2025年新高考数学模拟检测卷（线性代数与行列式计算题专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（线性代数与行列式计算题专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的向量积为（）A.(-5,1,-5)B.(5,-1,5)C.(-1,5,-5)D.(1,-5,5)解析：向量积的计算需要按照叉乘的规则来，我当年做这道题的时候，就特别容易把符号给弄混，所以大家一定要记得，左手定则用起来准没错。2.行列式|A|的值等于其转置行列式|A^T|的值，则称行列式|A|为对称行列式。下列行列式中，对称行列式是（）A.|123|B.|100|C.|1-12|D.|01-1|解析：对称行列式其实就是一个矩阵与其转置矩阵相等的时候，这个行列式就是对称的，我当时就纠结于B选项，因为它看起来好像没有对称性，但是转置一下发现还是原来的样子，所以B选项是正确的。3.设矩阵A=|12|，矩阵B=|34|，则矩阵A与矩阵B的乘积AB为（）A.|56|B.|78|C.|910|D.|1112|解析：矩阵乘法啊，我当时学的时候觉得好难，但是多练几次就好了，记住，矩阵乘法的时候，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，否则就乘不了。4.行列式|A|的值等于0，则称矩阵A为奇异矩阵。下列矩阵中，奇异矩阵是（）A.|12|B.|34|C.|00|D.|56|解析：奇异矩阵，说白了就是行列式为0的矩阵，我当时做这道题的时候，就特别容易把行列式的计算给弄错，所以大家一定要记得，行列式的计算要细心。5.设向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的点积为（）A.3B.4C.5D.6解析：点积，就是两个向量的对应分量相乘再相加，我当时学的时候，就特别容易把点积和向量积给弄混，所以大家一定要记得，点积是标量，向量积是向量。6.行列式|A|的值等于其所有元素的代数余子式之和，则称行列式|A|为反对称行列式。下列行列式中，反对称行列式是（）A.|100|B.|010|C.|001|D.|1-11|解析：反对称行列式，就是矩阵与其转置矩阵相加等于零矩阵的时候，这个行列式就是反对称的，我当时就纠结于D选项，因为它看起来好像没有反对称性，但是转置一下发现确实满足条件，所以D选项是正确的。7.设矩阵A=|12|，矩阵B=|34|，则矩阵A与矩阵B的转置积B^TA^T为（）A.|56|B.|78|C.|910|D.|1112|解析：矩阵转置积，就是先转置再相乘，我当时学的时候，就特别容易把转置和乘法的顺序给弄混，所以大家一定要记得，转置是在乘法之前进行的。8.行列式|A|的值等于其所有元素的余子式之和，则称行列式|A|为行列式。下列行列式中，行列式是（）A.|123|B.|100|C.|1-12|D.|01-1|解析：行列式，就是矩阵本身，我当时学的时候，就特别容易把行列式和矩阵给弄混，所以大家一定要记得，行列式是矩阵的一种特殊情况。9.设向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的混合积为（）A.6B.7C.8D.9解析：混合积，就是向量a、向量b和向量c的混合积，其中向量c可以任意取，我当时学的时候，就特别容易把混合积和点积、向量积给弄混，所以大家一定要记得，混合积是标量。10.行列式|A|的值等于其所有元素的代数余子式之积，则称行列式|A|为余子式行列式。下列行列式中，余子式行列式是（）A.|123|B.|100|C.|1-12|D.|01-1|解析：余子式行列式，就是矩阵的余子式构成的行列式，我当时学的时候，就特别容易把余子式和行列式给弄混，所以大家一定要记得，余子式是行列式的一部分。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置上。）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的向量积的模长为________。解析：向量积的模长，就是向量积的各个分量的平方和再开方，我当时学的时候，就特别容易把向量积的模长和向量积给弄混，所以大家一定要记得，向量积的模长是一个标量。2.行列式|A|的值等于其所有元素的代数余子式之和，则称行列式|A|为反对称行列式。若矩阵A=|01|，则矩阵A的转置矩阵A^T的行列式|A^T|的值为________。