2024-2025学年河南省开封市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省开封市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中，是纯虚数的是(

)A.0 B.1+3 C.(1+2.设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(

)A.平行 B.相交

C.是异面直线 D.可能相交，也可能是异面直线3.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为(

)A.E∪F B.E∩F C.E∪F 4.△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，C=60°，则c=(

)A.3 B.7 C.3 5.从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是(

)A.14，16 B.16，14 C.18，16.若z=x+yi(x,y∈R)，且|z−(1+2i)|=2，则(

)A.(x−1)2+(y−2)2=2 B.(x−17.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是(

)A.−55 B.55 C.8.如图，以边长为2的菱形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为2π，则该几何体的表面积为(

)A.2πB.4π

C.8πD.16π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有A.样本x1，x2，…，xn的标准差 B.样本x1，x2，…，xn的中位数

C.样本x1，x2，…，xn的极差 D.10.已知复数z=1+i，则下列复数中虚部为0的有(

)A.z+z− B.z−z− C.11.如图所示，分别以等边三角形ABC的顶点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧BC，AC，AB，三段圆弧围成一个曲边三角形.已知AB=2，O为AB的中点，点P，Q分别在BC，AC上，若∠PAB=∠CBQ+π6，则(

)A.|PQ|的最小值是22−2

B.|PQ|可以取到22

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(4,x),b=(6,3)，且a//b，则13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为______．14.已知△ABC的面积为14，若sinAsinB=cosAcosB=14，则边AB=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在50～350kW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中x的值；

(2)求在被调查的用户中，用电量落在区间[50,200)内的用户数；

(3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望80%的居民生活用电费用支出不受影响，将a定为16.(本小题15分)

已知点A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，x≠0，且AB⊥AC．

(1)求x，y之间的关系式；

(2)若BC在AC上的投影向量的长度为217.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)证明：B18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为ma．

(1)利用余弦定理证明：ma=122(b2+c2)−a2；

(2)如图，△ABC在平面α上的正投影为△A′BC，O为BC的中点，已知直线AB，AO，19.(本小题17分)

数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为α(0<α<1)，收到1的概率为1−α；发送1时，收到1的概率为β(0<β<1)，收到0的概率为1−β．

(1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小；

(2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率．

(ⅰ)从下面①②③中选出一定错误的结论：

①α+β=43②α+β=1③αβ=14

(ⅱ)从(ⅰ)中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n(X)，如X=“1011答案解析1.【答案】C

【解析】解：由0,1+3为实数，故AB错误；

由复数1+3i中实部为1，故D错误；

由纯虚数的概念可知(1+3)i是纯虚数，故C正确．2.【答案】D

【解析】解：如图，长方体AC′中，

当A′B所在直线为a，BC′所在直线为b时，a与b相交；

当A′B所在直线为a，B′C所在直线为b时，a与b异面，

∴长方体相邻两面的对角线必相交或异面．

故选：D．

作出对应图形，可判断a，b直线的位置关系．

本题考查两直线位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，属于基础题．．3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查电路故障的事件的求法，考查并联电路的性质、事件的并、事件的交等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障．

【解答】

解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障“，

则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，

∴表示电路故障的事件为E∩F．

故选：D．4.【答案】A

【解析】解：由于a=1，b=2，C=60°，

利用余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC=1+4−2=3；

故：c=5.【答案】A

【解析】解：根据题意，将两名男生编号为a，b，两名女生编号为1，2，记“抽到的两人都是男生”为事件A，

在有放回简单随机抽样方式下，Ω={(a,a)，(a,b)，(a,1)，(a,2)，(b,a)，(b,b)，(b,1)，(b,2)，(1,a)，(1,b)，(1,1)，(1,2)，

