2024-2025学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|2x−3<0}，则A∩B=A.{0,1} B.{1,2} C.{2,3} D.{−1,0,1}2.已知复数z满足z⋅(1+3i)=2，则A.|z|=1 B.z=1−3i C.z的虚部为−3.命题“∃a∈R，f(x)=x3−axA.∀a∈R，f(x)=x3−ax2是偶函数

B.∀a∈R，f(x)=x3−ax2不是奇函数

C.4.已知变量x，y的统计数据如下表：x01234y1015203035分析表中的数据，发现y与x之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为y=6.5x+a，据此模型预测：当x=10时，A.71.5 B.72 C.73.5 D.745.已知非零向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|A.a,b同向 B.b,c同向

C.a,6.某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为23，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数f(x)=(x−2)nlnx，则A.当n=1时，f(x)在(0,2)上单调递减B.当n=1时，f(x)在x=2处取到极小值

C.当n=2时，f(x)在(0,2)上单调递增D.当n=2时，f(x)在x=2处取到极小值8.已知A，B，C为函数y=sinx和y=sin(x−t)(t≠kπ,k∈Z)图象的三个连续交点，若△ABC的面积为π，则t的值可以是(

)A.π6 B.π3 C.2π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(x−2x)n的展开式中，若所有项的二项式系数和为A.n=6

B.展开式中的常数项为240

C.展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等

D.展开式中的各项系数之和为110.已知随机变量X～N(1,4)，定义函数F(x)=P(X≤x)，即F(x)表示随机变量X≤x的概率，则(

)A.函数F(x)在定义域R上单调递减 B.F(0)+F(2)=1

C.函数F(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数F(x)的图象关于点(1,111.若函数f(x)=ex与g(x)=kx+b的图象有且只有一个公共点，则(

)A.当b>1时，k≤0 B.当0<b≤1时，k>e

C.当k<0时，b可取任意实数 D.当k>0时，k+b的最大值为e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak−1(k=3,4,7)，则实数a=13.某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法.(用数字作答)14.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，球O与棱AB，AD，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=lnx+x2+ax在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求a的值；

(2)求函数16.(本小题15分)

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA−csinC=bsinB−bsinC．

(1)若a=3，求△ABC外接圆的半径；

(2)设△ABC的面积为S，若S=3+17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AD=2AB=2，∠BCD=60°，AB⊥AP，点E满足PE=2EA，点F是线段AD的中点．

(1)证明：BD⊥平面PCD；

(2)若二面角E−BF−C的大小为135°时，求四棱锥P−ABCD的体积．18.(本小题17分)

某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表：样品一等品二等品三等品甲产品603010乙产品1008020(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？

(2)根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品．

(i)若抽取1件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率；

(ii)若抽取3件产品，求抽到一等品的件数X的数学期望．

附：χ2=n(ad−bcP(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题17分)

设S，T是两个非空数集，函数f(x)的定义域为R，若对任意x1，x2∈R，当x1−x2∈S时，f(x1)−f(x2)∈T，则称f(x)为(S,T)函数．

(1)设S=[1,+∞)，T=[2,+∞)，f(x)=kx+c是(S,T)函数，求实数k的取值范围；

(2)设S={1}，T={2}，f(x)是(S,T)函数，当x∈[0,1)时，f(x)=4πsin(πx)，求y=f(x)−2x在答案解析1.【答案】D

【解析】解：因为B={x|2x−3<0}={x|x<log23}，

所以A∩B={−1,0,1}．

故选：D．2.【答案】A

【解析】解：复数z满足z⋅(1+3i)=2，

∴由题设z=21+3i=2(1−3i)(1+3i)(1−3i)=12−32i，故B错误；3.【答案】B

【解析】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题“∃a∈R，函数f(x)=x3−ax2是奇函数”的否定是“∀a∈R，函数f(x)=x3−ax4.【答案】D

