第07讲一元二次方程概念与因式分解法（4知识点6大核心考点过关测）

第07讲一元二次方程概念与因式分解法（4知识点+6大核心考点+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01：一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程．概念解析：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点02：一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点03：一元二次方程的解满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根。知识点04：因式分解法解一元二次方程通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程因式分解法解一元二次方程一般步骤：（1）将方程右边化为零；（2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【题型1判断是否是一元二次方程】【例1】（2425八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）【答案】B【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义逐项判断即可．故选：B．【变式11】（2425八年级下·上海·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）【答案】D【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可．故选：D．【变式12】（2425八年级上·上海崇明·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）【答案】A【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．故选：A．【变式13】（2425八年级上·上海奉贤·期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（

）【答案】A【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．故选：A．【题型2由一元二次方程的定义求参数】【答案】B【知识点】由一元二次方程的定义求参数故选：．【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件．【答案】【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．故答案为：．【答案】3或【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．故答案为：3或．【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时 二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．当取何值时，方程为一元二次方程？当取何值时，方程为一元一次方程？【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【题型3化成一元二次方程的一般式】【例3】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2，【答案】C【知识点】化成一元二次方程的一般式故选：C．【变式32】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0，故选：D．【变式33】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，移项得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D．A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【知识点】化成一元二次方程的一般式则，，的值分别是，，．故选：B．【题型4判断是否是一元二次方程的解】【答案】2、是原方程的根，5不是．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范．A． B．1 C．0 D．2【答案】B【知识点】判断是否是一元二次方程的解故选：B．【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可．【题型5由一元二次方程的解求参数】【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【答案】【知识点】由一元二次方程的解求参数故答案为：．【答案】2【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0．故答案为：2．【答案】0．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握．【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解．【题型6因式分解法解一元二次方程】【例6】口答下列方程的根：【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【知识点】因式分解法解一元二次方程【变式62】解下列方程：【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【知识点】因式分解法解一元二次方程【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练使用提公因式法是解题的关键．将原方程右边化为，再运用提公因式法即可求解．【变式64】解下列方程：【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【变式65】（2425八年级上·上海浦东新·期末）解方程：一、单选题1．（2425八年级上·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（

）【答案】C【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．故选：C．【答案】D故选：D．二、填空题【知识点】因式分解法解一元二次方程【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．【知识点】由一元二次方程的解求参数【答案】【知识点】由一元二次方程的解求参数故答案为：【知识点】化成一元二次方程的一般式【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可．【答案】【知识点】化成一元二次方程的一般式【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．∴一次项的系数为，故答案为：．三、解答题【答案】m的值为．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．所以，m的值为．10.（2425八年级上·上海·期末）解方程：【知识点】因式分解法解一元二次方程【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．【知识点】因式分解法解一元二次方程【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解．【知识点】因式分解法解一元二次方程【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案．【知识点】因式分解法解一元二次方程(1)为何值时，此方程是一元一次方程？(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．（1）利用一元一次方程的定义判断即可；（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【答案】13．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．16.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．【解答】解：（1）是．理由如下：当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，即m的值为2或﹣1．请写出第n个方程和它的根．【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程