2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题解题解析题专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题解题解析题专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=3Sn-1+2，那么这个数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.无法确定2.数列{an}中，若a1=1，且an+1=2an+1，则a5的值为（）A.15B.31C.63D.1273.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2-an+1，则数列{an}的通项公式为（）A.an=nB.an=n+1C.an=n-1D.an=n24.数列{an}中，若a1=2，且an+1=an+2n，则a10的值为（）A.990B.992C.1000D.10025.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1，则数列{an}的通项公式为（）A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n+1D.an=2n-26.数列{an}中，若a1=3，且an+1=3an，则a6的值为（）A.729B.728C.727D.7267.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=4an-3n，则数列{an}的通项公式为（）A.an=4n-3B.an=4n-2C.an=4n-1D.an=4n8.数列{an}中，若a1=1，且an+1=an+n，则a10的值为（）A.55B.56C.57D.589.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an+2n，则数列{an}的通项公式为（）A.an=n+1B.an=nC.an=n-1D.an=n210.数列{an}中，若a1=2，且an+1=an+3n，则a10的值为（）A.295B.296C.297D.298二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.数列{an}中，若a1=1，且an+1=2an+1，则数列的第5项为。12.数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2-an+1，则数列的第3项为。13.数列{an}中，若a1=2，且an+1=an+2n，则数列的第6项为。14.数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1，则数列的第4项为。15.数列{an}中，若a1=3，且an+1=3an，则数列的第7项为。三、解答题（本大题共5小题，共75分。）16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=3Sn-1+2，求证数列{an}是等比数列。17.数列{an}中，若a1=1，且an+1=2an+1，求证数列{an}是等比数列。18.数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2-an+1，求证数列{an}是等差数列。19.数列{an}中，若a1=2，且an+1=an+2n，求证数列{an}是等差数列。20.数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1，求证数列{an}是等比数列。三、解答题（本大题共5小题，共75分。）21.某班级成立了一个读书俱乐部，计划每周增加一定数量的新成员。第一个星期增加了2名新成员，第二个星期增加了4名新成员，第三个星期增加了6名新成员，以此类推，每周增加的新成员数量比上一周多2名。请问：（1）第六个星期增加了多少名新成员？（2）前六周一共增加了多少名新成员？（3）如果按照这个规律继续增加，第n个星期增加了多少名新成员？（4）前n周一共增加了多少名新成员？22.一个工厂生产某种产品，第一个月生产了1000件，每个月比上个月多生产100件。请问：（1）第六个月生产了多少件产品？（2）前六个月一共生产了多少件产品？（3）第n个月生产了多少件产品？（4）前n个月一共生产了多少件产品？23.某城市的人口增长情况可以用一个数列来描述。第一个年份人口为100万，之后每年人口增长率为5%。请问：（1）第二个人口年份的人口是多少？（2）第五个人口年份的人口是多少？（3）第n个人口年份的人口是多少？（4）前n个人口年份的人口总和是多少？24.一个电影院每场电影的票价是50元，但是每卖出一票就会有一些折扣。第一场电影卖出了100张票，第二场电影卖出了110张票，第三场电影卖出了120张票，以此类推，每场电影比上一场多卖出10张票。请问：（1）第六场电影卖出了多少张票？（2）前六场电影一共卖出了多少张票？（3）第n场电影卖出了多少张票？（4）前n场电影一共卖出了多少张票？25.一个学生每天坚持学习，第一天学习了1小时，第二天学习了2小时，第三天学习了3小时，以此类推，每天比前一天多学习1小时。请问：（1）第六天学习了多少小时？（2）前六天一共学习了多少小时？（3）第n天学习了多少小时？（4）前n天一共学习了多少小时？本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：根据Sn=3Sn-1+2，可以得到an=Sn-Sn-1=3Sn-1+2-(3Sn-2-2)=3an-1，即an=3an-1。这是一个等比数列的定义。2.D解析：根据an+1=2an+1，可以得到a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15，a5=2a4+1=31。3.B解析：根据Sn=n2-an+1，可以得到an=Sn-Sn-1=n2-an+1-(n-1)2-(an-1)+1，化简得到an=n+1。4.A解析：根据an+1=an+2n，可以得到a2=a1+2，a3=a2+4，a4=a3+6，...，a10=a1+2+4+6+...+18=990。5.A解析：根据Sn=2an-1，可以得到an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1，即an=2n-1。6.A解析：根据an+1=3an，可以得到a2=3a1，a3=3a2，...，a6=3a5=3^5*3=729。7.B解析：根据Sn=4an-3n，可以得到an=Sn-Sn-1=4an-3n-(4an-1-3(n-1))，化简得到an=4n-2。8.B解析：根据an+1=an+n，可以得到a2=a1+1，a3=a2+2，...，a10=a1+1+2+...+9=56。9.B解析：根据Sn=an+2n，可以得到an=Sn-Sn-1=an+2n-(an-1+2(n-1))，化简得到an=n。10.D解析：根据an+1=an+3n，可以得到a2=a1+3，a3=a2+6，...，a10=a1+3+6+...+27=298。二、填空题答案及解析11.11解析：根据an+1=2an+1，可以得到a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，所以第5项为31。12.5解析：根据Sn=n2-an+1，可以得到a1=S1-1=1，a2=S2-S1=4-a1=3，a3=S3-S2=9-a2=6，所以第3项为5。13.55解析：根据an+1=an+2n，可以得到a2=4，a3=6，a4=10，...，a6=34，所以第6项为55。14.7解析：根据Sn=2an-1，可以得到a1=S1-1=1，a2=S2-S1=3-a1=2，a3=S3-S2=5-a2=3，所以第4项为7。15.2187解析：根据an+1=3an，可以得到a2=9，a3=27，a4=81，...，a7=3^6*3=2187，所以第7项为2187。三、解答题答案及解析21.解析：（1）第六个星期增加了2+5*(6-1)=16名新成员。（2）前六周一共增加了2+4+6+8+10+12=42名新成员。（3）第n个星期增加了2+(n-1)*2=2n名新成员。（4）前n周一共增加了2+4+6+...+2n=n*(2+2n)/2=n(n+1)名新成员。22.解析：（1）第六个月生产了1000+5*(6-1)=1250件产品。（2）前六个月一共生产了1000+1100+1200+1300+1400+1500=7050件产品。（3）第n个月生产了1000+100*(n-1)=1000+100n件产品。（4）前n个月一共生产了1000+1100+1200+...+(1000+100n)=n*(2000+100n)/2=n(1000+50n)件产品。23.解析：（1）第二个人口年份的人口是100万*(1+5%)=105万。（2）第五个人口年份的人口是100万*(1+5%)^4=121.55万。（3）第n个人口年份的人口是100万*(1+5%)^(n-1)。（4）前n个人口年份的人口总和是100万*[(1+5%)^n-1]/5%。24.解析：（1）第六场电影卖出了100+5*(6-1)=155张票。（2）前六场电影一共卖出了100+110+120+130+140+150=750张票。（3）第n场电影卖出了