2024-2025学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省三明市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1<x≤6}，B={2,4,6,8}，则A∩B=(

)A.{6} B.{2,4} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,14)，则该函数的解析式为A.f(x)=1x2 B.f(x)=x2 3.已知x∈R且x≠0，那么“1x<1”是“x>1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是(

)A.y=x−1 B.y=lnx2 C.y=cosx5.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有(

)A.24个 B.72个 C.96个 D.120个6.若函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥0 B.a≤0 C.a≥−4 D.a≤−47.已知随机变量ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≤−1)=P(ξ≥a)，则1xA.143 B.163 C.2038.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=13f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=12−2x2,0≤x<1−21−|x−65A.(−∞,−2] B.(−∞,412] C.(−∞,−22]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的是(

)A.在经验回归方程y=−0.3x+10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位

B.两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1

C.独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=4.138(x0.05=3.841)，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=12，P(AB)=512，P(B|A.P(B|A)=56 B.P(AB−)=111.已知函数f(x)是R上的奇函数，且过点(3,2)，对于一切正实数m，n，都有f(mn)=f(m)+f(n)−1，当x∈(13,+∞)时，f(x)>0恒成立，则A.f(9)=3

B.方程[f(x)−1]f(x)=0所有根的和为79

C.f(x)在(−∞,0)上是单调函数

D.不等式[f(x)]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2−2x+y)5的展开式中13.《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种.14.已知函数g(x)的定义域为D，若∀a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)可以作为一个三角形的三条边长，则称函数g(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=exx2+m是[四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同．

(1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率；

(2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)．

(1)若f(1)=e，求函数f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程；

(2)已知0<a<1，若关于x的不等式f(2mx)<f(x2+1)f(x+3)17.(本小题15分)

某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：年份20202021202220232024年份代码t12345报考人数y306595135175(1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程y​=b​t+a​，并预测2025年的报考人数；

(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N(370,152)，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在[355,400]之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数(最后结果四舍五入，保留整数)．

参考数据：i=15(ti−t−)(18.(本小题17分)

已知函数f(x)=2lnx−2ax，g(x)=ax2−2x−2(a∈R)．

(1)若a=12，求函数f(x)的极值；

(2)若a∈Z，且不等式f(x)≤g(x)在19.(本小题17分)

某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试，已知通过测试I的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为p(0<p<1)，通过任意一次测试即为合格芯片，已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试I的概率为θ．

(1)求θ(结果用p表示)；

(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为E(X)，方差为D(X)，则对任意ɛ>0，均有P(|X−E(X)|≥ε)≤D(X)ϵ2.请结合该定理解决下列两个问题：

(i)若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%，现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格，请说明该厂商的说法是否可信(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)；

(ⅱ)为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I，记θ=k参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.A

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.−60

13.150

14.(415.(1)甲选4个专业的方法数是C104，至少填报3个电子信息类专业方法数为C51C53+C54，

因此甲至少填报3个电子信息类专业的概率为P=C51C53+C54X0123P1131E(X)=0×16+1×16.(1)函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，

因为f(1)=e，所以a=e，故f(x)=ex，

所以f′(x)=ex．

因为f(ln2)=eln2=2，f′(ln2)=eln2=2，

所以函数f(x)在点(ln2,f(ln2))处的切线方程为：

y−2=2(x−ln2)，即y=2x−2ln2+2．

(2)因为f(2mx)≤f(x2+1)f(x+3)⇔a2mx≤ax2+1⋅ax+3=ax17.(1)因为t−=15(1+2+3+4+5)=3，y−=15(30+65+95+135+175)=100，

i=15(ti−t−)2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=10．18.(1)当a=12时，函数f(x)=2lnx−x，x>0．

因此导函数f′(x)=2x−1=2−xx，x>0．

由f′(x)<0⇒x>2；由f′(x)>0⇒0<x<2，

因此f(x)在(2,+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

因此当x=2时，f(x)有极大值，为f(2)=2ln2−2；无极小值．

(2)由于a∈Z，且f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立．

因此2lnx−2ax≤ax2−2x−2在(0,+∞)上恒成立．

即ax2+2ax≥2lnx+2x+2在(0,+∞)上恒成立．

设函数ℎ(x)=x−lnx−1，x>0．

那么导函数ℎ′(x)=1−1x=x−1x．

由ℎ′(x)<0⇒0<x<1；由ℎ′(x)>0⇒x>1，

因此函数ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

因此ℎ(1)是函数g(x)的最小值，且ℎ(1)=0．

因此x−lnx−1≥0在(0,+∞)上恒成立．所以x≥lnx+1⇒4x≥2lnx+2x+2．19.(1)事件A=“芯片通过测试Ⅰ”，事件B=“芯片通过测试Ⅱ”，则事件C=“表示芯片通过测试”，

则P(A)=0.4，P(B)=(1−0.4)p=0.6p，P(C)=P(A)+P(B)=0.4+0.6p．

根据条件概率的公式可得θ=θ=P(A|C)=P(AC)P(C)=P(A)P(C)=0.40.4+0.6P=22+3p；

(2)(ⅰ)若p=0.5，则P(C)=0.4+0.6×0.5=0.7．

用随机变量X表示合格芯片的个数，易知X满足二项分布X～B(1