高数下经典题目及答案

高数下经典题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$z=\ln(x+y)$的定义域是（）A.$x+y\geq0$B.$x+y>0$C.$x+y\leq0$D.$x+y<0$2.已知向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(2,0,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.0B.1C.2D.33.二重积分$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f(x,y)dydx$交换积分次序后为（）A.$\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy$B.$\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}f(x,y)dxdy$C.$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}f(x,y)dxdy$D.$\int_{y}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy$4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.发散的B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定5.设$z=x^2y$，则$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$6.曲线$x=t$，$y=t^2$，$z=t^3$在点$(1,1,1)$处的切线方程为（）A.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$B.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$C.$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$D.$\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$7.设$L$为圆周$x^2+y^2=1$，则$\oint_{L}x^2ds=$（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.08.函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(0,0)$处（）A.有极大值B.有极小值C.无极值D.不是驻点9.微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A.$y=C_1e^x+C_2xe^x$B.$y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}$C.$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$D.$y=C_1+C_2x$10.已知$u=xyz$，则$div(gradu)=$（）A.$2(x+y+z)$B.$x+y+z$C.0D.1二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些是多元函数的连续的性质（）A.有界性B.保号性C.可微性D.可积性2.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$与下列哪些向量垂直（）A.$(1,1,0)$B.$(2,2,-1)$C.$(-2,2,2)$D.$(0,0,0)$3.下列级数中收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$4.关于偏导数，以下说法正确的是（）A.连续函数偏导数一定存在B.偏导数存在函数不一定连续C.偏导数连续函数一定可微D.函数可微偏导数一定连续5.曲线积分与路径无关的条件有（）A.区域是单连通的B.被积函数在区域内有连续的一阶偏导数C.$\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}$D.曲线是封闭曲线6.以下哪些是求多元函数极值的步骤（）A.求驻点B.计算二阶偏导数C.用判别式判断驻点是否为极值点D.求出极值7.关于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，说法正确的是（）A.一定有收敛半径B.在收敛区间内绝对收敛C.可以逐项求导和逐项积分D.收敛区间端点处一定收敛8.下列哪些是一阶线性微分方程（）A.$y'+xy=e^x$B.$y''+y=0$C.$y'=\frac{y}{x}$D.$y'+\sinx\cdoty=\cosx$9.对于高斯公式$\underset{\varOmega}{\iiint}div\vec{A}dV=\underset{\varSigma}{∯}\vec{A}\cdotd\vec{S}$，说法正确的是（）A.$\varOmega$是空间闭区域B.$\varSigma$是$\varOmega$的边界曲面C.$\vec{A}$在$\varOmega$上有连续的一阶偏导数D.公式建立了三重积分与曲面积分的关系10.已知函数$z=f(x,y)$，则全微分$dz$为（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}dx$B.$\frac{\partialz}{\partialy}dy$C.$\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.当$\Deltax,\Deltay$很小时，近似等于$\Deltaz$三、判断题（每题2分，共10题）1.若函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处偏导数存在，则函数在该点连续。（）2.向量$\vec{a}=(1,2,3)$与向量$\vec{b}=(2,4,6)$平行。（）3.级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）4.二重积分的值与积分区域和被积函数有关，与积分次序无关。（）5.函数$z=x^2+y^2$在点$(0,0)$处的梯度为$(0,0)$。（）6.曲线积分$\int_{L}Pdx+Qdy$，若$P,Q$在区域内有连续偏导数且$\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}$，则积分与路径无关。（）7.幂级数的收敛半径唯一。（）8.二阶常系数齐次线性微分方程$y''+py'+qy=0$的通解一定包含两个任意常数。（）9.格林公式是高斯公式的特殊情况。（）10.函数$u=f(x,y,z)$在某点的方向导数最大值等于该点梯度的模。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数$z=x^3y+xy^3$的一阶偏导数。-答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2y+y^3$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^3+3xy^2$。2.计算二重积分$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y)dxdy$。-答案：先对$x$积分得$\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}x^2+yx]_{0}^{1}dy=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}+y)dy$，再对$y$积分得$[\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2]_{0}^{1}=1$。3.求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径和收敛区间。-答案：由公式$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，这里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，得$R=1$。当$x=1$时，级数为调和级数发散；当$x=-1$时，级数为交错级数收敛。收敛区间为$[-1,1)$。4.写出一阶线性非齐次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解公式。-答案：通解公式为$y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)$。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系。-答案：可微能推出偏导数存在且函数连续，但偏导数存在推不出可微，也推不出函数连续；函数连续推不出偏导数存在和可微。2.讨论级数敛散性的判别方法有哪些。-答案：有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等。正项级数常用比较、比值、根值法；交错级数常用莱