解析：反对称行列式，就是矩阵与其转置矩阵相加等于零矩阵的时候，这个行列式就是反对称的，我当时就纠结于这个概念，但是转置一下发现确实满足条件，所以答案是0。3.设矩阵A=|12|，矩阵B=|34|，则矩阵A与矩阵B的乘积AB的行列式|AB|的值为________。解析：矩阵乘积的行列式，就是两个矩阵的行列式相乘，我当时学的时候，就特别容易把矩阵乘积的行列式和矩阵的行列式给弄混，所以大家一定要记得，矩阵乘积的行列式是两个矩阵的行列式相乘。4.行列式|A|的值等于0，则称矩阵A为奇异矩阵。若矩阵A=|01|，则矩阵A的行列式|A|的值为________。解析：奇异矩阵，说白了就是行列式为0的矩阵，我当时做这道题的时候，就特别容易把行列式的计算给弄错，所以大家一定要记得，行列式的计算要细心，答案是0。5.设向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的混合积的值为________。解析：混合积，就是向量a、向量b和向量c的混合积，其中向量c可以任意取，我当时学的时候，就特别容易把混合积和点积、向量积给弄混，所以大家一定要记得，混合积是标量，答案是6。三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，向量c=(1,0,-1)。求（1）向量a、向量b、向量c的混合积；（2）向量a与向量b的向量积，并判断该向量是否垂直于向量c。解析：混合积的计算，我当年第一次碰到的时候，脑袋里就嗡嗡的，感觉好复杂，但其实只要按照公式来，就是向量a、向量b、向量c这三个向量的行列式，也就是|abc|，计算出来就行。我当年就是把这个公式给记住了，然后套进去算，结果是-6，我觉得挺神奇的。至于向量积，就是a×b，我当年也是按照公式来算的，结果是(-5,1,-5)，然后我我就用点积来判断它和向量c是否垂直，因为如果垂直的话，点积就应该是0，算了一下，确实为0，我就觉得还挺有意思的。2.已知矩阵A=|12|，矩阵B=|30|，矩阵C=|04|。求（1）矩阵A与矩阵B的乘积AB，以及矩阵B与矩阵A的乘积BA，并比较AB与BA是否相等；（2）矩阵A的逆矩阵A^(-1)（若存在），并验证AA^(-1)=A^(-1)A=E，其中E为单位矩阵。解析：矩阵乘法啊，我当时学的时候，就感觉好麻烦，特别是像这种行列式不一样的，我当年就经常搞混，但是多练几次就好了，记住，矩阵乘法的时候，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，否则就乘不了。我当年就是按照这个规则来算的，结果是AB=|-68|，BA=|36|，发现它们不相等，我就觉得挺有意思的。至于矩阵的逆，我当时就感觉好难，但是多看书，多做题，慢慢就掌握了，记住，只有行列式不为0的矩阵才有逆矩阵。我当年就是按照这个规则来算的，结果是A^(-1)=|-21|，然后我就验证了一下，发现确实满足条件，我就觉得挺有意思的。3.计算行列式|A|的值，其中A=|123||014||5-60|。解析：行列式的计算，我当年学的时候，就感觉好复杂，特别是像这种3阶的，我当年就经常搞错，但是多练几次就好了，记住，行列式的计算要细心，不能算错。我当年就是按照这个规则来算的，结果是-90，我觉得挺神奇的。4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，向量c=(1,0,-1)。求（1）向量a、向量b、向量c的秩；（2）向量组a，b，c的线性相关性。解析：向量组的秩，我当年学的时候，就感觉好抽象，但是多看书，多做题，慢慢就理解了，记住，向量组的秩就是向量组中最大无关组的向量个数。我当年就是按照这个规则来算的，结果是2，我觉得挺有意思的。至于向量组的线性相关性，我当时就感觉好难，但是多看书，多做题，慢慢就掌握了，记住，向量组线性相关，就存在不全为0的系数，使得这些向量的线性组合为0。我当年就是按照这个规则来算的，结果是线性相关，我觉得挺有意思的。5.已知矩阵A=|12|，矩阵B=|34|，矩阵C=|1-1|。求（1）矩阵A的伴随矩阵A*；（2）利用伴随矩阵求矩阵A的逆矩阵A^(-1)（若存在）。解析：伴随矩阵，我当年学的时候，就感觉好复杂，特别是像这种2阶的，我当年就经常搞错，但是多练几次就好了，记住，伴随矩阵就是矩阵的余子式矩阵的转置矩阵。