高二寒假结业测试卷

第1页（共1页）高二寒假结业测试卷一．选择题（共8小题）1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}2．（2022秋•延庆区期末）若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为（）A．， B．， C．， D．，3．（2022秋•沈河区校级月考）已知数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9＝4π，则tan（a3+a7）＝（）A． B． C． D．4．（2022•达州模拟）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bcsinA＝b2+c2﹣a2，则A＝（）A． B． C． D．5．（2021•南安市校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*），则a6＝（）A．12 B．13 C．16 D．326．（2022秋•贵州月考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2021秋•郊区校级月考）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．（2022秋•金溪县校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时，有0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣0，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）10．（2022秋•长沙月考）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，直线l：4x+3y﹣12＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，则（）A．过点B作圆O的切线，则切线长为 B．满足的点P有3个 C．点P到直线l距离的最大值为 D．的最小值是1（多选）11．（2022秋•南关区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD为正三角形，CD＝2，M为BC的中点，则下列命题中正确的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直线AM与PC所成角的余弦值为 D．二面角C﹣PD﹣M大小为（多选）12．（2021秋•涟源市校级期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（）A．|AF|+|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为三．填空题（共4小题）13．（2021秋•涟源市校级期末）已知，，若，则m的值为．14．（2021秋•江干区校级期末）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则a＝．15．（2021秋•江苏期末）过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于点A，B，且点A的横坐标为4，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，则△ABC的面积为．16．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．四．解答题（共6小题）17．（2021秋•福建期末）在“①an+1＞an，a2a9＝51，a4+a7＝20；②S5＝25a1，a2＝3；③Sn＝n2”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且_____，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（2021秋•福建期末）如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：（1）MN∥平面PAD；（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．19．（2021秋•江干区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）已知，b＝2，设D为BC边上一点，且AD为角A的平分线，求△ABD的面积．20．（2022秋•河池月考）已知圆C经过点A（，），B（，），且圆心在直线x﹣y＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若过点（4，0）的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（2021秋•西区校级月考）已知曲线C上的任意一点到点F（0，1）的距离比到直线y+2＝0的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点O，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．22．（2022秋•历下区校级月考）已知函数f（x）＝x﹣sinx．（1）求函数f（x）在点处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≤ex+bx﹣1恒成立，求实数b的取值范围．

高二寒假结业测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|x＜16}【解答】解：由4，得0≤x＜16，∴M＝{x|4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|x＜16}．故选：D．2．（2022秋•延庆区期末）若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为（）A．， B．， C．， D．，【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a＝3，b＝4，c5，∴它的离心率为e，渐近线方程为y＝±．故选：C．3．（2022秋•沈河区校级月考）已知数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9＝4π，则tan（a3+a7）＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9＝4π＝3a5，∴a5，则tan（a3+a7）＝tan2a5＝tantan（）＝﹣tan，故选：C．4．（2022•达州模拟）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bcsinA＝b2+c2﹣a2，则A＝（）A． B． C． D．【解答】解：由余弦定理，知cosA，∵2bcsinA＝b2+c2﹣a2，∴sinA＝cosA，∴tanA1，∵A∈（0，π），∴A．故选：B．5．（2021•南安市校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*），则a6＝（）A．12 B．13 C．16 D．32【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，可得a1＝1；当n≥2时，由Sn＝2an﹣1，得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（an﹣an﹣1），即an＝2an﹣1（n≥2）；∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，则a6＝32，故选：D．6．（2022秋•贵州月考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴，∴f'（1）＝2，∴f'（x）＝3x2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴或．故选：B．7．（2021秋•郊区校级月考）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：将x代入椭圆的方程可得1，可得y＝±b，所以|AB|b，由△OAB是等边三角形，可得•b，所以a＝3b，所以离心率e，故选：D．8．（2022秋•金溪县校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时，有0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣0，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）＝0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0，在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0，所以在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0，所以不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集，所以x＜﹣2或0＜x＜2，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．（多选）10．（2022秋•长沙月考）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，直线l：4x+3y﹣12＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，则（）A．