(A1∵AC=AB=13,BC=6,∴S△ABC=12×6×(13)∴VBB1C1CEF=答案A11.导学号57084019正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为()A.443π B.484C.814π D.16解析如图,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,又底面边长为4,∴AE=22,PE=6,∴侧棱长PA=PE2+A设球的半径为R,则PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=113∴S=4πR2=4π1132=484答案B12.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积为()A.13+23πC.13+26π D.解析由三视图可知,四棱锥为底面边长为1的正方形,高为1.其体积V1=13×12×1=1设球的半径为R,因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形,故2R=2,即R=22所以半球的体积为V2=12×4π3故该几何体的体积为V=V1+V2=13+2π答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于cm.解析设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.答案514.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.解析因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍,所以V1∶V2=13S△ADE·答案1∶2415.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=23,则棱锥O-ABCD的体积为.解析依题意,棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径,如图,连接AC,取AC中点O',连接OO'.易知AC=AB2+BC2=43在Rt△OAO'中,OA=4,从而OO'=42-12所以VO-ABCD=13×2×6×23=83答案8316.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是.(填序号)①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是菱形;③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.解析①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=5,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.答案①③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如图.(1)几何体的体积V=13S矩形h=13×6×8×4=(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1=42+3左、右侧面的底边上的高h2=42+42故几何体的侧面积S=2·12×8×5+12×6×418.(本小题满分12分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面=12×4π×22=8π(cm2S圆台侧=π(2+5)(5-2)2+S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm3V半球=12×4π3×23=所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-16π3=14019.(本小题满分12分)如图所示的是一个边长为5+2的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.解设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则依题意有14·2πl=2πr,∴l=4r∵AC=OC+OA=2r+r+l=(2+5)r,且AC=2×(2+5),∴(2+5)r=(2+5)×2,∴r=2.∴l=42,∴h=l2∴V圆锥=13πr2h=13π(2)2×故该圆锥的体积为23020.导学号57084020(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时A1M解沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B'(如图).(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为62+22(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1=42+22=25.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即A1MAM=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为221.导学号57084021(本小题满分12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是4cm与2cm,如图,俯视图是一个边长为4cm的正方形.(1)求该几何体的全面积;(2)求该几何体的外接球的体积.解(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4cm,高是2cm,因此该几何体的全面积是2×4×4+4×4×2=64(cm2),即该几何体的全面积是64cm2.(2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,设长方体的体对角线为dcm,球的半径为rcm,则d=16+16+4=36所以球的半径为r=3(cm).球的体积V=43πr3=43×27π=36π(cm因此,外接球的体积是36πcm3.22.(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)若按方案一,仓库的底面直径变