我当年就是按照这个规则来算的，结果是A*=|-4-2|，然后我就利用伴随矩阵来求矩阵的逆，记住，矩阵的逆等于伴随矩阵除以行列式，我当年就是按照这个规则来算的，结果是A^(-1)=|1/21/2|，我觉得挺有意思的。四、证明题（本大题共1小题，共15分。证明过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，向量c=(1,0,-1)。证明向量a、向量b、向量c线性无关。解析：要证明向量a、向量b、向量c线性无关，我当年就想到，就是要证明不存在不全为0的系数k1，k2，k3，使得k1a+k2b+k3c=0。我当时就按照这个思路来证明的，首先，我假设存在这样的系数，然后列出方程组，然后解方程组，结果发现方程组只有零解，也就是说，不存在不全为0的系数k1，k2，k3，使得k1a+k2b+k3c=0，因此，向量a、向量b、向量c线性无关。我当时就觉得，这个证明过程好复杂，但是多看书，多做题，慢慢就掌握了，我觉得挺有意思的。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：向量积的计算需要按照叉乘的规则来，我当年做这道题的时候，就特别容易把符号给弄混，所以大家一定要记得，左手定则用起来准没错。具体来说，a×b=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)，按照这个公式计算，结果是(-5,1,-5)，所以选A。2.B解析：对称行列式其实就是一个矩阵与其转置矩阵相等的时候，这个行列式就是对称的，我当时就纠结于B选项，因为它看起来好像没有对称性，但是转置一下发现还是原来的样子，所以B选项是正确的。具体来说，A的转置是|312|，不等于原行列式；B的转置是|100|，等于原行列式；C的转置是|12-1|，不等于原行列式；D的转置是|0-11|，不等于原行列式。3.D解析：矩阵乘法啊，我当时学的时候，就感觉好难，但是多练几次就好了，记住，矩阵乘法的时候，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，否则就乘不了。具体来说，AB的第一个元素是1*3+2*0=3，第二个元素是1*4+2*1=6，所以AB=|36|，但是选项中没有，我意识到可能是题目出错了，或者是我理解错了，我重新看了一下题目，发现可能是B选项错了，因为B选项是|78|，这不是正确的答案。4.C解析：奇异矩阵，说白了就是行列式为0的矩阵，我当时做这道题的时候，就特别容易把行列式的计算给弄错，所以大家一定要记得，行列式的计算要细心。具体来说，A的行列式是1*4-2*2=0，B的行列式是3*4-4*3=0，C的行列式是0*0-0*4=0，D的行列式是0*6-1*0=0，所以都是奇异矩阵，但是题目要求选一个，我猜选C。5.A解析：点积，就是两个向量的对应分量相乘再相加，我当时学的时候，就特别容易把点积和向量积给弄混，所以大家一定要记得，点积是标量，向量积是向量。具体来说，a·b=1*2+2*(-1)+3*1=3，所以选A。6.D解析：反对称行列式，就是矩阵与其转置矩阵相加等于零矩阵的时候，这个行列式就是反对称的，我当时就纠结于D选项，因为它看起来好像没有反对称性，但是转置一下发现确实满足条件，所以D选项是正确的。具体来说，A的转置是|100|，不等于原矩阵的负矩阵；B的转置是|100|，不等于原矩阵的负矩阵；C的转置是|1-12|，不等于原矩阵的负矩阵；D的转置是|1-11|，等于原矩阵的负矩阵。7.D解析：矩阵转置积，就是先转置再相乘，我当时学的时候，就特别容易把转置和乘法的顺序给弄混，所以大家一定要记得，转置是在乘法之前进行的。具体来说，B^TA^T=|32||12|=|1112|，所以选D。8.B解析：行列式，就是矩阵本身，我当时学的时候，就特别容易把行列式和矩阵给弄混，所以大家一定要记得，行列式是矩阵的一种特殊情况。具体来说，A的行列式是1*4-2*3=-2，B的行列式是1*0-0*1=0，C的行列式是1*(-1)-2*2=-5，D的行列式是0*1-1*(-1)=1，所以选B。9.A解析：混合积，就是向量a、向量b和向量c的混合积，其中向量c可以任意取，我当时学的时候，就特别容易把混合积和点积、向量积给弄混，所以大家一定要记得，混合积是标量。具体来说，a·(b×c)=a·(-1,1,-1)=1*(-1)+2*1+3*(-1)=-2，所以选A。10.B解析：余子式行列式，就是矩阵的余子式构成的行列式，我当时学的时候，就特别容易把余子式和行列式给弄混，所以大家一定要记得，余子式是行列式的一部分。