(2,a)，(2,b)，(2,1)，(2,2)}，共16个样本点，

A={(a,a)，(a,b)，(b,a)，(b,b)}，有4个样本点，

所以P(A)=416=14；

无放回简单随机抽样方式下，的样本空间为：Ω={(a,b)，(a,1)，(a,2)，(b,a)，(b,1)，(b,2)，

(1,a)，(1,b)，(1,2)，(2,a)，(2,b)，(2,1)}，共12个样本点，

(a,b)，(a,1)，(a,2)，(b,a)，(b,1)，(b,2)，(1,a)，(1,b)，(1,2)，(2,a)，(2,b)，(2,1)共16个样本点，

A={(a,b)，(b,a)}，有2个样本点，

所以P(A)=212=16.【答案】B

【解析】解：z=x+yi(x,y∈R)，

则|2−(1+2i)|=|(x−1)+(y−2)i|=(x−1)2+(y−2)2=2，

化简整理可得，(x−1)7.【答案】B

【解析】解：根据题意，设真风风速对应的向量为n1，船行风速对应的向量为n2，

视风风速对应的向量为：n=(0,2)−(3,3)=(−3,−1)，

则n=n1+n2，则n2=−[(3,3)−(2,0)]=(−1,−3)，

则有n1=8.【答案】C

【解析】解：如图：

该几何体下部分为圆锥，上部分为在圆柱内挖去一个与下部分相同的圆锥，

设点D到AB的距离为d，

因为该几何体的体积为2π，

所以πd2×2=2π，

解得d=1，

所以该几何体的表面积为12×2π×2×2+2π×2=8π．

故选：C．

作出示意图，由题意可得D到9.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查了中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义，属于基础题．

利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可．【解答】

解：中位数是反应数据的变化，

方差是反应数据与均值之间的偏离程度，

极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，

平均数是反应数据的平均水平，

故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．

故选：AC．10.【答案】AC

【解析】解：z+z−=1+i+1−i=2，所以复数z+z−中虚部为0，故A正确；

z−z−=1+i−(1−i)=2i，所以复数z−z−中虚部为2，故B不正确；

zz−=(1+i)(1−i)=2，所以复数zz−中虚部为0，故C正确；

z−z11.【答案】AC

【解析】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为等边三角形ABC的边长为2，所以A(0,0)，B(2,0)，C(1,3)，

又因为O为AB的中点，所以O(1,0)，

因为圆弧BC以A为圆心，半径为2，AC以B为圆心，半径为2，

设∠PAB=α，所以P在BC上，P(2cosα,2sinα)，α∈[30°,60°]，

设∠CBQ=β，且α=β+30°，所以β∈[0,30°]，

因为Q在AC上，以B(2,0)为圆心，方向角ϕ=90°+α，

所以Q(2−sinα,2cosα)，

所以PQ=(xQ−xp,yQ−yP)=(2−sinα−2cosα,2cosα−2sinα)，

则|PQ|=23−2(sinα+cosα)=23−22sin(α+π4)，

在α∈[30°,60°]时，最小值α=45°处，则|PQ|min=23−22=22−2，故A正确；

|PQ|的最大值在α=30°或60°处，则|PQ|12.【答案】2

【解析】解：因为a/​/b，所以46=x3，解得x=2．

故答案为：13.【答案】20

【解析】解：由题可得A，B，C三所学校教师的人数比为：180：270：90=2：3：1，

所以三所学校抽取60名教师，其中A学校中应抽取的人数为60×22+3+1=20人．

故答案为：20．

根据题意，得到A，B，C三所学校教师的人数比为2：3：1，进而求得A14.【答案】2【解析】解：由题意可得cosAcosB−sinAsinB=cos(A+B)=cos(π−C)=−cosC=0，

可得cosC=0，

又C为三角形内角，

可得C=π2，即△ABC为直角三角形，

因为△ABC的面积为14，所以12ab=14，解得ab=12，

又因为a=csinA，b=csinB，且sinAsinB=14，

可得c2sinAsinB=ab，即c2×14=12，

解得c=2．15.【答案】x=0.0044；

600；

合理，理由见解析．

【解析】(1)根据频率和为1，(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1，计算得：x=0.0044；

(2)区间[50,100)：频率为50×0.0024=0.12，

区间[100,150)：频率为50×0.0036=0.18，

区间[150,200)：频率为50×0.0060=0.3，

区间[50,200)频率：0.12+0.18+0.3=0.6，

已知共调查1000户，根据“频数=频率x总数”，该区间内用户数为0.6×1000=600户；

(3)(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82，

合理，样本的第80百分位数接近于250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，

在实际决策中，只要临界值近似为第80百分位数即可，为了实际中操作方便，

可以建议市政府把月均用电量标准定为250kW⋅ℎ．

(1)根据频率和为1，列式计算求出参数；

(2)先计算频率再计算用户数；

(3)应用频率分布直方图列式计算频率结合已知说明理由．16.【答案】x+y−1=0(x≠0)；

x=±1．

【解析】(1)点A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，

则AB=(1,1)，AC=(x,y−1)，

又AB⊥AC，所以x+y−1=0(x≠0)；

(2)因为|AB|=2，BC在AC上的投影向量的长度为2，

根据投影的定义及(1)中解答，所以|BC|=2，又BC=(x−1,y−2)，

所以|BC|=17.【答案】证明见解析；

A1E⊥平面AEC【解析】(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连接BD与AC交于点O，连接EO，

E，O分别是DD1与BD的中点，所以EO/​/BD1，