过点B作圆O的切线，则切线长为 B．满足的点P有3个 C．点P到直线l距离的最大值为 D．的最小值是1【解答】解：对A选项，点∵A（3，0），点B（0，4），过点B作圆O的切线，∴切线长为，∴A选项正确；对B选项，∵以AB为直径的圆与圆O：x2+y2＝4相交，∴的点P有2个，∴B选项不正确；对C选项，∵点B（0，4），且圆心到直线l的距离，∴点P到该直线距离的最大值为．∴C选项正确；对D选项，∵AB的中点，∴，又|PM|min＝|OM|﹣r，∴的最小值是1，∴D选项正确．故选：ACD．（多选）11．（2022秋•南关区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD为正三角形，CD＝2，M为BC的中点，则下列命题中正确的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直线AM与PC所成角的余弦值为 D．二面角C﹣PD﹣M大小为【解答】解：取CD的中点O，连接OP，因为△PCD为等边三角形，O为CD的中点，则PO⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CDPO⊂平面PCD，所以，PO⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为正方形，以点O为坐标原点，的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则BC⊥PD，A对；，易知平面PCD的一个法向量为，∴，故AM与平面PCD不平行，B错；，所以，直线AM与PC所成角的余弦值为对；设平面PDM的法向量为，则，取，则，所以，，由图可知，二面角C﹣PD﹣M的平面角为锐角，故二面角C﹣PD﹣M为，D对．故选：ACD．（多选）12．（2021秋•涟源市校级期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（）A．|AF|+|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为【解答】解：设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|为定值6，A正确；△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是（0，6），所以△ABF的周长的范围是（6，12），B错误；将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，所以，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．（2021秋•涟源市校级期末）已知，，若，则m的值为6．【解答】解：∵，∴，即（1，5，﹣2）•（m，2，m+2）＝0，∴m+10﹣2m﹣4＝0，解得m＝6．故答案为：6．14．（2021秋•江干区校级期末）已知直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则a＝﹣2．【解答】解：直线l1：2x+ay+2＝0与直线l2：（a﹣1）x+3y+2＝0平行，则2×3＝a（a﹣1），解得a＝﹣2或3，当a＝﹣2时，直线l1与l2不重合，符合题意，当a＝3时，直线l1与l2重合，不符合题意，舍去，故a＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（2021秋•江苏期末）过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于点A，B，且点A的横坐标为4，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，则△ABC的面积为．【解答】解：如图所示，由y2＝4x，可得焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，∵点A的横坐标为4，∴y2＝4×4，解得y＝4，∴A（4，4），∴直线AC的方程为：yx，即y＝x，联立，解得x＝﹣1，y＝﹣1，∴C（﹣1，﹣1）．直线AF的方程为：y（x﹣1），化为：4x﹣3y﹣4＝0．联立，解得，，∴B（，﹣1），∴BC∥x轴，∴△ABC的面积S|BC|×|yA﹣yB|5，故答案为：．16．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k，∴切线方程为y﹣（x0+a）（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．四．解答题（共6小题）17．（2021秋•福建期末）在“①an+1＞an，a2a9＝51，a4+a7＝20；②S5＝25a1，a2＝3；③Sn＝n2”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且_____，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）方案一：选择条件①由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a4+a7＝a2+a9＝20，将a9＝20﹣a2代入a2a9＝51，整理，得20a2+51＝0，解得a2＝3，或a2＝17，当a2＝3时，a9＝17，当a2＝17时，a9＝3，∵an+1＞an，∴a2＝3，a9＝17，∴d2，∴a1＝a2﹣2＝3﹣2＝1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．方案二：选择条件②由题意，设等差数列{an}的公差为d，则，化简整理，得，解得，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．方案三：选择条件③由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，∴an＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn•（），则Tn＝b1+b2+•••+bn•（1）•（）+••••（）•（1•••）•（1）．18．（2021秋•福建期末）如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：（1）MN∥平面PAD；（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，则QN∥DC，，又因为AM∥DC，，所以四边形AMNQ为平行四边形，所以MN∥AQ，因为MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）解：建立空间直角坐标系如图，因为PA＝AD＝AB＝2，所以P（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，0），C（2，2，0），，，．设平面PMC法向量为：（x，y，z），则，，解得x＝2z，y＝﹣z，令z＝1，则（2，﹣1，1）．设PD与平面PMC所成角为θ，则sinθ＝|cos．19．（2021秋•江干区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）已知，b＝2，设D为BC边上一点，且AD为角A的平分线，求△ABD的面积．【解答】解：（1）由正弦定理得，，因为，所以，因为sinB≠0，所以，所以．因为0＜A＜π，所以．（2）在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以28＝4+c2﹣4c•cos，解得c＝4或﹣6（舍负），由角平分线性质知，2，所以，过A作AE⊥BC于E点，则，．所以，即S△ABDS△ABCbc•sinA2×4．20．（2022秋•河池月考）已知圆C经过点A（，），B（，），且圆心在直线x﹣y＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若过点（4，0）的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由A（，），B（，），可得线段AB的垂直平分线方程为：y＝0，又圆心在直线x﹣y＝0上，∴圆心满足，解得x＝y＝0，即圆心C（0，0），半径r2，∴圆C的方程为x2+y2＝4．（2）①假设存在以EF为直径且过点P（0，2）的圆，kl＝0时，∵点P在圆C上，∴PE⊥PF，因此EF必为圆C的直径，∴存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，即为圆C．②kl≠0时，此时点（0，2）为直径的一个端点．可得直线l的方程为1，化为x+2y＝4，联立，5y2﹣16y+12＝0，解得y＝2，，∴，，可得线段EF的中点G（，），|EF|，可得此时以EF为直径且过点（0，2）的圆的方程为：．此时点（0，2）为直径的一个端点．综上可得：x2+y2＝4，．21．（2021秋•西区校级月考）已知曲线C上的任意一点到点F（0，1）的距离比到直线y+2＝0的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点O，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C上的任意一点到点F（0，1）的距离比到直线y+2＝0的距离小1，可得曲线C上的任意一点到点F（0，1）的距离比到直线y+1＝0的距离小相等，由抛物线的定义可知曲线C为抛物线，且焦点（0，1），准线方程为y＝﹣1，设抛物线的方程为x2＝2py，p＞0，可得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y；（Ⅱ）证明：由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得