辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

2024-2025学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试高一年级数学试卷2.已知向量a=(-1,2),b=(2,1),若(2a-5)⊥(a+25),则实数λ的值为()3.若圆锥的表面积为12π,底面圆的半径为2,则该圆锥的体积为()余弦值是()高一年级数学试卷第1页共5页A.√2B.2√2则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()A.144πB.128πC.140πD.1A.6B.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z,Z₂,Z3,下列说法正确的有()A.若ZZ=Z₂Z₂,则||=|2₂B.若z²+z2=0,则Z=z₂=0的表面上运动(含边界),且BD₁⊥MC,点M的轨迹形成的封闭图形为Ω,则()高一年级数学试卷第2页共5页B.AB₁与Ω所在平面成角正弦值为C.Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为12:1D.若BD₁与Ω所在的平面交于点E,则第II卷(选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14.如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD市上),则AP·AQ的取值范围·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(15分)已知ABC中三个内角A,(2)当CA·CB取得最大值时，求A的值.高一年级数学试卷第5页共5页 19.(17分)定义：对于非零向量OM=(m,n),若函数f(x)=msinx+ncosx,则称f(x) 是△ABC外心，若cosA=F(t),,求实数λ的值.2024-2025学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试高一年级数学试卷答案8.C【详解】如图：分别取AB,CD的中点E,F,连接DE,CE,EF.所以由极化恒等式得所以CA·CB+DA·DB=CE²-1+DE²-1=(CE+DE)²-2CE·DE-2连接OE,OF,OA,OB,OC,OD,所以E,F在以0为圆心，√3为半径的圆上.所以EF则BP=2tanθ=2t,则A(0,0),P(2,2t),答案第1页，共8页由对勾函数的性质可在(1,√2)上单调递减，在(√2,2)上单调递增，又f(1)=3,f(2)=3,所以在u∈[1,2]上的值域为[2√2,3],;(3)直角三角形【详解】(1)由2S=√3·AC·AB,可(2)因为AD是△ABC的角平分线，且b=2,c=3,设AD=x,(3)法一：(1)知由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc,因为将代入a²=b²+c²-bc,可得2b²-5bc+2c²=0,解当b=2c时，可得a=√3c,此时a²+c²=b²,可得△ABC为直角三角形；当时，此时(不成立，舍去);答案第2页，共8页又因为,所以,综上，△ABC为直角三角形.-----------13分【详解】(1)如图所示：因为平面【详解】(1)如图所示：因为平面ABB₁A₁//平面CDD₁C,且平面ABB₁A₁∩平面PQC=RQ,所以RQ//PC,根据空间等角定理可知，△ARQ~△DPC,则,又BM//平面PCQ,BM,BEc平面BME且BM∩BE=B,所以平面BME//平面PCQ,设DD₁O平面BME=F,连接EF,FM,行四边形，所以所以-----------15分答案第4页，共8页【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理当且仅当,即时CA·CB取到最大值.-----------15分18.(1)证明见解析；(2);(3)存在，【详解】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDc面ABCD,CD⊥AD,则CD⊥面PAD,又因为AMc面PAD,因为△PAD是正三角形，且M是PD中点，则PD⊥AM……--…3分因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,因为ACc平面ABCD,所以ME⊥AC.又EF⊥AC,ME∩EF=E,ME,EFc平面MEF.所以AC⊥平面MEF.因为MFc平面MEF,所以AC⊥MF,则∠MFE即为平面MAC与底面ABCD所成二面角的平面角.-----------------8分即二面角M-AC-D的余弦值…------…11分(3)存在点Q,当时，平面BDQ⊥平面MAC.证明如下：DD因为△PAD是正三角形，所以PN⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,因为底面ABCD是正方形，所以ACIBD.又QG∩BD=G,QG,BDc平面BDQ,所以AC⊥平面BDQ,所以棱PC上点存在点Q,当时，平面BDQl平面AMC.----------------17分答案第5页，共8页19.(1)15;(2)(1,2√3-1)u(2√3-1,3);(3)结合正三角形的性质可知|O⁴|=2=|0B|=|oc,OA所以Ma²+MB²+MC²=(OA-OM)²+(OB-OM)²+(OC-OM)²=12+3=15是定值，证毕；…---------…5分法二：由题M(cosa,sina),A(-√3,-1),B(√3,-1),C(0,2)------------2分MA=(-√3-cosa,-1-sinα),MB=(√3-cosα,-1-sinα),MC=(-cosa,2-sinα), 则方程2sinx=k+1-2√3|cosx|在[0,2π]上有令I(x)=2sinx+2√3|cosx|-1,x∈[0,2π],答案第6页，共8页其图象为：故当k=2sinx+2√3|cosx|-1在[0,2π]