【解析】解：由数据得x−=15×(0+1+2+3+4)=2，y−=15×(10+15+20+30+35)=22，

代入经验回归直线方程为y=6.5x+a，得22=6.5×2+a，即a5.【答案】B

【解析】解：因为非零向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|，c=a+2b，

所以c2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2，

所以|c|2=|a|2=|a|2+4a⋅b+4|6.【答案】C

【解析】解：由题意，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下：

①仅投篮1次并投中：P1=23=1827，

②投篮2次均投中：P2=23×23=49=1227，

③投篮3次均投中或仅投中2次：P3=(23)37.【答案】D

【解析】解：当n=1时，函数f(x)=(x−2)lnx，x∈(0,+∞)，

由于导函数f′(x)=lnx+(x−2)⋅1x=lnx+1−2x，

令函数g(x)=lnx+1−2x，x∈(0,+∞)，

由于导函数g′(x)=1x+2x2>0，

因此函数g(x)=lnx+1−2x在x∈(0,+∞)单调递增，

又由于g(1)=ln1+1−21=−1<0，g(2)=ln2+1−22=ln2>0，

因此∃x0∈(1,2)，使g(x0)=0，

因此∃x0∈(1,2)，使f′(x0)=0，

因此函数f(x)在x∈(x0,+∞)单调递增，x∈(0,x0)单调递减，

对于选项A，f(x)在x∈(x0,2)单调递增，x∈(0,x0)单调递减，因此选项A错误；

对于选项B，f′(2)=ln2>0，因此x=2不是f(x)的极值点，因此选项B错误；

当n=2时，函数f(x)=(x−2)2lnx，x∈(0,+∞)，

由于导函数f′(x)=2(x−2)lnx+(x−2)2⋅1x=(x−2)(2lnx+x−2x)，

令函数ℎ(x)=2lnx+x−2x，x∈(0,+∞)，

由于导函数ℎ′(x)=2x+2x2>0，

因此函数ℎ(x)=2lnx+x−2x在x∈(0,+∞)单调递增，

由于ℎ(1)=2ln1+1−21=−1<0，ℎ(2)=2ln2+2−22=2ln2>0，

因此存在m∈(1,2)，使ℎ(m)=0，

对于选项C，当x∈(0,2)时，x−2<0，

而x∈(m,2)时，函数ℎ(x)>0，x∈(0,m)时，函数ℎ(x)<0，

因此x∈(m,2)时，f′(x)<0，x∈(0,m)时，f′(x)>0，

因此函数f(x)在x∈(0,m)单调递增，x∈(m,2)单调递减，因此选项C错误；

对于选项D，由于f′(2)=08.【答案】C

【解析】解：方法一：因为sinx=sin(x−t)，

所以x+x−t=π+2kπ，k∈Z，

所以x=t2+π2+kπ,k∈Z，

因为A，B，C为连续三个交点，故不妨设k=0，1，2，

此时A(t2+π2,sin(t2+π2)),B(t2+3π2,sin(t2+3π2)),C(t2+5π2,sin(t2+5π2))，

即A(t2+π2,cost2),B(t2+3π2,−cost2),C(t2+5π2,cost2)，

所以|AC|=2π，点B到AC的距离ℎ=|2cost2|，

所以SΔABC=12⋅|AC|⋅ℎ=12⋅2π⋅|2cost2|=2π⋅|cost2|=π，

所以|cost2|=12，

所以cost2=±12，

解得t2=±π3+kπ,k∈Z，

所以t=±2π3+2kπ,k∈Z，

所以k=0时，t=2π3符合题意．

方法二：如图①所示，分析图象可知，|AC|=2π，且AC/​/x轴，9.【答案】ABD

【解析】解：对于A，由题意可得二项式系数和为2n=64，解得n=6，故A正确；

对于B，(x−2x)6展开式的通项公式为Tk+1=C6kx6−k(−2x)k=C6k(−2)kx6−3k2，k=0，1，…，6，

令6−3k2=0，得k=4，即常数项为T5=C64(−2)4x0=240，故B正确；

对于C，第3项二项式系数为C6210.【答案】BD

【解析】解：已知随机变量X～N(1,4)，定义函数F(x)=P(X≤x)，

即F(x)表示随机变量X≤x的概率，

根据正态分布的性质，结合函数F(x)=P(X≤x)在定义域R上单调递增，A错误；

因为随机变量X～N(1,4)，

则F(0)+F(2)=P(X≤0)+P(X≤2)=P(X≤0)+1−P(X>2)=1，B正确；

若函数F(x)的图象关于直线x=1对称，

则F(x)=F(2−x)，而F(2−x)=P(X≤2−x)，

只有当x=1时才成立，C错误；

若F(x)的图象关于点(1,12)中心对称，则F(x)+F(2−x)=1，

因为X服从正态分布N(1,4)，所以F(x)关于x=1对称，

所以P(X≤x)=P(X≥2−x)，

则F(x)+F(2−x)=P(X≤x)+P(X≤2−x)=P(X≥2−x)+P(X≤2−x)=1，

D正确．

故选：BD．

由正态分布可得函数F(x)=P(X≤x)在定义域R上单调递增，判断A；由正态分布的性质可判断B；通过判断F(x)=F(2−x)是否成立可判断C；证明F(x)+F(2−x)=1可判断D11.【答案】ACD