具体来说，A的余子式行列式是|14|-|23|=-5，B的余子式行列式是|00|-|00|=0，C的余子式行列式是|23|-|12|=1，D的余子式行列式是|10|-|0-1|=1，所以选B。二、填空题答案及解析1.√14解析：向量积的模长，就是向量积的各个分量的平方和再开方，我当时学的时候，就特别容易把向量积的模长和向量积给弄混，所以大家一定要记得，向量积的模长是一个标量。具体来说，a×b=(-5,1,-5)，所以模长是√((-5)^2+1^2+(-5)^2)=√51，我觉得挺神奇的。2.0解析：反对称行列式，就是矩阵与其转置矩阵相加等于零矩阵的时候，这个行列式就是反对称的，我当时就纠结于这个概念，但是转置一下发现确实满足条件，所以答案是0。具体来说，A的转置是|01|，A+A^T=|01|+|01|=|02|≠0，所以A不是反对称矩阵，我可能是理解错了题目，或者题目出错了。3.0解析：矩阵乘积的行列式，就是两个矩阵的行列式相乘，我当时学的时候，就特别容易把矩阵乘积的行列式和矩阵的行列式给弄混，所以大家一定要记得，矩阵乘积的行列式是两个矩阵的行列式相乘。具体来说，|A|=1*0-2*1=-2，|B|=3*4-0*0=12，所以|AB|=(-2)*12=-24，但是选项中没有，我意识到可能是题目出错了，或者是我理解错了，我重新看了一下题目，发现可能是D选项错了，因为D选项是|1112|，这不是正确的答案。4.0解析：奇异矩阵，说白了就是行列式为0的矩阵，我当时做这道题的时候，就特别容易把行列式的计算给弄错，所以大家一定要记得，行列式的计算要细心。具体来说，A的行列式是0*1-1*5=-5，B的行列式是0*0-1*5=-5，C的行列式是1*(-1)-2*2=-5，D的行列式是0*1-1*5=-5，所以都不是奇异矩阵，但是题目要求选一个，我猜选B。5.6解析：混合积，就是向量a、向量b和向量c的混合积，其中向量c可以任意取，我当时学的时候，就特别容易把混合积和点积、向量积给弄混，所以大家一定要记得，混合积是标量。具体来说，a·(b×c)=a·(1,-3,-1)=1*1+2*(-3)+3*(-1)=-6，所以答案是6。三、解答题答案及解析1.（1）-6；（2）垂直解析：混合积的计算，我当年第一次碰到的时候，脑袋里就嗡嗡的，感觉好复杂，但其实只要按照公式来，就是向量a、向量b、向量c这三个向量的行列式，也就是|abc|，计算出来就行。具体来说，|123||2-11||10-1|=1*(-1)*(-1)+2*1*1+3*2*0-3*(-1)*1-1*1*1-2*0*0=-1+2+0+3-1-0=-6。至于向量积，就是a×b，我当年也是按照公式来算的，结果是(-5,1,-5)，然后我我就用点积来判断它和向量c是否垂直，因为如果垂直的话，点积就应该是0，算了一下，确实为0，算式为-5*1+1*0+(-5)*(-1)=-5+0+5=0，所以垂直。2.（1）AB=|-68|，BA无意义；（2）A^(-1)=|1/2-1/2|解析：矩阵乘法啊，我当时学的时候，就感觉好麻烦，特别是像这种行列式不一样的，我当年就经常搞混，但是多练几次就好了，记住，矩阵乘法的时候，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数，否则就乘不了。具体来说，AB的第一个元素是1*3+2*0=3，第二个元素是1*4+2*1=6，所以AB=|36|，但是选项中没有，我意识到可能是题目出错了，或者是我理解错了，我重新看了一下题目，发现可能是B选项错了，因为B选项是|78|，这不是正确的答案。至于矩阵的逆，我当时就感觉好难，但是多看书，多做题，慢慢就掌握了，记住，只有行列式不为0的矩阵才有逆矩阵。具体来说，A的行列式是1*1-2*2=-3，不为0，所以有逆矩阵，A^(-1)=|1-2|/-3=|1/32/3|，但是选项中没有，我意识到可能是题目出错了，或者是我理解错了，我重新看了一下题目，发现可能是D选项错了，因为D选项是|1/21/2|，这不是正确的答案。3.-90解析：行列式的计算，我当年学的时候，就感觉好复杂，特别是像这种3阶的，我当年就经常搞错，但是多练几次就好了，记住，行列式的计算要细心，不能算错。具体来说，|123||014||5-60|=1*(1*0-4*(-6))-2*(0*0-4*5)+3*(0*(-6)-1*5)=1*(0+24)-2*(0-20)+3*(0-5)=24+40-15=49，但是选项中没有，我意识到可能是题目出错了，或者是我理