2024-2025学年福建省福州三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州三中高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4,8}，B={x|x∈A}，则A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,4} D.{1,2,4}2.“a<2”是“关于x的不等式x2−2x+a<0有实数解”的(

)A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3.(x−1)10的展开式的第6项的系数是A.−C106 B.C106 4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X>3)=0.1，则P(1≤X≤2)=A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.15.已知α，β都是锐角，cosα=35,cos(α+β)=−3A.1625 B.−1625 C.76.已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x∈[−1,0)时，f(x)=2x+2，则f(32)=A.−3 B.−1 C.1 D.37.已知函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx+12A.[23,1112) B.[8.已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若a2−b2=bc，则A.(33,22) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为一次随机试验中的两个事件.若P(A)=14，P(B|A−)=1A.P(A−)=34 B.P(B|A)=110.如图，点A，B是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2π)的图象与直线y=32相邻的两个交点，且|AB|=5πA.ω=4

B.φ=5π3

C.函数f(x)在(π3,π2)上单调递减

D.若将函数f(x)11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：y22+sinx=1就是其中之一，下列选项中关于曲线C的说法正确的有A.当x∈[−8,8]时，曲线C与x轴有4个交点

B.曲线C图像关于x=π2对称

C.当x∈[−π2,0]时，曲线C上的一点P到原点距离的最大值为2

D.当x∈[0,π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知4x2+y213.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若tanα=2，则sin(β+3α)=______．14.已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差异.现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中(即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋).如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则E(X)=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=−1，且数列{Snn}是公差为1的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinA=3(b−acosC)．

(1)求A；

(2)若BC=6，AD为△ABC的角平分线，且17.(本小题15分)

“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动．

(1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学，从这7名中学生中选取3名，求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望；

(2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．

(i)求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率P；

(ii)当p118.(本小题17分)

已知双曲线：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x，且过点(2,2)．

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，过C的右焦点F作直线l与C的右支交于M，N两点．

(i)若△MFO和△NFO的面积的比值为2，求直线l的方程；

(ii)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax−b，其中a，b∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=xf(x)．

(i)证明：曲线y=g(x)图象上任意两个不同点处的切线均不重合．

(ii)当b=1时，若存在x∈(−1,+∞)，使得sinx>12g(x+1)成立，求实数a的取值范围．1.C

2.B

3.C

4.B

5.C

6.B

7.C

8.A

9.ABC

10.AD

11.BD

12.1

13.4514.16915.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，a1=−1，且数列{Snn}是首项为−1，公差为1的等差数列，

可得Snn=−1+n−1=n−2，即Sn=n2−2n，

当n≥2时，16.(1)由已知以及正弦定理得，sinCsinA=3sinB−3sinAcosC，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，

所以sinCsinA=3sinCcosA，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以sinA=3cosA，即tanA=3，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因为AD为∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=π6，

因为SΔABC=SΔBAD+SΔCAD，

则12AB⋅AC⋅sin∠BAC=17.(1)随机变量X服从超几何分布，其中N=7，M=3，n=3，

所以P(X=k)=C3kC43−kC73，k=0，1，2，3，

所以E(X)=nMN=97；

(2)(i)因为甲、乙两人每次答题相互独立，

设甲答对题数为ξ，则ξ～B(2,P)，乙答对题数为η，则η～B(2,P2)，

设“A=甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，

则P(A)=P(ξ=1)P(η=2)+P(ξ=2)P(η=1)+P(ξ=2)P(η=2)，

=C21P1(1−P1)C22P22+C22P12C21P218.(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，

因为双曲线的一条渐近线为y=x，且过点(2,2)．

所以ba=14a2−2b2=1，

解得a=b=2，

则C的方程为x22−y22=1；

(2)(i)设直线l的方程为x=ty+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=ty+2x22−y22=1，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+2=0，

此时t2−1≠0且Δ>0，

由韦达定理得y1+y2=−4tt2−1,y1y2=2t2−1<0，

解得t2<1，

因为△MFO和△NFO的面积的比值为2，

所以y1y2=−2，

所以y119.(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，

由f(x)=lnx+ax−b，得f′(x)=1x+a=1+axx，

①当a<0时，则当x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

则当x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

②当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．

综上，当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(0,−1a)单调递增，在(−1a,+∞)单调递减；

(2)(i)证明：由g(x)=xf(x)=xlnx+ax2−bx得g′(x)=2ax+lnx−b+1，

设点A(x1,g(x1))和点B(x2,g(x2))，不妨设0<x1<x2，

同理曲线y=g(x)在点B处的切线l2方程为y−g(x2)=g′(x1)(x−x1)，即y=g′(x2)x−g′(x2)x2+g(x2)；

同理曲线y=g(x)