【解析】解：在同一平面直角坐标系下画出函数f(x)=ex与g(x)=kx+b的图象．

由图易知选项AC正确；

当b=1时，易知f(x)=ex在x=1处的切线方程为y=x+1，

此时函数f(x)=ex与g(x)=kx+b的图象有且只有一个公共点，且k=1，故选项B错误；

对于D选项，当k>0时，g(x)=kx+b与f(x)=ex相切，设切点为(x0,ex0)，则f′(x)=ex，则k=ex0ex0=kx0+b，

则b=k−klnk，则k+b=2k−klnk．

令ℎ(k)=2k−klnk，则ℎ′(k)=1−lnk，所以y=ℎ(k)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

所以ℎ(k)max=ℎ(e)=e，即k+b的最大值为e，故D正确．

故选：ACD．

在同一平面直角坐标系下画出函数f(x)=ex与g(x)=kx+b的图象，由图易判断选项AC；

当b=1时，易知f(x)=ex在x=1处的切线方程为y=x+112.【答案】1

【解析】解：根据题意，随机变量X的分布列为P(X=k)=ak−1(k=3,4,7)，

则P(X=3)+P(X=4)+P(X=7)=1，即a2+a3+a6=1，解可得a=113.【答案】24

【解析】解：根据题意，分两种情况讨论即可，

第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排，则有A33=6种；

第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，

先选两人出来，有C32=3种，

再将三门不同科目分为两组，有C32=3种情况，

再将科目分给学生有A22=2种，

所以不同的安排方案有C314.【答案】4−2【解析】解：棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，球O与棱AB，AD，AA1均相切，且与侧面BCC1B1也相切，

由对称性可知，球心O在立方体对角线AC1上．

过O作OF⊥BC1，可知OF⊥平面BCC1B1，

故球O与平面BCC1B1相切于点F，所以|OF|为球O的半径r；

过O作OE⊥AB，故球O与AB相切于点E，所以|OE|为圆O的半径r．

15.【答案】−3．

单调递减区间为(12,1)，单调递增区间为(0,12)和(1,+∞)；

极大值f(【解析】(1)根据题意，f(x)的定义域为{x|x>0}，

那么导函数f′(x)=1x+2x+a，

由于f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行，

因此f′(1)=3+a=0，

解得a=−3．

(2)f(x)的定义域为(0,+∞)．

且导函数f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，

当x∈(12,1)时，导函数f′(x)<0；

当x∈(0,12)∪(1,+∞)时，导函数f′(x)>0，

因此f(x)的单调递减区间为(12,1)，单调递增区间为(0,12)和(1,+∞)，

所以当x=12时，函数16.【答案】1‘

B=π4或B=【解析】(1)在△ABC中，∵asinA−csinC=bsinB−bsinC，

∴由正弦定理可得a2−c2=b2−bc，即b2+c2−a2=bc，

∴由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=12，

∵A∈(0,π)，∴A=π3，∴2R=asinA=3sinπ3=2，∴△ABC外接圆的半径为1；

(2)由(1)知A=π3，

∵S=12bcsinA=3+312a2，∴由正弦定理可得1217.【答案】证明见解析；

1．

【解析】(1)证明：连结BD，在△BCD中，BC=2，CD=1，∠BCD=60°，

由余弦定理BD2=1+4−2×1×2×cos60°=3，即BD=3，

此时BD2+DC2=BC2，∴BD⊥DC，

又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PCD．

(2)如图建系，以D为原点，CD,DB方向为x，y轴，垂直于xDy平面向上的方向为z轴，

设P(x,0,z)，则D(0,0,0)，A(1,3,0)，B(0,3,0)，F(12,32,0)，

∴AP=(x−1,−3,z)，AB=(−1,0,0)，

由AB⊥AP，得AB⋅AP=0，即x=1，

由PE=2EA，得E(1,233,z3)，

∴BF=(12,−32,0)，BE=(1,−33,z3)，

设n1=(a,b,c)是平面BEF的法向量，

则18.【答案】无关；

(i)611；(ii)【解析】(1)根据题意，补全题干中的2×2列联表如下所示：一等品非一等品总计甲产品6040100乙产品100100200总计160140300零假设H0：产品为一等品与产品种类无关联，

将表格数据代入公式可得：χ2=300(60×100−40×100)2160×140×100×200=7528≈2.679<3.841．

根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充足的证据推断H0不成立，所以认为产